L'EDUCAZIONE MATEMATICA
In questo spazio non si intende sviluppare una vera e propria didattica della matematica. Si intende, invece, cercare di individuare i principali concetti matematici che i bambini in età di frequentare la scuola elementare o primaria dovrebbero acquisire.
Ciò fatto, dopo aver chiarito, per ogni concetto, che cosa si intende, si cercherà di suggerire alcuni accorgimenti per aiutare chiunque si occupi dei bambini, insegnanti o, anche, genitori, a trovare una strada per aiutare i bambini stessi ad acquisire quei concetti. Tutto ciò, ovviamente, senza escludere la validità di altre proposte o suggerimenti di cui è ricca la letteratura sull’argomento.
Si ritiene che i principali e fondamentali concetti da acquisire siano:
5) I concetti di spazio e di tempo
Il concetto di numero è legato al concetto di quantità e al concetto di ordine. Ogni numero, infatti, rappresenta una quantità e, contemporaneamente, una posizione nella serie ordinata dei numeri. Ha, in altre parole, un valore cardinale (indica una quantità) e un valore ordinale (indica una posizione nella serie).
Normalmente i bambini imparano a contare fin da prima di accedere alla scuola primaria. Essi imparano, quindi a mettere in relazione i numeri con delle quantità, e imparano, nello stesso tempo, a riconoscere l'ordine con cui i numeri si succedono.
E' pure molto probabile che i bambini, fin dalla scuola dell'infanzia, abbiano fatto esercizi con gli "insiemi". E' un modo semplice e razionale per abituare i bambini a rappresentarsi visivamente le quantità e a considerare il numero che esprime la quantità degli oggetti contenuti nell'insieme come un attributo dell'insieme stesso.
Consideriamo un insieme di palline rosse. Quando le abbiamo contate e abbiamo constatato che si tratta di cinque palline rosse, possiamo parlare di un insieme di 5 palline rosse. Gli attributi, cioè le qualità di quell'insieme sono due:
1) essere palline rosse, 2) essere 5.
Gli esercizi con gli insiemi sono divertenti e sono consigliabili anche nella scuola primaria, specie nelle prime classi.
Normalmente si fanno giocare i bambini con oggetti vari che vengono collocati all'interno di un "recinto" che può essere costituito anche semplicemente da uno spago annodato che formi un confine più o meno circolare e chiuso, all'interno del quale si collocano gli oggetti. Gli esercizi possono consistere nel contare gli oggetti di ogni insieme, nel fare confronti fra insiemi diversi e scoprire che insiemi di oggetti diversi possono essere equivalenti per ciò che riguarda il numero di oggetti contenuti, cioè l'attributo quantità, nel mettere in ordine degli insiemi con quantità diverse e crescenti, mettere in corrispondenza gli oggetti di un insieme con gli oggetti di un altro insieme, e così via.
Sarà facile passare abbastanza rapidamente dal gioco con oggetti "concreti" a esercizi con insiemi disegnati, cioè rappresentati sulla carta o alla lavagna. Il confine dell'insieme sarà rappresentato da una riga tondeggiante chiusa (la famosa "patata") e gli oggetti saranno rappresentati da disegnini stilizzati o addirittura, in un secondo tempo, da simboli (crocette, pallini o altro).
Arriverà presto il momento di imparare a leggere e a scrivere i simboli numerici per potere, con questi, rappresentare le quantità. E' tempo, allora, di cimentarsi nella vecchia e tutt'altro che inutile numerazione.
LA NUMERAZIONE
L'esercizio di numerazione consiste nel saper dire e scrivere nella corretta successione, i numeri. Tradizionalmente si
tende a limitare, per i bambini di prima elementare, la numerazione al numero 20 anche se i bambini, appresa la
numerazione fino a 20, procedono anche oltre senza difficoltà e con piacere. E' bene, comunque, fare esercitazioni abbondanti di vario tipo entro quel limite, come vedremo. Si numererà, quindi, oralmente o per scritto, in avanti e indietro, a uno a uno, a due a due, a tre a tre…..
Gioverà stimolare i bambini a fare osservazioni sulle esperienze che via via faranno. Esempio: numerando a uno a uno incontreranno alternativamente un pari e un dispari; numerando a due a due incontreranno tutti numeri pari se partono
da zero o tutti numeri dispari se partono da uno, se si fa un salto di dieci si ritrova il numero di partenza con il numero delle decine davanti, e così via. L'obiettivo è quello di far memorizzare perfettamente la serie dei primi 20 numeri in maniera che essa sia come presente agli occhi dei bambini. Tutto questo diventerà prezioso, come vedremo, nel calcolo orale.
