PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES

LOGARITHMES

Leçons élémentaires sur les Mathématiques - Leçon seconde

[...] il y a une autre théorie qui est utile dans beaucoup d'occasions, c'est la théorie des progressions; quand vous avez plusieurs nombres qui ont la même proportion entre eux qui se suivent, en sorte que le second est au premier comme le troisième est au second, comme le quatrième est au troisième, ainsi de suite, ces nombres sont en progression. Je commencerai par une observation.

On distingue communément, dans tous les livres d'Arithmétique et d'Algèbre, deux sortes de progressions, l'arithmétique et la géométrique, qui répondent aux proportions nommées arithmétique et géométrique; mais la dénomination de proportion me paraît très-impropre pour ce qu'on appelle proportion arithmétique. Comme un des objets de l'École Normale est de rectifier la langue des sciences, on ne regardera pas cette petite digression comme inutile.

Il me semble donc que l'idée de proportion est déjà fixée par l’usage, et ne répond qu’à ce qu’on appelle proportion géométrique. Quand on parle de la proportion des membres de l’homme, des parties d’un bâtiment, etc. ; quand on dit qu’un plan qu’on dessine doit être réduit proportionnellement à un plus petit, etc. ; quand on dit même, en général, qu’une chose doit être proportionnée à une autre, on n’entend par proportion que l’égalité des rapports, comme dans la proportion géométrique, et nullement l’égalité des différences, comme dans l’arithmétique. Ainsi, au lieu de dire que les nombres 3, 5, 7, 9 sont en proportion arithmétique, parce que la différence de 5 à 3 est la même que celle de 9 à 7, je désirerais que, pour éviter toute ambiguïté, on employât une autre dénomination ; on pourrait, par exemple, appeler ces nombres équidifférents, en conservant le nom de proportionnels aux nombres qui sont en proportion géométrique, comme 3, 4, 6, 8.

D’ailleurs, je ne vois pas pourquoi la proportion appelée arithmétique est plus arithmétique que celle que l’on nomme géométrique, ni pourquoi celle-ci est plus géométrique que l’autre ; au contraire, l’idée primitive de celle-ci est fondée sur l’Arithmétique, puisque celle des rapports vient essentiellement de la considération des nombres.

Au reste, en attendant qu’on ait changé ces dénomination impropres de proportion arithmétique et géométrique, je continuerai à m’en servir pour plus de simplicité et de commodité.

La théorie des progression arithmétiques a peu de difficultés : ce sont des quantités qui augmentent ou diminuent constamment de la même quantité ; mais celle des progressions géométriques est plus difficile et plus importante, parce que beaucoup de questions intéressantes en dépendent : par exemple, tous les problèmes sur l’intérêt composé, et qui regardent l’escompte, et beaucoup d’autres semblables.

En général, quand une quantité augmente, et que la force augmentative, pour ainsi dire, est proportionnelle à la quantité même, elle produit des quantités en proportion géométrique. On a observé que, dans les pays où la subsistance était très-aisée, comme dans les premières colonies américaines, la population doublait au bout de vingt ans ; si elle est double au bout de vingt ans, elle sera quadruple au bout de quarante ans, octuple au bout de soixante ans, etc. ; ce qui donne, comme on voit, une progression géométrique qui répond à des espaces de temps en progression arithmétique. Il en est de même de l’intérêt composé : si l’on suppose qu’une somme donnée d’argent produise, au bout d’un certain temps, une certaine somme ; au bout d’un temps double, la même somme aura produit encore une pareille somme, et de plus, la somme produite dans le premier espace de temps aura produit proportionnellement une autre somme pendant le second espace de temps, et ainsi de suite. On appelle communément la somme primitive le principal, la somme produite, l’intérêt, et le rapport constant du principal à l’intérêt, pour un an, denier. Ainsi le dernier vingt indique que l’intérêt est la vingtième partie du principal, ce qu’on nomme aussi 5 pour 100, puisque 5 est la vingtième partie de 100. Sur ce pied, le principal sera augmenté, au bout d’un an, d’un vingtième ; par conséquent, il se trouvera augmenté en raison de 21 à 20 ; au bout de deux ans, il sera augmenté encore dans la même raison, c’est-à-dire dans la raison de ²¹/₂₀, multiplié par ²¹/₂₀ ; au bout de trois ans, dans la raison de ²¹/₂₀, multiplié deux fois par lui-même, et ainsi de suite. Et l’on trouve que de cette manière il aura presque doublé au bout de quinze ans, et sera décuplé au bout de cinquante-trois ans. Réciproquement donc, puisqu’une somme payée actuellement deviendra double au bout de quinze ans, il est claire qu’une somme qui ne devrait être payée qu’au bout de quinze ans n’aura actuellement qu’une valeur moitié moindre : c’est ce qu’on nomme la valeur présent d’une somme payable au bout d’un certain temps ; il est clair que, pour trouver cette valeur, il n’y aura qu’à diviser la somme promise autant de fois par la fraction ²¹/₂₀, ou bien la multiplier autant de fois par la fraction ²⁰/₂₁ qu’il y aura d’années à courir. Ainsi l’on trouvera de même qu’une somme payable au bout de cinquante-trois ans ne vaut à présent qu’un dixième ; d’où l’on voit combien peu d’avantage il y aurait à se défaire de la propriété absolue d’un fonds, pour n’en conserver la jouissance que pendant cinquante ans, par exemple, puisque l’on ne gagnerait par là que le dixième en jouissance, tandis qu’on aurait perdu la propriété pour l’éternité.

