SECTION QUATRIÈME

 CONCLUSION DES RÉFLEXIONS PRÉCÉDENTES, AVEC QUELQUES REMARQUES GÉNÉRALES SUR LA TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS, ET SUR LEUR RÉDUCTION OU ABAISSEMENT A UN MOINDRE DEGRÉ

SEZIONE QUARTA

 CONCLUSIONE DELLE RIFLESSIONI PRECEDENTI, CON QUALCHE OSSERVAZIONE GENERALE SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI, E SULLA LORO RIDUZIONE O ABBASSAMENTO A UN GRADO MINORE

86. On a dû voir par l’analyse que nous venons de donner des principales méthodes connues pour la résolution des équations, que ces méthode se réduisent toutes à un même principe général, savoir à trouver des fonctions des racines de l’équation proposée, lesquelles soient elles : 1° que l’équation ou les équations par lesquelles elles seront données, c’est-à-dire dont elles seront les racines (équations qu’on nomme communément les réduites), se trouvent d’un degré moindre que celui de la proposée, ou soient au moins décomposables en d’autres équations d’un degré moindre que celui-là ; 2° que l’on puisse en déduire aisément les valeurs des racines cherchées.  

86. Si è dovuto vedere mediante l’analisi che abbiamo appena fatto dei principali metodi conosciuti per la risoluzione delle equazioni, che questi metodi si riducono tutti a un medesimo principio generale, saper trovare delle funzioni delle radici dell’equazione proposta, tali che: 1° che l’equazione o le equazioni dalle quali siano date, cioè di cui siano le radici (equazioni che vengono chiamate comunemente ridotte), siano di un grado minore di quello dell’equazione proposta, o siano almeno scomponibili in altre equazioni di grado minore di quello; 2° che si possa dedurne facilmente i valori delle radici cercate.

L’art de résoudre les équations consiste donc à découvrir des fonctions des racines, qui aient les propriétés que nous venons d’énoncer ; mais est-il toujours possible de trouver de telles fonctions, pour les équations d’un degré quelconque, c’est-à-dire pour tel nombre de racines qu’on voudra ? C’est sur quoi il paraî très-difficile de pouvoir pronuncer en général.

L’arte di risolvere le equazioni consiste dunque nello scoprire delle equazioni delle radici, che soddisfino le proprietà che noi abbiamo appena enunciato; ma è sempre possibile trovare di tali funzioni, per equazioni di un grado qualsiasi, cioè per il numero di radici che si vorrà? E’ su questo che sembra molto difficile potersi pronunciare in generale.

A l’égard des équations qui ne passent pas le quatrième degré, les fonctions les plus  simples qui donnent leur résolution peuvent être représentées par la formule générale

étant les racines de l’équation proposée, qu’on suppose être du degré μ, et y étant une racine quelconque autre que l’unité de l’équation

c’est-à-dire une racine quelconque de l’équation

comme il résulte de tout ce qu’on a exposé dans les deux premières Sections, touchant la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

Riguardo le equazioni che non superano il quarto grado, le funzioni più semplici che danno loro soluzione possono essere rappresentate dalla formula generale

essendo le soluzioni dell’equazione proposta, che si suppone essere di grado μ, ed essendo  y una radice qualsiasi diversa dall’unità dell’equazione

cioè una radice qualsiasi dell’equazione

come risulta da tutto quello che si è esposto nelle due prime Sezioni, esaminando la risoluzione delle equazioni di terzo e di quarto grado.

Quant à celle des équations du second degré dont nous avons jusqu’à présent fait abstraction, il est visible qu’elle se rapporte aussi au même principe ; car en faisant   , on aura la fonction ; et l’équation    donnant   , cette fonction diviendra   , c’est-à-dire la différence des deux racines, or l’art de résoudre les équations du second degré consiste uniquement à faire évanouir le second terme pour avoir une réduite qui, ne contenant que le carré de l’inconnue, soit résoluble par la simple extraction de la racine carrée ; et comme l’évanouissement du second terme dans une équation quelconque exige qu’on diminue les racines du coefficient de ce terme pris avec un signe contraire, et divisé par l’exposant du degré de l’équation, c’est-à-dire de la somme de toutes les racines divisée par le nombre de ces racines, il s’ensuit que la réduite du second degré aura pour racines les différences entre les racines de la proposée, divisées par 2, ou bien ces différences même, en supposant qu’on augmente les racines de la réduite dans la raison de 1 à 2, ce qui ne change rien à la nature de cette équation.