Passeremo ora alla scomposizione e ricomposizione dei numeri. Ogni numero può essere scomposto in due o più parti.
Il numero 4 è uguale a 1+3 = 2+2 = 3+1, e così tutti gli altri. Di particolare importanza è la scomposizione della decina.
La capacità di percepire la decina come 1+9 = 2+8 = 3+7 = 4+6 =5+5 = 6+4 = 7+3 = 8+2 = 9+1 deve diventare, nel bambino, sicura e immediata. Il calcolo orale ne sarà, come vedremo, enormemente facilitato.
LA DECINA
Si tratta di un concetto fondamentale. Dopo avere appreso (contato, numerato) i primi nove numeri più lo zero, ciascuno dei quali ha una propria grafia, i bambini si trovano nella necessità di trovare un espediente per rappresentare quantità superiori usando i simboli già conosciuti perché non esistono appositi simboli per rappresentare tali quantità.
E' indispensabile anche qui fare ricorso all'uso di materiale concreto. Se, ad esempio, avremo usato fin qui delle palline, dei fagioli o altro per imparare a contare, potremo usare convenientemente lo stesso materiale. Prenderemo, quindi, le nove unità che fino ad ora abbiamo potuto contare e rappresentare e, aggiungendo la decima, le chiuderemo in un sacchetto o in un altro recipiente, facendo notare che fuori dal sacchetto non è rimasta alcuna unità, cioè zero. Quindi abbiamo 1 sacchetto e zero unità. Sarà abbastanza intuitiva allora la rappresentazione della decina con i simboli 10, ove lo zero indica le unità "sfuse" e l'uno posto alla sua sinistra i sacchetti, cioè le decine.
LA NUMERAZIONE MULTIBASE
Non sarebbe male, a questo punto, far sapere ai bambini che noi mettiamo nel sacchetto dieci unità perché "ci siamo messi d'accordo di fare così". In altre parole: il raggruppare per dieci è una convenzione. In realtà ci si potrebbe mettere d'accordo di fare in modo diverso. Per esempio di raggruppare per cinque o per quattro o per due…..
E' evidente che se avessimo deciso di raggruppare per cinque l'espressione 10 a base 5 significherebbe la presenza di un sacchetto con 5 unità e l'espressione 11 a base 5 significherebbe 1 sacchetto da 5 più una unità, cioè 6 unità a base 10.
Quando si gioca con la "multibase" è fondamentale dichiarare sempre la "base" adottata ad evitare ogni equivoco. Ciò non è necessario quando usiamo la base 10 perché questa è la base che si usa normalmente nella nostra civiltà per cui si da per scontata e non è necessario dichiararla.
Per giocare con la multibase a questo livello elementare è importante usare del materiale adatto. E' allora possibile non solo contare ma anche eseguire operazioni. In appendice si riporta la descrizione di una interessante esperienza
E' necessario che il bambino di prima elementare (in qualche caso anche dopo) impari ad operare manipolando del materiale concreto. Usando il materiale sarà relativamente facile aggiungere, togliere, replicare, dividere. I bambini di una buona prima elementare che imparavano le operazioni aritmetiche manipolando castagne erano soliti dire che tutto si riduceva all'azione di ammucchiare (addizione, moltiplicazione) o smucchiare (sottrazione, divisione)
Vediamo, infatti, come può procedere un bambino invitato a compiere una operazione:
ADDIZIONE
Si propone una situazione tipo: "Un pastore ha 6 pecore" = Il bambino fa un mucchietto di 6 oggetti che rappresentano le pecore. "Ne compera altre 3" = Il bambino conta altri 3 oggetti e li unisce al primo mucchio (ammucchiare). "Quante pecore ha ora ?" = E il bambino conta tutti gli oggetti del mucchio.
SOTTRAZIONE
Situazione: "Un bambino ha 8 caramelle" = Si fa un mucchietto di 8 oggetti. "Ne mangia 3" = Se ne tolgono 3 dal primo mucchio (smucchiare). "Quante gliene sono rimaste ? = Si contano le rimaste.
MOLTIPLICAZIONE
Situazione: "Un bambino compera 3 pacchetti di figurine. In ogni pacchetto ci sono 5 figurine. Quante figurine ha comperato ?" = Il bambino fa 3 mucchietti di 5 oggetti ciascuno, poi ne fa un unico mucchio (ammucchiare) e li conta.
Verrà poi il momento (non oltre la seconda elementare) in cui si dovranno fare esercitazioni sistematiche per favorire la memorizzazione delle Tavole Pitagoriche..
