Questi sono appunti di una lezione svolta con una 4^
liceo scientifico-tecnologico. La seconda parte era relativa alla nascita della
geometria analitica con Cartesio, in cui è stato esaminato (tradotto) il brano
tratto da La Géometrié riportato in questo sito.
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I
più antichi testi che riportano esempi di
risoluzione algebrica di un’equazione completa di secondo grado sono del
periodo babilonese antico e risalgono a circa 4000 anni fa.
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I
Greci affrontarono le equazioni di I e
II grado soltanto in modo esclusivamente geometrico. Per esempio
l’equazione veniva impostata con
la seguente formulazione “ Dato un segmento a
e un’area b determinare quale altezza
x deve avere un rettangolo di base a+x affinché la sua area sia uguale a b”. L’incognita x veniva poi trovata con una costruzione geometrica. [N.B. I
termini letterali non erano usati dai Greci. Quello precedente è un esempio
“tradotto” in termini moderni]. Lo sviluppo dell’algebra in Grecia fu molto inferiore
a quello della geometria. I Greci utilizzarono unicamente i numeri razionali.
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Lo
sviluppo dell’algebra riprese con gli Indiani e gli Arabi. La parola algebra deriva dal nome di un libro
“Al-jabr wa’l muqabalah” scritto verso l’830 dal matematico Al-Khuwarismi, dal
nome del quale deriva a sua volta il termine algoritmo. Nella sua opera egli introduce i principi di equivalenza
delle equazioni e mostra i metodi risolutivi delle equazioni di I e di II
grado. Agli Indiani e agli Arabi si
deve l’introduzione dello zero, dei numeri negativi e della scrittura
posizionale dei numeri.
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I
risultati ottenuti dagli Arabi arrivarono in Europa attraverso le Crociate e
gli scambi commerciali. Venne affrontata anche la risoluzione di equazioni di
grado superiore al secondo. I problemi e le risoluzioni erano espressi senza
simboli, unicamente a parole (algebra
retorica). Non venivano accettate le soluzioni negative.
1° esempio. Riconoscete l’equazione e la formula risolutiva
riportate nel testo seguente? [N.B. censo: quadrato dell’incognita, radice: l’incognita, numero: termine noto]
Quando vorrai
trovare il valore del censo che con le radici assegnate sia uguale al numero
dato, fai così: prendi il quadrato della metà delle radici e aggiungi il
numero, come sopra dato, e di ciò che otterrai prendi la radice dalla quale
togli il numero della metà delle radici e ciò che resterà sarà la radice del
censo richiesto. [Leonardo Fibonacci, Liber abaci,
1202]
2° esempio. Provate a tradurre in linguaggio attuale
l’equazione e la formula risolutiva riportate nel testo seguente. [N.B. cosa: incognita, cubi: cubo dell’incognita, numero:
termine noto]
Il Capitolo di
cose e cubo uguale al numero:
Quando le cose
e li cubi si eguagliano al numero, ridurrai l’equazione a 1 cubo partendo per
la quantità delli cubi, poi cuba la terza parte delle cose, poi quadra metà dil
numero e questo suma con il detto cubato, et la radice di detta summa più la
metà del numero fa un binomio et la radice cuba di tal binomio, men la radice
cuba del suo residuo val la cosa. [Pompeo Bolognetti, Regole pricipali dell’Arte maggiore, 1554-1558]
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Furono
scoperte le formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado. Tali
formule portarono però alla necessità di utilizzare nei calcoli intermedi numeri
negativi e radici quadrate di numeri negativi, cioè dei numeri immaginari
(introdotti dal bolognese Raffaele Bombelli nel 1572). Tali numeri non venivano
tuttavia accettati come veri numeri,
ma solo come ripiego per completare i calcoli e giungere così alle soluzioni positive.
1° esempio. Scritta con notazioni moderne la formula
risolutiva dell’equazione di terzo grado è . Se si applica questa formula all’equazio-ne , si ottiene (quindi radici di
numeri negativi ....) e solo dopo calcoli inventati
fatti con numeri che non esistono
si arriva alla soluzione accettabile x = 4.
