Diamo una definizione: sia F una famiglia di n (n>=1) insiemi. Per 1<=k<=n diciamo che F è k-intersecante se ogni qualvolta prendiamo k insiemi della famiglia F questi k insiemi hanno intersezione non vuota.
Osservazione: Una famiglia di n insiemi è 1-intersecante se e soltanto se l'insieme vuoto non è un elemento della famiglia.
Osservazione: Per ogni n>=1 esiste una famiglia di n+1 insiemi che è n-intersecante ma non (n+1)-intersecante; per vederlo basta definire gli insiemi Sj della famiglia F come segue: si prende i elemento di S_j sse i<>j (i, j=1, 2, ... , n, n+1); si vede facilmente che la famiglia di insiemi S₁, S₂, ..., S_n, S_n+1 soddisfa la condizione.
Problema: Sia n>1 e 1<=k<n. Esiste sempre una famiglia di n insiemi che è k-intersecante ma non (k+1)-intersecante?
Soluzione: Si vede subito che la risposta è positiva per k=1 (insiemi disgiunti) e k=2 (n rette di un piano aventi a due a due direzioni diverse e che non si intersecano a tre a tre). Si è osservato sopra che è vero anche per k=n-1. Astraendo e generalizzando il caso delle rette del piano con direzioni diverse è possibile dare una risposta positiva al problema posto sopra. Per i=1,2,...,n poniamo che l'insieme S_i sia costituito dagli insiemi (i, j) (coppie non ordinate) con j<>i. Si vede che questi insiemi sono 2-intersecanti ma non 3-intersecanti. Questo esempio astrae il caso delle rette con direzioni diverse. Generalizziamo ora questo esempio. Questa volta l'insieme S_i (i=1,2,...,n) sia costituito dagli insiemi di k (k<n) elementi del tipo (i,i₁,i₂,...,i_k-1) (con i₁,i₂,...,i_k-1<>i e diversi tra loro) (k-ple non ordinate). Si vede che questa famiglia di insiemi è k-intersecante ma non (k+1)-intersecante. Detto in termini leggermente diversi, si considerano tutte le k-ple non ordinate costruite utilizzando gli elementi 1,2,...,n (costituite da elementi diversi tra loro) e si assegnano all'insieme S_i tutte e solo le k-ple che contengono l'elemento i.
Osservazione: Si potrebbe dimostrare che se un insieme di n cerchi (più in generale di n figure convesse del piano, non vuote) è 3-intersecante, allora è n-intersecante (e quindi anche k-intersecante, per k=1,2,3,...,n), cioè esiste almeno un punto comune a tutti i cerchi (insiemi convessi non vuoti).