DIVISIONE
Situazione 1: "Un bambino durante le vacanze deve eseguire 18 esercizi di grammatica. Riesce ad eseguirne 3 al giorno. Quanti giorni impiegherà ?" = Il bambino conta 18 oggetti che rappresentano i 18 esercizi e ne fa un mucchietto. Poi ne prende 3 per volta e fa tanti mucchietti di 3 oggetti ciascuno (smucchiare). Ogni mucchietto rappresenta gli esercizi fatti in un giorno. Poi conta i mucchietti che corrispondono ai giorni.
Situazione 2: "La nonna ha portato un sacchetto con 15 cioccolatini per i suoi 3 nipotini. Quanti cioccolatini toccheranno a ciascuno ?" = Il bambino fa il mucchio di 15 oggetti. Poi ne prende 3 per volta (uno per ciascun nipote) e fa tanti mucchietti di 3 oggetti. Infine conta i mucchietti. Poiché per ogni mucchietto ne tocca uno per ciascuno, se i mucchietti sono 5 vuol dire che ne toccano 5 ciascuno.
NOTE
1) Se il materiale è, come dovrebbe, costituito da unità e da sacchetti-decina, il "riporto" consisterà nella "costruzione" di un sacchetto-decina mentre il "prestito" consisterà nel disfare un sacchetto-decina.
2) Nella DIVISIONE la Situazione 1 presenta il caso della divisione cosiddetta "di contenenza" mentre la Situazione 2 presenta il caso della divisione cosiddetta "di ripartizione" In realtà la divisione è sempre "di contenenza" nel senso che si tratta sempre di vedere quante volte il divisore è contenuto nel dividendo.
3) Se si ritiene utile rappresentare le operazioni con gli insiemi si avranno le seguenti situazioni:
I) ADDIZIONE : Si disegna un insieme contenente la quantità del primo addendo; lì accanto si disegna l'insieme contenente la quantità del secondo addendo; si disegna una grossa "patata" che comprenda i primi due insiemi; si contano insieme le quantità dei due addendi.
II) SOTTRAZIONE : Si disegna un insieme contenente la quantità del minuendo; al suo interno si chiude in un insieme più piccolo la quantità del sottraendo; si contano le quantità rimaste fuori dal piccolo insieme
III) MOLTIPLICAZIONE: Si disegnano tanti piccoli insiemi contenenti ciascuno la quantità espressa dal moltiplicando e se ne disegnano tanti quanto dice il numero del moltiplicatore; si chiudono tutti dentro una grande "patata"; si contano tutti gli oggetti contenuti nel grande insieme.
IV) DIVISIONE: Si disegna un grande insieme contenente la quantità espressa dal dividendo; al suo interno si costruiscono tanti piccoli insiemi contenenti ciascuno la quantità espressa dal divisore; si contano i piccoli insiemi che è stato possibile costruire. Quello è il quoziente. La eventuale quantità di oggetti rimasta fuori dai piccoli insiemi (che, ovviamente, sarà inferiore alla quantità espressa dal divisore) rappresenterà il resto.
4) Si noti che le raffigurazioni finali sia dell'addizione e sia della sottrazione sono simili. La differenza sta nell'operazione che si compie (ed è soprattutto su questa che bisogna far concentrare l'attenzione dei bambini): se i bambini sono stati abituati a lavorare col materiale concreto non faticheranno a riconoscere, nel primo caso l'azione di "ammucchiare" e nel secondo quella di "smucchiare"
5) L'identica cosa si può notare nelle raffigurazioni di moltiplicazione e di divisione.. Della necessità di pervenire, poi, a degli automatismi per velocizzare le operazioni e per interiorizzare profondamente la struttura dei numeri si è già accennato e si dirà ancora.
LE OPERAZIONI A PIU' CIFRE
Nelle classi successive alla prima i bambini dovranno, ovviamente, imparare ad operare con numeri via via più grandi e, quindi, dovranno apprendere la normale tecnica operativa senza più bisogno di rappresentare concretamente o col disegno le operazioni. Sarà sempre molto importante, tuttavia, che i bambini rimangano perfettamente consapevoli di quello che stanno facendo, Facciamo qualche esempio:
Addizione: Nell'addizionare due o più numeri di tre o più cifre è importante che il bambino sia perfettamente consapevole che si cominciano a sommare per prime le cifre a destra perché quelle sono le unità ed è appunto da quelle che è necessario cominciare per vedere se ce ne sono a sufficienza per formare delle decine (gli antichi sacchetti) e se sarà così le decine formate le porteremo nella colonna delle decine sommandole alle altre decine che già si trovano nella colonna…e così via.
