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50. Nous terminons ici notre analyse des méthodes qui concernent la résolution des équations du quatrième degré. Non seulement nous avons rapproché ces méthodes les unes des autres, et montré leur liaison et leur dépendance mutuelle ; nous avons encore, ce qui était le point principal, donné la raison à priori pourquoi elles conduisent, les unes à des réduites du troisième degré, les autres à des réduites du sixième, mais qui peuvent s’abaisser au troisième ; et l’on a dû voir que cela vient en général de ce que les racines de ces réduites sont des fonctions des quantités x’, x’’, x’’’, xiv, telles, qu’en faisant toutes les permutations possibles entre ces quatre quantités, elles ne peuvent recevoir que trois valeurs différentes comme la fonction x’x’’ + x’’’ xiv , ou six valeurs, mais deux à deux égales et de signes contraires, comme la fonction x’ + x’’ - x’’’ + xiv, ou bien six valeurs telles, qu’en les partageant en trois couples et prenant la somme ou le produit des valeurs de chaque couple, ces trois sommes ou ces trois produits soient toujours les mêmes, quelque permutation qu’on fasse entre les quantitées x’, x’’, x’’’, xiv, comme la fonction trouvée au n° 42. C’est uniquement de l’existence de telles fonctions que dépend la résolution générale des équations du quatrième degré. |
50. Terminiamo qui la nostra analisi dei metodi che concernono la risoluzione delle equazioni di quarto grado. Non solamente abbiamo paragonato questi metodi l'uno con l'altro e dimostrato il loro legame e la loro dipendenza reciproca; abbiamo anche, e questo è il punto principale, dato la giustificazione a priori del perché essi conducano gli uni a delle ridotte di terzo grado, gli altri a delle ridotte di sesto, ma che possono essere abbassate al terzo; e si è potuto vedere che questo deriva in generale dal fatto che le radici di queste ridotte sono delle funzioni delle quantità x’, x’’, x’’’, xiv tali che, facendo tutte le possibili permutazioni di queste quattro quantità, esse non possono assumere che tre valori differenti come la funzione x’x’’ + x’’’ xiv , o sei valori, ma a due a due uguali e di segno contrario, come la funzione x’ + x’’ - x’’’ + xiv , o sei valori tali che, suddividendoli in tre copie e prendendo la somma o il prodotto di ciascuna copia, queste tre somme o questi tre prodotti sono sempre gli stessi, qualunque permutazione si faccia delle tre quantità x’, x’’, x’’’, xiv , come la funzione trovata al n° 42. E' unicamente dall'esistenza di tali funzioni che dipende la risoluzione generale delle funzioni di quarto grado. |