Dans les rentes viagères, la considération de l’intérêt se combine avec la probabilité de la vie ; et, comme chacun croit toujours pouvoir vivre très-longtemps, et que, d’un autre côté, on ne peut pas faire beaucoup de cas d’une propriété qu’on est obligé d’abandonner en mourant, il en résulte un attrait particulier, quand on n’a point d’enfants, pour mettre son bien, en tout ou en partie, à fond perdu. Néanmoins, quand on calcule une rente viagère à la rigueur, elle ne présent pas assez d’avantage pour engager à y sacrifier la propriété du fonds.

Aussi, toutes les fois qu’on a voulu créer des rentes viagères assez attrayantes pour engager les particuliers à s’y intéresser, il a fallu les faire à des conditions onéreuses pour l’établissement.

Mais nous en diront davantage là-dessus lorsqu’on exposera la théorie des rentes viagères, qui est une branche di Calcul des probabilités.

Je finirai par dire encore un mot sur les logarithmes. L’idée la plus simple qu’on puisse se former de la théorie des logarithmes, tels qu’ils sont dans nos Tables usuelles, consiste à exprimer tous les nombres par des puissances de 10, et ainsi les exposants de ces puissances en sont les logarithmes. De cette manière, il est claire que la multiplication et la division de deux nombres se réduisent à l’addition et à la soustraction des exposants respectifs, c’est-à-dire, de leurs logarithmes ; et par conséquent l’élévation aux puissances et l’extraction des racines se réduisent à la multiplication ou à la division, ce qui est d’un avantage immense dans l’Arithmétique, et y rend les logarithmes si précieux.

Mais, à l’époque où l’on a inventé les logarithmes, on ne connaissait pas encore cette théorie des puissances, on ne pensait pas que la racine d’un nombre pùt être regardée comme une puissance fractionnaire. Voici comment on y est parvenu :

Il a donc considéré deux lignes : la première engendrée par le mouvement d’un point qui décrit en temps égaux des espaces en progression géométrique, et l’autre engendrée par un point qui décrit des espaces qui augmentent comme les temps, et qui forment par conséquent une progression arithmétique, correspondante à la géométrique ; et il a supposé, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales de ces deux points étaient égales, ce qui lui a donné les logarithmes, qu’on a d’abord appelés naturels, ensuite hyperboliques, lorsqu’on a reconnu qu’ils pouvaient être exprimés par l’aire de l’hyperbole entre les asymptotes. De cette manière, il est clair que, pour avoir le logarithme d’un nombre quelconque donné, il ne s’agira que de prendre sur la première ligne une partie égale au nombre donné, et de chercher quelle partie de la seconde ligne aura été décrite en même temps que cette partie de la première. 

Conformément à cette idée, si l’on prend pour les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres très-peu différents 1 et 1,0000001, et pour ceux de la progression arithmétique 0 et 0,0000001, et qu’on cherche successivement , par les règles connues, tous les termes suivants des deux progressions, on trouve que le nombre 2 est, à la huitième décimale près, le 6931472^e de la progression géométrique ; de la sorte que le logarithme de 2 est 0,6931472 ; le nombre 10 se trouve le 23025851^e de la même progression ; par conséquent le logarithme de 10 est 2,3025851, et ainsi des autres. Mais Neper, n’ayant pour objet que de déterminer les logarithmes des nombres moindres que l’unité, pour l’usage de la Trigonométrie, où les sinus et les cosinus des angles sont exprimés en fractions du rayon, a considéré la progression géométrique décroissante dont les deux premiers termes seraient 1 et 0,9999999, et il en a déterminé, par des calculs immenses, les termes suivants. Dans cette hypothèse, le logarithme que nous venons de trouver pour le nombre 2 devient celui du nombre ¹/₂  ou 0,5, et celui du nombre 10 se rapporte au nombre  ¹/₁₀  ou 0,1 ; ce qui est facile à concevoir par la nature des deux progressions.