Sottrazione: I bambini che hanno fatto esperienza con i "sacchetti" non dovrebbero avere eccessive difficoltà a capire il significato del "prestito" quando la cifra del minuendo è inferiore alla cifra del sottraendo. Non dovrebbe essere difficile da capire che, come le unità possono "andare in prestito" dalle decine, allo stesso modo le decine possono "andare in prestito" alle centinaia e così via.
Moltiplicazione: Condizione essenziale per poter imparare ad effettuare operazioni di moltiplicazione con moltiplicatore a più cifre è la memorizzazione delle tavole pitagoriche. Ove questo non sia le difficoltà si faranno molto marcate. Se invece queste tavole saranno state apprese, il bambino dovrà essere condotto alla consapevolezza del significato delle varie operazioni che compie. Facciamo un esempio: Nella moltiplicazione 357x24 il bambino deve sapere che come prima operazione egli moltiplica per 4 prima 7 unità, poi 5 decine poi 3 centinaia, collocando il risultato nella giusta posizione. Come seconda operazione egli deve essere consapevole che moltiplica le tre cifre del moltiplicando non per 2 ma per 20, perché, appunto, il 2 del moltiplicatore rappresenta due decine. In realtà le tre cifre suddette si moltiplicano, per semplicità, per 2 sole volte, ma il risultato si riporta sotto il risultato parziale precedente spostandoci di una cifra verso sinistra cioè cominciando dalla colonna delle decine e non da quella delle unità. Il che significa moltiplicare tale risultato per 10. Il che significa che quando faremo 2x7=14 e andremo a collocare il risultato spostato a sinistra di un posto, cioè nella colonna delle decine, sarà come se lo avessimo moltiplicato per 20 anziché per 2 .
Divisione: Questa operazione presenterà le difficoltà
maggiori, sia perché è più complessa la tecnica, sia perché è più difficile per
i bambini acquisire la consapevolezza di quello che si sta facendo. Tuttavia
occorrerà dedicare a questa difficoltà tutto il tempo che occorre e insistere
affinchè tale consapevolezza ci sia. Anche perché, se ci sarà, sarà meno
difficoltosa anche l’acquisizione della tecnica. Esaminiamo un paio di casi.
1°) Ipotizziamo di
dover dividere 478 per 6. Osserviamo
che il dividendo è formato da tre cifre che rappresentano centinaia, decine e
unità. Dobbiamo sapere che occorre sempre cominciare a dividere dalla cifra più
alta e, quindi, dalle centinaia. Ma di centinaia ne abbiamo soltanto 4 e non è
possibile, in questro caso, dividerle in 6 parti. Occorrerà quindi considerare
il numero delle decine che sarà di 47, cioè le quaranta decine contenute nelle
4 centinaia che non abbiamo diviso più le sette indicate nel numero 478.
Andremo, quindi, a guardare quante volte il numero 6 sta nel 47 e scriveremo 7
come prima cifra (che sarà la cifra indicante le decine) del quoziente. Ma 6x7
fa 42. Rimangono, quindi, 5 decine non divise che bisognerà scrivere sotto il 7
del 478, cioè nella colonna delle decine, appunto. A questo punto “abbassiamo”
l’8, cioè lo scriviamo alla destra delle 5 decine non ancora divise. Avremo il numero 58, cioè un numero formato
da 5 decine e 8 unità. Qui si ripresenta la stessa situazione di prima: le 5
decine non possono essere divise in 6 parti, pertanto si considera il numero
delle unità che sarà rappresentato dalle 50 unità contenute nelle 5 decine più
le 8 indicate. Vedremo che il 6 è
contenuto 9 volte e segneremo tale cifra come seconda cifra (che sarà la cifra
delle unità) del quoziente. Rimangono 4 unità non divise che andranno scritte
sotto al numero 8 del 58, cioè nella colonna delle unità. Questo lo chiameremo
resto e la divisione sarà terminata. Almeno fino a quando avremo imparato a
lavorare anche con i numeri decimali.
2°) Ipotizziano ora
di dover dividere 4895 per 86. La difficoltà è nettamente superiore e non viene
affrontata, normalmente, prima della quarta elementare. Qui il ragionamento per
acquisire la consapevolezza di cui sopra e che riteniamo necessaria, si fa più
complesso. Il ragionamento dovrà essere il seguente: Constatiamo anzitutto che le prime due cifre del dividendo, che
rappresentano le unità di migliaia e le centinaia, non contengono nemmeno una
volta il numero 86 del divisore. E’, quindi, necessario prendere subito in
considerazione anche la cifra delle decine. Saranno quindi 489 decine che noi
divideremo per 86. Per farlo occorrerà considerare separatamente prima le
decine e poi le unità del divisore.
