Il piccolo teorema di Fermat afferma che se p è un numero primo e a un numero naturale primo con p, allora a^p-1=1 (mod. p). Esiste una generalizzazione (Eulero) di questo teorema, vediamola. Indichiamo con f(n) la funzione f di Eulero, ossia il numero di naturali compresi tra 1 ed n che sono relativamente primi con n. Ad es. se p è un numero primo allora f(p)=p-1; f(8)=4; f(12)=4; f(15)=8 ecc. Si può dimostrare che se a è un naturale primo con n, allora a^f(n)=1 (mod. n) (Eulero). Vediamo un'applicazione di questo teorema. Se d è un numero dispari allora 2^f(d)=1 (mod. d), cioè 2^f(d)-1 è multiplo di d. Ora se d=3^k, allora 2^f(d)-1 contiene il fattore 3 almeno k volte e f(d) è pari. Fattorizzando ricorsivamente 2^f(d)-1 più volte usando l'identità b²-a²=(b-a)(b+a) (con a=1), e tenendo presente che 2^s+1 non è multiplo di 3 se s è pari, e 2^s-1 non è multiplo di 3 se s è dispari, infine si ottiene un termine 2^t+1 (con t dispari) che contiene il fattore 3 almeno k volte.
Possiamo così concludere che comunque grande sia fissato un k naturale, è possibile trovare un esponente dispari d tale che il fattore 3 sia contenuto almeno k volte in 2^d+1.
In realtà si può dettagliare meglio l'osservazione notando che f(3^k)=2×3^k-1. Essendo f(3^k) il doppio di un numero dispari, il processo ricorsivo di fattorizzazione di cui sopra si arresta subito; infatti:
2^2×3k-1-1=(2^3k-1+1)(2^3k-1-1).
Pertanto si conclude che:
2^3k-1+1 è un multiplo di 3^k, per k=1,2,3,...
Ci si potrebbe chiedere se, al variare di k, il numero di fattori 3 presenti nel rapporto tra 2^3k-1+1 e 3^k è limitato oppure no, e nel primo caso si potrebbe cercare di stabilire il numero massimo di fattori.
Per quanto riguarda l'equazione 2ⁿ+1=3^k si può invece dimostrare che ammette tra i numeri naturali (incluso 0) solo queste due soluzioni: (n,k)=(1,1),(3,2).