Ce travail de Neper parut en 1614 ; on en sentit tout de suite l’utilité, et l’on sentit en même temps qu’il serait plus conforme au système décimal de notre Arithmétique, et par conséquent beaucoup plus simple, de faire en sorte que le logarithme de 10 fût l’unité, moyennant quoi celui de 100 serait 2, et ainsi de suite. Pour cela, au lieu de prendre pour les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres 1 et 1,0000001, il aurait fallu prendre les nombres 1 et 1,0000002302 en conservant 0 et 0,0000001 pour les termes correspondants de la progression arithmétique ; d’où l’on voit que, tandis que le point, qui est supposé engendrer par son mouvement la ligne géométrique ou des nombres, aurait décrit la partie trè-petite 0,0000002302, …, l’autre point, qui doit engendrer en même temps la ligne arithmétique, ou des logarithmes, aurait parcouru la partie 0,0000001 ; et qu’ainsi les espaces décrits en même temps par ces deux points au commencement de leur mouvement, c’est-à-dire leurs vitesses initiales, au lieu d’être égales, comme dans le système précédent, seraient dans le rapport des nombres 2,302, … à 1, où l’on remarquera que le nombre 2,302… est précisément celui qui, dans le premier système des logarithmes naturels, exprime le logarithme de 10 ; ce qui peut aussi se démontrer a priori, comme nous le verrons, lorsqu’on appliquera à la théorie des logarithmes les formules algébriques. Briggs, contemporain de Neper, est l’auteur de ce changement dans le système des logarithmes, ainsi que des Tables de logarithmes dont on fait usage communément. Il en a calculé une partie, et le reste l’a été par Vlacq, Hollandais.

Ces Tables parurent à Goude en 1628 ; elles contiennent les logarithmes de tous les nombres depuis 1 à 100000, calculés jusqu’à dix décimales, et elles sont maintenant très-rares : maison a reconnu, depuis, que, pour les usages ordinaires, sept décimales suffisaient, et c’est ainsi qu’ils se trouvent dans les Tables dont on se sert journellement. Briggs et Vlacq employèrent différents moyens très-ingénieux pour faciliter leur travail. Celui qui se présente le plus naturellement  et qui est encore un des plus simples, c’est de partir des nombres 1, 10, 100, … dont les logarithmes sont 0, 1, 2, …, et d’intercaler, entre les termes successifs des deux séries, autant de termes correspondants qu’on voudra, dans la première par des moyennes arithmétiques. De cette manière, quand on sera parvenu à un terme de la première série qui approchera jusqu’à la huitième décimale du nombre donné dont on cherche le logarithme, le terme correspondant de l’autre série sera, à la huitième décimal près, le logarithme de ce nombre : par exemple, pour avoir le logarithme de 2, comme 2 tombe entre 1 et 10, on trouve 3,1627766, et le moyen arithmétique correspondant entre 0 et 1 sera ¹/₂  ou bien 0,50000000 ; ainsi l’on est assuré que ce dernier nombre est le logarithme de l’autre. Puisque 2 est encore entre 1 e le nombre qu’on vient de trouver, on cherchera de même le moyen proportionnel géométrique entre ces deux nombres, on trouve le nombre 1,37823941 ; ainsi , en prenant de même le moyen arithmétique entre 0 e 0,50000000, on aura le logarithme de ce nombre, lequel sera 0,25000000. Maintenant, 2 étant entre ce dernier nombre et le précédent, il faudra, pour en approcher toujours, chercher le moyen géométrique entre ces deux-ci, ainsi que le moyen arithmétique entre leurs logarithmes, et ainsi de suite. On trouve ainsi, par un grand nombre de pareilles opérations, que le logarithme de 2 est 0,3010300, que celui de 3 est 0,4771213, etc., en ne poussant l’exactitude que jusqu’à la huitième décimale. Mais ce calcul n’est nécessaire que pour les nombres premiers ; car, pour ceux qui sont le produit de deux ou de plusieurs, leurs logarithmes se trouvent en faisant simplement la somme des logarithmes de leurs facteurs.