Quanto a quella delle equazioni di secondo grado di cui fino ad ora abbiamo fatto astrazione, è manifesto che anch’essa fa riferimento allo stesso principio; perché ponendo  , si avrà la funzione  ; e dando l’equazione      la soluzione     questa funzione diventerà , questa funzione diventerà , cioè la differenza delle due radici, ora l’arte di risolvere le equazioni di secondo grado consiste unicamente nel fare scomparire il secondo termine per avere una ridotta che, non contenendo che il quadrato dell’incognita, sia risolubile mediante la semplice estrazione della radice quadrata; e siccome l’eliminazione del secondo termine di un’equazione qualsiasi richiede che si diminuiscano le radici del coefficiente di questo termine preso con segno opposto e diviso per l’esponente del grado dell’equazione, ne segue che la ridotta di secondo grado avrà per radici la differenza fra le radici dell’equazione proposta, divise per 2, o proprio questa differenza stessa, supponendo che si aumentino le radici della ridotta nel rapporto 1 a 2, cosa ce non cambi niente riguardo alla natura di questa equazione. 

Il semble donc qu’on pourrait conclure de là par induction que toute équation, de quelque degré qu’elle soit, sera aussi résoluble à l’aide d’une réduite dont les racines soient représentées par la même formule

Sembra dunque che si possa concludere da questo per induzione che ogni equazione, di qualsiasi grado esse siano, sia anch’essa risolubile con l’ausilio di una ridotta le cui radici siano rappresentate dalla stessa formula

Mais, d’après ce que nous avons démontré dans la Section précédente à l’occasion des méthodes de MM. Euler et Bezout, lesquelles conduisent directement à de pareilles réduites, on a, ce semble, lieu de se convaincre d’avance que cette conclusion se trouvera en défaut dès le cinquième degré ; d’où il s’ensuit que , si la résolution algébrique des équations des degrés supérieurs au quatrième n’est pas impossible, elle doit dépendre de quelques fonctions des racines, différentes de la précédente.

Ma, dopo quello che abbiamo dimostrato nella Sezione precedente riguardo ai metodi di Eulero e Bezout, i quali conducono direttamente a delle ridotte uguali, ci si può, sembra convincersi in anticipo che questa conclusione si troverà in difetto al quinto grado; da questo segue che, se la risoluzione delle equazioni dei gradi superiori al quarto non è impossibile, essa deve dipendere da qualche funzione delle radici, differenti dalla precedente.

87. Comme jusqu’ici nous n’avons fait que chercher ces sortes de fonctions à posteriori et d’après les méthodes connues pour la résolution des équations, il est nécessaire de faire voir maintenant comment il faudrait s’y prendre pour les trouver à priori et sans supposer d’autres principes que ceux qui suivent immédiatement de la nature même des équations : c’est l’objet que je me propose principalement dans cette Section.

87. Poiché fino ad ora noi non abbiamo fattto che cercare queste specie di funzioni a posteriori e in base ai metodi conosciuti per la risoluzione delle equazioni, è necessario fare vedere ora come si deve procedere per trovarle a priori e senza supporre altri principi che quelli che conseguono immediatamente dalla natura stessa delle equazioni: è l’obiettivo che mi propongo principalmente in questa Sezione.

Je donnerai d’abord des règles directes et générales pour déterminer le degré et la nature de l’équation d’où une fonction quelconque proposée des racins d’une équation de degré donné devra dépendre ; quoique cette matière ait déjà traitée par d’habiles Géomètres, je crois qu’elle peut l’être encore d’une manière plus directe et plus générale, surtout dans le point de vue où nous l’envisageons ici, relativement à la résolution générale des équations.

Darò innanzitutto delle regole dirette e generali per determinare il grado e la natura dell’equazione da cui una funzione qualsiasi proposta delle radici di un’equazione di un grado dato dovrà dipendere ; poiché questa materia è già stata trattata da abili Geometri, credo che essa possa esserlo ancora in una maniera più diretta e più generale, soprattutto dal punto di vista con cui l’esamineremo qui, relativamente alla risoluzione delle equazioni.

Je ferai voir ensuite quelles sont les conditions nécessaires pour que l’équation dont il s’agit puisse admettre la résolution en supposant uniquement celle des équations des degrés inférieurs à celui de l’équation proposée ; et je donnerai à cette occasion les vrais principes et, pour ainsi dire, la métaphysique de la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

[….]

Farò vedere in seguito quali sono le condizioni necessarie affinché l’equazione di cui si tratta possa ammettere la risoluzione supponendo unicamente quelle delle equazioni dei gradi inferiori a quello delle equazioni proposte ; e darò in questa occasione i veri principi e, per così dire, la metafisica delle equazioni di terzo e di quarto grado.

[….]