Vedremo allora che la cifra delle decine del divisore, cioè 8 è
contenuta esattamente 6 volte nelle 48 centinaia, però le 6 unità del divisore
non sono contenute altrettante volte nelle 9 decine che rimangono da dividere.
Occorrerà, pertanto,
distribuire solo una parte delle 48 centinaia. E’ quello che, normalmente,
viene detto “provare una volta di meno”.
Distribuiamo, quindi, soltanto 40 centinaia, lasciando le 8 rimanenti
insieme alle decine. L’8 nel 40 è
contenuto 5 volte. Vediamo ora se il 6 è contenuto almeno 5 volte nel numero
formato dalle 8 centinaia non divise più le 9 che si trovano al loro posto.
Avremo 89 decine da dividere per 6. Il
6 nell’89 è contenuto 5 volte e
avanzano 59 decine che, ovviamente, non contengono neppure una volta il numero
86, per cui segneremo 5 al quoziente (consapevoli che si tratta di decine) e
riporteremo il numero 59 sotto all’8 e al 9 del dividendo, cioè nelle colonne
delle centinaia e delle decine. A questo punto “abbassiamo” il numero 5 del dividendo
(le unità) e andiamo a formare il numero 596. Si tratta di 596 unità che ora
dobbiamo dividere di nuovo per 86.
La procedura del passaggio precedente si
ripete. L’8 è contenuto 7 volte nelle 59 decine con l’avanzo di tre che, unite
alle 6 unità diventano 36 unità. Ma il 6 nel 36 non è contenuto 7 volte. Perciò
dividiamo soltanto 48 decine nelle quali l’8 è contenuto 6 volte. Le decine non
divise ora sono 11 che, unite alle 6 unità diventano 116 unità nelle quali il 6
è contenuto 6 volte con l’avanzo di 80. Il numero 6 verrà scritto al quoziente
come cifra delle unità, avendosi, così, il numero 56 che è il risultato della
divisione. E il numero 80 (otto decine e zero unità), che rappresenta il resto,
verrà scritto sotto il numero 596 nelle relative colonne delle decine e delle
unità.
IL CALCOLO ORALE
La pratica del calcolo orale ha una grande importanza al fine di acquisire sia una perfetta padronanza della struttura del numero, sia una chiara consapevolezza degli effetti delle operazioni aritmetiche.
Anzitutto il bambino, fin dalla prima elementare, dovrà acquisire, attraverso la pratica della numerazione di cui si è già detto, la sicura conoscenza della successione dei numeri e, quindi, della loro posizione relativa all’interno della decina. Per maggior chiarezza: egli dovrà sapere con sicurezza che il numero 7 si trova 7 posizioni sopra lo zero della decina precedente, ma anche che si trova 3 posizioni sotto lo zero della decina successiva.
Saranno, quindi, necessari molti esercizi di scomposizione dei numeri, con particolare attenzione alle varie possibilità di scomposizione del numero 10. Dopo di che i bambini verranno esercitati a fare semplici addizioni e sottrazioni con le tecniche seguenti:
Es.: 27+8= attraverso i seguenti passaggi che, poi, dovranno diventare automatici: I) per completare la terza decina mancano tre unità ; II) il numero 8 è scomponibile in 3+5; III) con i 3 si completa la decina e si sale a 30, con i 5 si va a 35 che è, appunto, il risultato.
Es.: 27-8= I) Scomponiamo l’8 in 7+1; II) Togliendo i 7 scendiamo a 20; III) togliendo l’1 scendiamo a 19.
Per moltiplicazioni e divisioni sarà essenziale la perfetta memorizzazione della Tavola Pitagorica. Solo in questo caso sarà possibile e utile allenare i bambini a compiere oralmente semplici moltiplicazioni e divisioni del tipo:
35x4= ; 49:6=
dove il moltiplicando e il dividendo abbiano non più di due cifre e dove moltiplicatore e divisore siano di una sola cifra.
Il bambino anche molto piccolo (a livello di scuola dell’infanzia) avrà sicuramente fatto esperienze di misurazioni di lunghezze (a passi, a piedi, a braccia, a palmi….) e, quindi, avrà già più o meno chiaramente interiorizzato l’idea che misurare una lunghezza significa confrontare la lunghezza che vogliamo misurare con una unità di misura prestabilita (appunto un passo, un piede, un braccio, un palmo…)
Forte di queste prime esperienze, il bambino non avrà difficoltà, quando sarà il momento (generalmente in terza elementare), ad accettare unità di misura standardizzate come il metro, i decimetri, i centimetri…
E’ bene che le prime esperienze di misurazione con strumenti standardizzati siano misurazioni di lunghezze. Ciò perché lo strumento per misurare le lunghezze, il metro, è uno strumento semplice, di facile uso e, soprattutto, lascia vedere chiaramente al suo interno i sottomultipli decimetri centimetri e millimetri.