Au reste, comme il n’est plus question de calculer des logarithmes, si ce n’est dans des cas particuliers, on pourrait regarder comme inutile le détail où nous venons d’entrer ; mais on doit être de connaître la marche souvent indirecte et pénible des inventeurs, les différents pas qu’ils ont faits pour parvenir au but, et combien on est redevable à ces véritables bienfaiteurs des hommes. Cette connaissance d’ailleurs n’est pas de pure curiosité : elle peut servir à guider dans des recherches semblables, et elle sert toujours à répandre une plus grande lumière sur les objets dont on s’occupe.

Les logarithmes sont un instrument d’un usage universel dans les sciences et même dans les arts qui dépendent du calcul. En voici, par exemple, une application bien sensible.

Ceux qui ne sont pas tout à fait étrangers à la musique savent que l’on exprime les différents sons de l’octave par les nombres qui déterminent les parties d’une même corde tendue, qui rendraient ces même sons ; ainsi, le son principal étant exprimé par 1, son octave sera par ¹/₂ , la quinte par ²/₃ , la tierce par ⁴/₅ , la quarte par ³/₄ , la second par ⁸/₉ , et ainsi des autres. La distance d’un des sons à l’autre s’appelle intervalle, et doit se mesurer, non par la différence, ma par le rapport des nombres qui expriment les deux sons. Ainsi l’on regarde l’intervalle entre la quarte et la quinte, appelé ton majeur, comme sensiblement double de celui entre la tierce e la quarte, appelé semi-ton majeur. En effet, le premier se trouve exprimé par ⁸/₉ , le second par ¹⁵/₂₆ , et le premier ne diffère pas beaucoup de carré du second, ce qui est aisé à vérifier ; or il est clair que cette considération des intervalles, sur laquelle est fondée toute la théorie du tempérament, conduit naturellement aux logarithmes ; car si l’on exprime les valeurs des différents sons par les logarithmes des longueurs des cordes qui y répondent, alors l’intervalle d’un son à l’autre sera exprimé par la différence même de valeur de ces sons ; et, si l’on voulait diviser l’octave en douze semi-tons égaux, ce qui donnerait le tempérament le plus simple et le plus exact, il n’y aurait qu’à diviser le logarithme de   ¹/₂ , le valeur de l’octave, en douze parties égales.

PROGRESSIONI GEOMETRICHE

LOGARITMI

Lezioni di elementi di matematica - seconda lezione

[...] c'è un'altra teoria che è utile in molte occasioni, è la teoria delle progressioni; quando avete numerosi numeri che hanno la stessa proporzione con quelli che seguono, di modo che il secondo sta al primo come il terzo al secondo, come il quarto sta la terzo, e così di seguito, questi numeri sono in progressione. Comincerò con una osservazione.

Si distinguono comunemente, in tutti i libri di Aritmetica e di Algebra, due tipi di progressioni, l'aritmetica e la geometrica, che corrsipondono alle proprzioni dette aritmetica e geometrica; ma il nome di proporzione mi sembra molto improprio per quella che si dice proporzione aritmetica. Siccome uno degli obiettivi dell'École Normale è di rettificare il linguaggio scientifico, non si considererà inutile questa piccola digressione.

Mi sembra dunque che l'idea di proporzione sia già stabilita dall'uso, e non corrisponda che a quella che si chiama proporzione geometrica. Quando si parla della proporzione delle mambra dell'uomo, delle parti di un edificio, ecc., quando si dice che una pianta che si disegna deve essere ridotta proporzionalmente a una più piccola, ecc., quando si dice ugualmente, in generale, che una cosa deve essere proporzionale ad un'altra, si intende come proporzione l'uguaglianza dei rapporti, come nella proporzione geometrica, e niente affatto l'uguaglianza delel differenze, come nell'aritmetica. Così, invece di dire che i numeri 3, 5, 7, 9 sono in proporzione aritmetica, perché la differenza fra 5 e 3 è la stessa di quella fra 9 e 7, desidererei che per evitare ogni ambiguità, si impiegasse un altro nome,; si potrebbe, per esempio, chiamare questi numeri equidifferenti, conservando il nome di proporzionali ai numeri che sono in proporzione geometrica, come 3, 4, 6, 8.

D'altronde, non vedo perché la proporzione chiamata aritmetica sia più aritmetica di quella che si chiama geometrica, né perché questa è più geometrica dell'altra; al contrario, l'idea primitiva di questa qui è fondata sull'Aritmetica, poiché quella dei rapporti viene essenzialmente dalla considerazione dei numeri.

