L'indovinello
Dialogo sui minimi
sistemi - di Pietro Planezio e Ugo Ercolani
Sono convinto che sta mentendo…
Non avevo nessuna intenzione di complicarti così la vita.
Non cercare messaggi oltre quelli elementari, la meccanica celeste ha questo di bello: pare complicata, ma è di una semplicità concettuale notevole, una volta capito il meccanismo.
In effetti questo "indovinello" mi è scoppiato tra le mani senza che me ne accorgessi.
Mi ci sono imbattuto strada facendo, nel controllare i calcoli che ti ho ammannito, ma ha un significato "profondo".
Se proviamo a farla partire da 0,5 UA con una velocità tale da arrivare a 5,7 (orbita di Giove), oppure se la facciamo partire da 0,1 UA con velocità tale da farla arrivare a 6,1, (hai tutte le formule per fare queste prove), scopriremo una cosa curiosa: in tutte queste ellissi, una abbastanza grassa (1 - 5,2), una molto più sottile (0,5 - 5,7), la terza sottilissima (quella praticamente "verticale" di cui abbiamo parlato prima), ma TUTTE LUNGHE 6,2 UA (asse maggiore), alla distanza dal Sole di 1UA presentano TUTTE LA STESSA VELOCITA', nel nostro caso, 38,6Km/sec circa, ed a 5,2 UA anche!!!
Tra quella poco eccentrica a quella molto eccentrica CAMBIA LA DIREZIONE DEL MISSILE, MA NON LA SUA VELOCITA'.
La direzione esattamente verticale si riferisce ugualmente ad una ellisse (stai attento, all'interno del sistema solare ci sono SOLO ELLISSI).
Con una parabola si ha la velocità di fuga, con una velocità superiore una iperbole.
Questa ellisse avrà un fuoco addirittura nel centro del Sole, l'altro fuoco a 6,2 UA, andata e ritorno sovrapposti, e quindi, come giustamente hai detto, con eccentricità prossima ad 1.
Però è una ellisse. Come hai fatto notare, andrebbe a farsi friggere nel Sole.
Tanto per non darti tregua, sulla superficie solare (diciamo 600.000Km di raggio circa, 1/250 UA) avrebbe un'energia (250x-1776)-286=443714.
V= poco più di 666 Km/sec.
Vedi, come dice il proverbio, "più parli più t' impiastri".
Per verificare ulteriormente fai questo calcolo (compito):
Perielio a 2, 3, 4. Asse maggiore dell'orbita 8. Quindi afelio a 6, 5, 4. (La terza è circolare, mi pare chiaro).
Vedrai che a 4 UA hanno TUTTE LA STESSA VELOCITA, CHE (GUARDA CASO) CORRISPONDE A QUELLA CIRCOLARE (sempre a 4UA).
Pietro
L'indovinello non è scoppiato tra le sue mani, me lo ha propinato prima che scoppiasse. Ed io con orgoglio ho raccolto una strana palla di ferro, con una miccia fumante…
Indovinello: soluzione
Primo caso: Perielio a 0,5 UA, afelio a 5,7 UA
Per conoscere la Ep al perielio basta dividere la Ep terrestre (-1776)per 0,5 (UA)
Quindi la sua Ep sarà: -1776/0,5= -3.552
Se fosse su un'orbita circolare a 0,5 UA avrebbe una Ec pari a 3.552/2= 1776. Quindi la sua Vc sarebbe: radice di 1776=42,14Km/sec.
Poichè l'orbita è eccentrica e=(5,7-0,5):(5,7+0,5)= 0,83
La velocità al perielio si trova Vper = Vc x(radice di (1+e))
Quindi sarà Vper= 42,14x(radice di 1,83)= 42,14 x 1,352 = 57Km/sec
Quindi al perielio la sonda avrà una Ec di 57 al quadrato e cioè Ec= 3249
La Etot della sonda sarà perciò -3552+3249= -303
All'afelio la sua Ep sarà -1776/5,7= -311,57
Persi per strada 3552-311,57=3240,43. Perciò la sua Ec sarà 3249-3240,43=8,57
La sua velocità sarà quindi radice di 8,57= 2,92Km/sec
Vediamo la velocità a 1UA...
Perciò -1776/1=-1776=Ep
-3552+1776=-1776 persi per strada.
3249-1776= 1473 =Ec. radice di 1473 = 38,37Km/sec
A 5,2 UA la sua Ep sarà -1776/5,2= -341,53
Persi per strada 3552-341,53=3210,47. Perciò la sua Ec sarà 3249-3210,47=38,53
La sua velocità sarà quindi radice di 38,53= 6,207Km/sec
Secondo caso: Perielio a 0,1, afelio a 6,1
Per conoscere la Ep al perielio basta dividere la Ep terrestre (-1776)per 0,1 (UA)
Quindi la sua Ep sarà: -1776/0,1= -17.760
Se fosse su un'orbita circolare a 0,1 UA avrebbe una Ec pari a 17760/2= 8880. Quindi la sua Vc sarebbe: radice di 8880=94,233Km/sec.
Poichè l'orbita è eccentrica e=(6,1-0,1):(6,1+0,1)= 0,9677
La velocità al perielio si trova Vper = Vc x(radice di (1+e))
Quindi sarà Vper= 94,233x(radice di 1,9677)= 94,233 x 1,402 = 132,185Km/sec
Quindi al perielio la sonda avrà una Ec di 132,185 al quadrato e cioè Ec= 17472
La Etot della sonda sarà perciò -17760+17472= -288 (il precedente era -303)
All'afelio la sua Ep sarà -1776/6,1= -291,14
Persi per strada 17760-291,14=17468,86. Perciò la sua Ec sarà 17472-17468,86=3,14
La sua velocità sarà quindi radice di 3,14= 1,77Km/sec
Vediamo la velocità a 1UA...
Perciò -1776/1=-1776=Ep
-17760+1776=-15984 persi per strada.
17472-15984= 1488 =Ec. radice di 1488 = 38,57Km/sec
A 5,2 UA la sua Ep sarà -1776/5,2= -341,53
Persi per strada 17760-341,53=17418,47. Perciò la sua Ec sarà 17472-17418,47=53,53
La sua velocità sarà quindi radice di 53,53= 7,31Km/sec
