Sia f una funzione di variabile reale (a valori in un insieme arbitrario). Diremo che T è un periodo della funzione f se T è un numero reale strettamente positivo tale che per ogni x reale si abbia: f(x+T)=f(x).
Osservazione: dalla definizione segue che T=0 non è un periodo.
Osservazione: dalla definizione segue che se T è un periodo, allora posto T'=-T si ha che f(x+T')=f(x), per ogni x reale, ma T' non è un periodo.
Osservazione: l'insieme dei numeri reali T tali che f(x+T)=f(x) per ogni x reale è un gruppo abeliano rispetto all'addizione.
Osservazione: se T e T' sono due periodi distinti, con T'>T, allora la differenza T'-T è un periodo. Anche i multipli di T della forma kT, con k=1,2,3,... sono periodi. Da ciò ne segue che se esiste un periodo minimo allora ogni altro periodo è un multiplo intero di questo periodo minimo.
Osservazione: non è detto che l'insieme dei periodi di una funzione abbia un elemento minimo. Un controesempio banale è costituito da una funzione costante. Per un altro controesempio si può considerare la funzione f(x) di Dirichlet che è definita uguale ad 1 quando x è un numero razionale, ed uguale a 0 quando x è un numero irrazionale. Tale funzione ha come insieme dei periodi l'insieme dei numeri razionali strettamente positivi, che non ha minimo (l'estremo inferiore vale 0). In generale, si può vedere facilmente che se l'insieme dei periodi di una funzione non è vuoto e non ha un elemento minimo, allora l'estremo inferiore dei periodi è 0.
Tuttavia se f è una funzione reale di variabile reale, continua e non costante, non è difficile verificare che l'insieme dei suoi periodi, se non è vuoto, ammette un elemento minimo, e quindi, come è stato già osservato, ogni altro periodo è un multiplo intero di questo periodo minimo. Pertanto si può dire che se l'insieme dei periodi di una funzione non è vuoto, allora condizione sufficiente affinchè questo insieme abbia un minimo è che la funzione sia continua e non costante. Questa condizione sufficiente non è necessaria: basta considerare come controesempio la funzione a "dente di sega" f(x)=parte_frazionaria(x), che ha un periodo minimo uguale a 1.
Esercizio: se il grafico di una funzione (reale, ma non è necessario) di variabile reale f ammette due distinti assi di simmetria paralleli all'asse delle y, allora f ammette un periodo T, e un'infinità di assi di simmetria.