Del resto, aspettando che si cambi questa denominazione impropria di proporzione aritmetica e geometrica, continuerò a servirmene per maggior semplicità e comodità.

La teoria delle progressioni geometriche ha poche difficoltà: ci sono delle quantità che aumentano o diminuiscono costantemente della stessa quantità; ma quella di progressione geometrica è più difficile e più importante,  perché da essa dipendono delle querstion interessanti: per esempio, tutti i problemi sull'interesse composto, e quelli che riguardano lo sconto, e molti altri simili.

In generale, quando una quantità aumenta, e la forza della crescita, per così dire, è proporzionale alla quantità stessa, essa produce delle quantità in proporzione geometrica. Si osserva che, nei paesi dove il sostentamento era molto facile, come nelle prime colonie americane, la popolazione raddoppiava alla fine di vent'anni; se è doppia alla fine di vent'anni, sarà quadrupla alla fine di quarant'anni, ottupla alla fine di sessant'anni, ecc.; questo ci dà, come si vede, una progressione geometrica che corrisponde a degli intervalli di tempo in progressione geometrica. e' lo stesso per l'interesse composto: se si suppone che una somma data di denaro produca, alla fine di un certo tempo, una certa somma; alla fine di un tempo doppio, la stessa somma produrrà ancora una somma simile, e , in più, la somma prodotta nel primo intervallo di tempo avrà prodotto proporzionalmente un'altra somma durante il secondo intervallo di tempo, e così di tempo. Si chiama comunemente la somma primitiva il capitale, la somma prodotta l'interesse, e il rapporto costante fra il capitale e l'interesse, per un anno, tasso (?). Così tasso venti  indica che l'interesse è la ventesima parte del capitale, che si chiama anche 5 per 100, poiché 5 è la ventesima parte di 100. Su questa base, il capitale sarà aumentato, alla fine di un anno, di un ventesimo; di conseguenza, si troverà aumentato in ragione di 21 a 20; alla fine di due anni, sarà aumentato ancora  nella medesima ragione, cioè ²¹/₂₀, moltiplicato per ²¹/₂₀; alla fine di tre anni, per la ragione di ²¹/₂₀, moltiplicata due volte per se stessa, e così di seguito. E si trova che in questo modo che si sarà all'incirca duplicato alla fine di quindici anni sarà decuplicato alla fine di cinquantatre anni. Reciprocamente dunque, poiché una somma pagata attualmente diventerà doppia alla fine di quindici anni, è chiaro che una somma che non dovrà essere pagata che alla fine di quindici anni, non avrà attualmente che un valore minore di metà: è quello che si chiama valore attuale di una somma pagabile alla fine di un certo periodo; è chiaro che, per trovare questo valore, non si avrà che di dividere la somma promessa tante volte per la frazione  ²¹/₂₀, o meglio moltiplicarla per la frazione ²⁰/₂₁ tante volte quanti sono gli anni che dovranno passare.. Così si troverà allo stesso modo che una somma pagabile alla fine di cinquantatre anni non varrà attualmente che un decimo; da questo si vede quanto poco vantaggio si avrà nel disfarsi della proprietà assoluta di un fondo, per non conservarne l'usufrutto che per cinquant'anni, per esempio, perché non si guadagnerà che il decimo in usufrutto, mentre si avrà perduto la proprietà per l'eternità.

Nelle rendite vitalizie, la considerazione dell'interesse si combina con la probabilità della vita; e, poiché ognuno crede sempre di poter vivere molto a lungo, e che, d'altra parte, non si può far molto caso di una proprietà che si è obbligati ad abbandonare morendo, ne risulta un'attrattiva particolare, quando non si hanno dei figli, per mettere i propri beni, tutto o in parte, a fondo perduto. Nondimeno, quando si calcola una rendita vitalizia a rigore, essa non presenta abbastanza vantaggi per impegnarsi a sacrificarvi la proprietà dei fondi.

Così, tutte le volte che si sono volute creare delle rendite vitalizie abbastanza attraenti per impegnare i privati a interessarsene, è stato necessario farle a delle condizioni onerose per l'istituzione.

Ma ne diremo di più quando si esporrà la teoria delle rendite vitalizie, che una branca del Calcolo delle probabilità.