2° esempio. Per molto
tempo i matematici non accettarono, se non come artificio di calcolo, i numeri
che non fossero razionali positivi.
Per i numeri reali. Poiché, nel dimostrare le
figure geometriche, quando i numeri razionali non ci bastano i numeri
irrazionali prendono il loro posto e dimostrano esattamente quelle cose che i
numeri razionali non potrebbero dimostrare [...] noi siamo spinti e costretti
ad affermare che essi sono veramente numeri; siamo infatti costretti dai
risultati che seguono dal loro impiego, risultati che percepiamo come reali,
certi e costanti. D’altro canto, altre considerazioni ci costringono a negare
che i numeri irrazionali siano affatto numeri. Infatti quando cerchiamo di
assoggettarli alla numerazione [forma decimale] scopriamo che essi sempre si
dileguano, cosicché non uno di loro può essere precisamente appreso in se
stesso. [...] Ora, non può chiamarsi un vero numero ciò che per sua natura
manca di precisione. [...] Perciò, come un numero infinito non è un numero,
così un numero irrazionale non è un vero numero, ma qualcosa di nascosto in una
specie di nuvola d’infinito. [ Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544]
A proposito di radici negative. Per quanto sono in grado di giudicare, esse
servono solo a confondere tutta la teoria delle equazioni e a rendere oscure e
misteriose cose che per loro natura sono fin troppo chiare e semplici.[...] Le
radici negative, perciò, non avrebbero mai dovuto essere ammesse in algebra, e
bisogna sperare che ne vengano escluse: se ciò accadesse vi sono buone ragioni
per immaginare che le obiezioni che molte persone dotate di ingegno muovono
alle computazioni algebriche, affermando che esse sono oscure o complicate da
concetti quasi inintelleggibili, verrebbero a cadere. [Francis Masères, Dissertation on
the Use of the Negative Sign in Algebra, 1759]
A proposito di numeri complessi. Vediamo dunque che le radici quadrate dei
numeri negativi non sono né maggiori né minori di zero. Né si può dire che
siano zero [...] E’ chiaro che non si può neppure includere la radice quadrata
di un numero negativo fra i numeri possibili, e bisogna dunque dire che è una
quantità impossibile. E’ in questo modo che siamo condotti all’idea di numeri
che per loro natura sono impossibili. Di solito questi numeri sono chiamati
numeri immaginari, numeri non raffigurabili, perché esistono esclusivamente
nell’immaginazione. [Euler, Algebra,
1770]
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Nella
prima metà del XVII viene introdotta [finalmente!] l’algebra simbolica, nella quale vengono utilizzati dei simboli
accettati e riconosciuti da tutti i matematici. La Géometrie (1637) di Cartesio è il più antico testo matematico
che può essere letto ancora oggi senza incontrare difficoltà nel linguaggio e
nel simbolismo.
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Solo
nella prima metà del XVIII secolo i matematici accettarono il concetto di
numero negativo.
Esempio . Ma delle
Quantità altre sono positive, cioè maggiori del nulla, altre minori del nulla,
e però negative. Per cagione d’esempio: I Beni che si posseggono, sono
positivi, ma quelli, che ad altri si debbono, sono negativi, perché dai
positivi s’hanno a sottrarre, e ne diminuiscono la somma, e però siccome sono
quantità positive i Capitali, che uno abbia, così sono quantità negative i
debiti. Similmente se un Mobile diretto verso uno scopo, o meta del suo viaggio
descriva uno spazio positivo; ma se si porterà dalla parte opposta, descriverà uno
spazio, che relativamente alla meta, verso cui doveva andare, sarà negativo.
Quindi in Geometria se una linea condotta da una parte si assuma per positiva
(il che è arbitrario) sarà negativa la linea condotta dalla parte opposta. [Maria
Gaetana Agnesi, Istituzioni analitiche,
1748] .