Teorema fondamentale dell'Algebra
Di Massimo Fantin 2011
di Massimo Fantin 2010
Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che
un'equazione algebrica a coefficienti complessi di grado n ha n soluzioni.
Lo scopo di questo applet e quello di rappresentare le fasi di una delle tante dimostrazioni del
teorema e di visualizzare le soluzioni. ho seguito la dimostrazione
che si trova nel libro: Courant Robbins " Che cos'è la
matematica" Boringhieri
I passi si possono sintetizzare come segue:
Si prova che, data un'equazione di grado n:
Fn(z) = zn+ an-1zn-1+an-2 zn-2 +.....+a1z+a0= 0
se prendiamo in considerazione la funzione a primo membro Fn(z), la abbiniamo alla funzione zn e verifichiamo che per valori grandi del modulo di z queste due funzioni assumono valori simili nel senso che se | z | supera un certo valore si ha che | Fn(z) - zn | < | zn| . Questo significa che il segmento congiungente F(z) con zn non può mai contenere l'origine che è come dire che è possibile trasformare in modo continuo la linea formata dai punti del tipo z n nei punti del tipo Fn(z) senza mai passare per l'origine. Poiché zn =0 ha n soluzioni tutte nell'origine e poiché il numero delle soluzioni varia in modo continuo anche Fn(z)=0 avrà n soluzioni nel cerchio di raggio sufficientemente grande.
Per completare la dimostrazione mostriamo che
se | z | > |a0| + |a1| +.... + |an-1| e |z|>1 si ha che
| Fn(z) -zn | = | an-1 zn-1 + an-2 zn-2 + ... + a1z + a0 | < |an-1||z|n-1 + |an-2| |z| n-2 + ... + |a0| < |z|n-1 (|an-1| + |an-2| / |z| + ... + |a0|/|z| n-1)< |z| n-1((|an-1|+|an-2|+ ... +|a0| ) <|zn |
che ci fornisce un valore sufficientemente grande per il raggio del cerchio da considerare. Naturalmente può essere sufficiente anche un valore più piccolo.
Nella simulazione ho rappresentato la funzione Fn(z) per mezzo di colori diversi, I colori scuri rappresentano numeri di modulo vicino a zero. il bianco rappresenta valori di modulo grande.
Il cerchio nero rappresenta i valori di z di |z| pari al raggio.
Il cerchio blu rappresenta i corrispondenti valori di zn
La linea chiusa rossa contiene i corrispondenti mediante la funzione data Fn(z) dei punti z del cerchio nero. Affinché il valore di |z| sia sufficientemente grande per lo scopo del teorema bisogna che la linea rossa giri intorno all'origine tante volte quanto è il grado dell'equazione.
I pallini rappresentano la corrispondenza di un determinato valore di z.
E' possibile modificare il raggio del cerchio delle z trascinandolo con il mouse e su di esso il pallino del quale vengono scritte le coordinate in forma di numero complesso.
Spostando sul proprio cerchio il puntino nero si osserva che se il cerchio è sufficientemente grande i punti corrispondenti rossi e blu si rincorrono senza che il seg,emento che li congiunge passi mai per l'origine.
I coefficienti dell'equazione data possono venire modificati spostando i cursori che compaiono nella parte superiore sinistra.
Per visualizzare le soluzioni dell'equazione data si può restringere il cerchio nero lentamente fino a quando la linea rossa passa per l'origine ( z=0)
Si sposta poi il pallino nero fino a che quello rosso corrispondente si pone sull'origine Fn(z) = 0. Il valore di z letto sul pallino nero è una delle soluzioni. ripetendo l'operazione fino a quando la linea chiusa rossa non avvolge più l'origine si trovano tutte le soluzioni.