Gradient et laplacien

Le programme gradlap() calcule le gradient et/ou le laplacien d'un champ de scalaires f(M). Il ne prend aucun argument en entrée : tous les éléments utiles au calcul sont demandés à l'utilisateur ou accessibles par des menus.

Dès le départ, le programme gradlap() nous demande l'expression f(x,y,z). On a posé ici f(x,y,z)=x/y+y/z+z/x. On a ensuite calculé le Gradient au point (x,y,z) (touche F2). Puis on a calculé le laplacien au point (x,y,z) (touche F3). F1 permet la saisie de point. On peut par exemple : Donné à x la valeur 1 (tout en conservant à y,z leurs valeurs quelconques). et afficher le gradient au point (1,y,z) (touche F2).

Pour finir, quelques remarques sur les champs de vecteurs ou de scalaires :

On dit que f est harmonique si son laplacien est nul.

Si f est C², alors rot(grad(f)) est le champ de vecteurs nul. De même, si E est un champ de vecteurs de classe C², div(rot(E)) est le champ de scalaires nul.

Réciproquement, et sous certaines hypothèses (notamment sur le domaine de définition) : si le rotationnel rot(E) est identiquement nul, alors il existe un champ de scalaires f tel que E=grad(f) (ce champ f est défini à une constante près). On dit alors que E dérive du potentiel scalaire f.

De même (sous certaines hypothèses), si div(E) est identiquement nulle, alors il existe un champ de vecteurs U (défini à un gradient près) tel que E=rot(U). On dit alors que le champ E dérive du potentiel vecteur U.

La circulation d'un champ de gradients E=grad(f), le long d'un arc AB, ne dépend que des extrémités de cet arc : elle est égale à la différence f(B)-f(A). Les physiciens notent souvent E=-grad(V). La circulation du champ E est alors égale à la chute de potentiel.

Le flux d'un champ de rotationnels E=rot(U) à travers une surface fermée est nul. Si la surface n'est pas fermée, le flux ne dépend que du bord de la surface (c'est la circulation de U le long de ce bord, convenablement orienté).