Stanti queste caratteristiche, sarà facile, per esempio, chiedere a un bambino di misurare una certa lunghezza prima in decimetri, poi in centimetri, poi in millimetri, potendo così constatare che, se la misura in decimetri sarà 4, quella in centimetri sarà 40 e quella in millimetri sarà 400. Si introdurrà, così, lo studio dei rapporti fra le varie misure.
Potrebbe essere questa l’occasione per introdurre il concetto di numero decimale. Se, infatti, chiederemo al bambino di misurare la lunghezza di cui all’esempio precedente anche in metri, egli non potrà non constatare che tale lunghezza è meno di un metro. Essa, quindi, misura metri 0,500. Sarà allora il momento di apprendere che, rappresentando la cifra a sinistra della virgola le unità, a destra della virgola verranno indicate le quantità più piccole dell’unità e cioè decimi centesimi millesimi….
Lo studio delle misure di peso e di capacità presenteranno qualche difficoltà maggiore sia per la maggior difficoltà nell’uso degli strumenti, sia per la non immediata visualizzazione dei sottomultipli (all’interno del peso di un Kg non sono visibili i 10 hg) (1)
Lo stesso discorso vale per le misure di capacità che normalmente si usano nelle scuole, cioè contenitori da 1 litro, da 1 decilitro, da 1 centilitro (2)
Inoltre, e per la natura degli strumenti, e per la natura delle quantità da misurare, la misurazione dei pesi e delle capacità è oggettivamente più complicata.
Tuttavia sarà necessario che i bambini si esercitino concretamente anche con queste misure, seguendo le stesse procedure, per quanto possibile, usate per le misure di lunghezza. In modo che il bambino si faccia un’idea abbastanza vicina alla realtà anche delle quantità di peso e di capacità. E, soprattutto, possa appoggiare su esperienze concrete la consapevolezza dei rapporti esistenti fra le varie misure.
Verrà poi il tempo di apprendere le misure di superficie e le misure di volume, e qui bisognerà imparare che tali misure si ottengono soprattutto con il calcolo. Ma sarà, tuttavia, indispensabile, che il bambino abbia delle esperienze concrete anche con queste misure (3), soprattutto per rendersi conto e acquisire consapevolezza dei diversi rapporti intercorrenti con tali misure. Se il rapporto fra metro e decimetro è 10, quello fra metro quadro e decimetro quadro è 100 e fra metro cubo e decimetro cubo è 1000.
NOTE
(1) Sarebbe possibile vederli in una bilancia automatica, ma nelle scuole si ritiene più utile, per diversi motivi, utilizzare bilance a piatti
(2) Sarebbe utile aggiungere a tali sussidi anche un recipiente da 1 litro in plastica trasparente recante una scala graduata in cui si distinguano decilitri e centilitri.
(3) Costruire un metro quadrato all’interno del quale siano visibili i decimetri quadrati e, all’interno di uno di questi, i centimetri quadrati è una cosa abbastanza semplice e anche divertente. Un po’ meno agevole sarà costruire le misure di volume, ma con un po’ di intraprendenza sarà comunque possibile.
I NUMERI DECIMALI
Abbiamo detto poco sopra che l’uso del metro e gli esercizi di misurazione potrebbero essere l’occasione per introdurre il concetto di numero decimale come “espediente” per rappresentare le quantità più piccole dell’unità.
Facendo esercizi di misurazione avremo agio di constatare che, partendo dalla considerazione del metro come unità, per rappresentare le misure più piccole le scriveremo dopo la virgola e, più precisamente, scriveremo al primo posto dopo lsa virgola il valore dei decimetri, ovvero della misura dieci volte più piccola dell’unità, ovvero dei decimi di metro, al secondo posto il valore dei centimetri, cioè i centesimi di metro, al terzo posto il valore dei millimetri, cioè i millesimi di metro.
Non sarà poi difficile utilizzare lo stesso metodo per rappresentare i decimi di grammo, cioè i decigrammi, i decimi di litro, cioè i decilitri….e così via.
Molto importante ai fini di una corretta comprensione delle forme di rappresentazione delle misure, ma anche ai fini dell’acquisizione di una buona elasticità mentale sarà capire che è nostra facoltà decidere che cosa vogliamo considerare come unità per poi operare di conseguenza.