Finirò col dire ancora una parola sui logaritmi. L'idea più semplice che ci si può fare della teoria dei logaritmi, come sono nelle nostre Tavole usuali, consiste nell'esprimere tutti inumeri mediante delle potenze di 10, e in questo modo gli esponenti di queste potenze sono i logaritmi. In questo modo, è evidente che la moltiplicazione e la divisione dei due numeri si riducono all'addizione e alla sottrazione dei rispettivi esponentiioè dei loro logaritmi; e conseguentemente l'elevazione a potenza e l'estrazione delle radicisi riducono alla moltiplicazione o alla divisione, cosa che è un vantaggio immenso in Aritmetica e che rende i logaritmi così preziosi.

Ma, all'epoca in cui hanno inventato i logaritmi, non si conosceva ancora questa teoria delle potenze, non si pensava che la radice di un numero potesse vedersi come una potenza frazionaria. Ecco come ci si è arrivati:

Si sono dunque considerate due linee: la prima generata dal movimento di un punto che descrive in tempi uguali spazi in progressione geometrica e l'altra generata da un punto che descrive spazi che aumentano come i tempi, e che formano di conseguenza una progressione aritmetica, corrispondente alla geometrica; e si suppose, per maggior semplicità,  che le velocità iniziali dei due punti fossero uguali, e questo ha prodotto i logaritmi, che si sono inizialmente chiamati naturali, in seguito iperbolici, quando si è riconosciuto che potevano essere espressi attraverso l'area delliperbole entro gli asintoti. In questo modo, è chiaro che per avere il logaritmo di un qualunque numero dato, non si tratta che di prendere sulla prima linea una parte uguale al numero dato, e di cercare quella parte della seconda linea che sarà stata descritta nello stesso tempo che questa parte della prima.

In conformità a questa idea, se si prendono come primi due termini della progressione geometrica i numeri molto poco differenti 1 e 1,0000001, e per quelli della progressione aritmetica, e che si cerchino successivamente, attraverso le regole note, tutti i termini seguenti delle due progressioni, si trova che il numero 2 è, circa all'ottava cifra decimale, il 6931472° della progressione geometrica; di modo che il logaritmo di 2 è 0,6931472; il numero 10 si trova al 23025851° posto della stessa progressione; di conseguenza il logaritmo di 10 è 2,3025851, e così via. Ma Nepero, non avendo come obiettivo che quello di trovare i logaritmi dei numeri più piccoli dell'unità, per l'applicazione alla Trigonometria, dove il seno e il coseno degli angoli sono espressi come frazioni del raggio, ha considerato la progressione geometrica decrescente i cui primi due erano 1 e 0,9999999, e ne ha trovato, con calcoli immensi, i termini seguenti. Sotto questa ipotesi, il logaritmo che abbiamo appena trovato per il numero 2 diventa quello del numero ¹/₂  o 0,5, e quello del numero 10 corrisponde al numero ¹/₁₀  o 0,1; cosa che è facile da capire a causa della natura delle due progressioni.

Questo lavoro di Nepero apparve nel 1614; se ne capì immediatamente l'utilità e si capì allo stesso tempo che sarebbe stato più conforme al sistema decimale della nostra Aritmetica, e conseguentemente molto più semplice, fare in modo che il logaritmo di 10 fosse l'unità, a condizione che quello di 100 fosse 2, e così di seguito. Per questo, invece di prendere come primi due termini della progressione geometrica i numeri 1 et 1,0000001, si sarebbero dovuti prendere i numeri 1 e 1,0000002302 mantenendo 0 e 0,0000001 come termini corrispondenti della progressione aritmetica; da cui si vede che, mentre il punto, che è supposto generare con il suo movimento la linea geometrica o dei numeri, avrà descritto la parte piccolissima 0,0000002302…, l'altro punto, che dovrà generare nello stesso tempo la linea aritmetica, o dei logaritmi, avrà percorso la parte 0,0000001; e così gli spazi descritti nello stesso tempo dai due punti all'inizio del loro movimento, cioè le loro velocità iniziali, invece di essere uguali, come nel sistema precedente, saranno nel rapporto dei numeri 2,302... e 1, dove si osserverà che il numero 2,302... è esattamente quello che, nel primo sitema dei logaritmi naturali, esprime il logaritmo di 10; cosa che si può anche dimostrare a priori, come vedremo, quando si applicheranno le formule algebriche alla teoria dei logaritmi. Briggs, contemporaneo di Nepero, è l'autore di questo cambiamento del sistema dei logaritmi, così come delle Tavole dei logaritmi che si usano comunemente. Ne ha calcolato una parte, il resto  e stato calcolato dall'olandese Vlacq.