Siano a,b,c gli elementi di una terna pitagorica (a²+b²=c²) primitiva (cioè a,b e c siano privi di un fattore comune diverso da 1). Allora a e b hanno parità opposta. Infatti, se fossero entrambi pari anche c sarebbe pari, e quindi a,b e c avrebbero in comune il fattore 2. Se invece a e b fossero entrambi dispari allora il fattore 2 sarebbe contenuto una volta soltanto in c² che quindi non potrebbe essere un quadrato perfetto. Infatti se a=2h+1 e b=2k+1 allora a²+b²=4h²+4h+1+4k²+4k+1=2(2(h²+h+k²+k)+1) che è doppio di un numero dispari e quindi contiene il fattore 2 una volta soltanto. Pertanto tra a e b uno dei due deve essere pari e l'altro dispari. Sia a il numero dispari e b quello pari. Dalla relazione a²+b²=c² si ricava (c-a)(c+a)=b². Sia f un fattore comune a (c-a) e a (c+a); allora: f|2c, f|2a, f|b pertanto f non può essere diverso da 2 altrimenti la terna (a,b,c) non sarebbe primitiva. Inoltre il fattore 2 è effettivamente comune a (c-a) e a (c+a), infatti a e c sono entrambi dispari. Quanto osservato permette di scrivere: c-a=2m² e c+a=2n², con m ed n relativamente primi ed m<n. Pertanto:
1) c=m²+n²,
2) a=n²-m²,
3) b=2mn
con m ed n relativamente primi, di parità opposta (infatti, se fossero entrambi dispari allora a sarebbe pari, contraddicendo la nostra assunzione) ed m<n. Viceversa, ogni coppia di naturali m ed n relativamente primi e di parità opposta, con m<n, definisce, mediante le equazione 1), 2) e 3), una terna pitagorica primitiva. Verifichiamo anche quest'ultima affermazione. Siano dunque m ed n relativamente primi e di parità opposta, con m<n. Si vede facilmente per verifica diretta che se a,b e c sono definiti dalle equazioni 1), 2) e 3), allora costituiscono una terna pitagorica con b pari e a dispari, pertanto il fattore 2 non è comune ad a,b,c. Se si suppone che un fattore primo p diverso da 2 sia comune sia ad a che a c, si vede facilmente che tale fattore p è comune sia ad m che ad n, e ciò conclude la dimostrazione.