Se noi, ad esempio, decidiamo di considerare come unità i decametri, la misura m 2, 34 diventerà dam 0,234 dove i metri, ovviamente, saranne sempre 2, i decimetri 3 e i centimetri 4, solo che ora i metri sono decimi dell’unità-decametro, i decimetri sono centesimi e i centimetri sono millesimi.
Compreso questo, le famose “equivalenze” non saranno più un problema. Si tratterà, infatti, unicamente e semplicemente, di assumere come unità la nuova misura
Es.: per fare dam 23.8 = hm basterà assumere come unità gli ettometri e scrivere, quindi, il valore di questi subito prima della virgola. Quindi hm 2,38.
Quando l’insegnante lo riterrà utile e opportuno potrà, a questo punto, spiegare che, in certi casi, si può utilizzare un altro modo per rappresentare le quantità più piccole dell’unità, ovvero le parti dell’unità che si possono anche chiamare frazioni dell’unità. Così l’espressione 0,3 che rappresenta tre decimi di unità può anche essere scritto così: 3 che si legge allo stesso modo: tre decimi.
10
Avremo, così, introdotto in modo naturale il concetto di frazione che verrà poi sviluppato nei modi consueti, ma sempre stimolando i ragazzi ad essere consapevoli che numeri decimali e frazioni sono modi diversi per rappresentare la stessa realtà.
Cominciamo col dire che per un bambino di prima o seconda elementare che sta concretamente imparando (proprio manipolando gli oggetti) il significato e gli effetti delle operazioni aritmentiche, il concetto di operazione e il concetto di problema sono abbondantemente coincidenti. Infatti si ipotizzano delle situazioni e si fanno delle richieste che hanno la forma e la sostanza del problema aritmetico. In altre parole: 1) si descrive una situazione fornendo dei dati (esempio: un bambino ha 7 palline. Ne regala 3 a un compagno) ; 2) Si fa una richiesta (Quante gliene restano ?) invitando il bambino a ristrutturare la situazione. E il bambino lo fa togliendo 3 palline dalle 7.
Ebbene: possiamo anche dire che questa è la descrizione di ciò che noi chiamiamo problema aritmetico : Ristrutturazione di una situazione contenente alcuni dati, con l’acquisizione di dati mancanti.
E’ raccomandabile che i bambini delle prime classi siano messi nella possibilità di rappresentarsi concretamente la situazione, manipolando oggetti o disegnando la situazione stessa, in modo che anche dopo, quando non sarà più necessario questo passaggio, i bambini conservino la capacità di rappresentarsi mentalmente le situazioni descritte in modo da capire quali operazioni sono necessarie per la ristrutturazione della situazione di partenza.
Qualche anno fa una ricerca dimostrò che un’alta percentuale di alunni non riusciva a risolvere i problemi non a causa di un deficit di apprendimento dell’aritmetica bensì a causa di un deficit di apprendimento linguistico. Essi, infatti, non erano in grado di ricavare, e, quindi, di utilizzare, i dati forniti dal problema.
Questo deve farci accorti quando proponiamo un problema aritmetico, in modo da proporre testi chiari, non ambigui e perfettamente comprensibili. Anche le domande, che normalmente concludono il testo del problema, debbono essere formulate in modo da non confondere e non indirizzare su strade sbagliate.
E’ pratica utile anche quella di fornire un testo privo della domanda finale, chiedendo agli alunni di essere loro stessi a formularla. Lo scopo è quello di indurli a riflettere sui dati conosciuti fino a rendersi conto di quali altri dati sia possibile ricavare.
Ed anche quella di inventare loro stessi tutto il testo del problema. Magari individuando nella realtà circostante le situazioni problematiche con i dati ricavabili, utili per la soluzione.
Come è noto il bambino che frequenta la scuola primaria si trova a quel livello di maturazione intellettiva che il Piaget chiama delle operazioni logiche concrete. A questo livello il bambino è capace di ragionamento logico – e l’adulto dovrà in ogni modo stimolarlo – ma sempre e soltanto riferibile a situazioni concrete. E questo dovrà essere tenuto costantemente presente.
Fin dalla scuola dell’infanzia l’insegnante accorto si preoccupa di aiutare i bambini a sviluppare correttamente la padronanza delle relazioni spazio-temporali fondamentali. Già a quell’età, infatti, il bambino acquisisce facilmente le relazioni spaziali davanti a, dietro a, sopra, sotto, vicino lontano, dentro a , fuori di…..e, un po’ dopo e con qualche difficoltà in più anche a destra di, a sinistra di.
E anche le relazioni
temporali prima, dopo, oggi, ieri, domani…
Nelle scuole elementari i bambini continueranno a fare concrete esperienze nello spazio e nel tempo, rinforzeranno i concetti precedenti, impareranno a rappresentare lo spazio e impareranno ad apprezzare le forme geometriche.
Le principali forme della geometria piana come quadrato, rettangolo, triangolo, cerchio sono, in genere, già familiari ai bambini (abbastanza diffusi già a livello di scuola dell’infanzia i Blocchi Logici del Dienes presentano proprio queste quattro forme).
Si tratterà, quindi, di presentare (generalmente in terza elementare) altre forme piane e di cominciare a riconoscere le parti (i lati, gli angoli…). I bambini, sollecitati a farlo, cercheranno volentieri nella realtà le forme studiate. Così, scoperto che il pavimento dell’aula ha la forma di un rettangolo, si potrà prendere in considerazione, magari misurandolo a passi, il “contorno”, che risulterà uguale alla somma dei quattro lati e che potremo cominciare a chiamare perimetro.
Successivamente (in quarta elementare), con la scoperta delle misure di superficie, potremo cominciare a calcolare, oltre al perimetro, anche l’area delle figure.
Il continuo – e, a parere nostro, necessario – riferimento alla realtà, ci porterà inevitabilmente a considerare anche figure geometriche non regolari. E’ importante, allora, fornire agli alunni gli strumenti per poter trattare anche queste forme. Se, ad esempio, essi si troveranno a dover calcolare l’area di un cortile che ha la forma di un poligono irregolare, dovrà essere spiegato loro che, tracciando delle diagonali in modo opportuno, è possibile suddividere il poligono in una serie di triangoli, di cui sarà possibile calcolare l’area.
A questo punto, giunti in quinta elementare, non sarà difficile affrontare lo studio delle figure solide, continuando sempre, come in precedenza, a riconoscere nella realtà le varie figure, anche allo scopo di mostrare l’utilità pratica dei calcoli di aree e volumi.
I concetti di spazio e di tempo, inoltre, troveranno opportuni sviluppi nello studio della storia e della geografia.
LA NUMERAZIONE MULTIBASE
Questa esperienza è stata condotta in una scuoletta pluriclasse frequentata da alunni di tutte e cinque le classi elementari. Lo scopo era quello di abituare i bambini all’uso di basi di numerazione diverse.
La regola del gioco prevedeva che, stabilita la “base”, questa diventava la regola per la gestione del ristorante che cucinava e serviva unicamente castagne.
Così, se si decideva di giocare, ad esempio, “a base 3” il bambino (o i bambini) incaricati di sistemare una data quantità di castagne (esempio: 15) cominciava col predisporre le castagne sui piatti (vassoietti di cartone) ponendone 3 in ogni piatto. Poi apparecchiava i tavoli (rettangoli di cartone) ponendo 3 piatti si ogni tavolo. Nell’esempio presente avremmo avuto:
1 tavolo completo, 2 piatti, 0 castagne sfuse. Cioè 120 a base 3 che si legge: uno due zero a base 3 e che corrisponde al numero 15 a base 10.
Se si fosse deciso di giocare “a base 2” sarebbero stati preparati 1) 7 piatti con l’avanzo di una castagna; 2) Con questi piatti si sarebbero apparecchiti 3 tavoli con l’avanzo di un piatto; 3) Con questi si sarebbe completata una saletta del primo piano con l’avanzo di un tavolo. Avremmo avuto, quindi:
1 saletta, 1 tavolo, 1 piatto, 1 castagna, cioè 1111 a base 2 che si legge uno uno uno uno a base 2 e che corrisponde anche questo al numero 15 a base 10.
Una volta imparato a contare con basi diverse, diventò possibile eseguire anche operazioni con numeri a base diversa da 10. Ovviamente, nel caso di uso della base 3, ogni volta che si raggiungeva il numero 3 si “riportava” 1 nella cifra di livello superiore. Esempio: 120 + (15 a base 10)
12 = (5 a base 10)
202 (20 a base 10)
E, nella sottrazione, ogni volta che era necessario “un prestito” bisognava ricordare che tale prestito era costituito da 3 “cose” del livello inferiore. Esempio : 120 - (15 a base 10)
22 = (8 a base 10)
21 ( 7 a base 10)
Il risultato di questa esperienza fu una aumentata “confidenza” dei ragazzi con i numeri, una aumentata consapevolezza della natura e della utilità del raggruppamento, una aumentata velocità e sicurezza nei calcoli.