Sistemi lineari ( Risoluzione col metodo di Gauss)
Di Massimo Fantin
Il metodo di Gauss non è altro che una formalizzazione del metodo di sostituzione.
Si scrivono i coefficienti del sistema per formare la matrice completa formata da n righe e n+1 colonne ( una in più., quella dei termini noti).
Il metodo di gauss consiste nel triangolare la matrice ( tutti gli elementi al di sotto della diagonale principali nulli) e risolvere il sistema cominciando dall'ultima equazione.
Per la triangolazione si procede per colonne, si cerca nella prima colonna il pivot ( l'elemento di valore assoluto massimo) si scambia la riga a cui appartiene con la prima in modo da portarlo nel primo posto in alto a sinistra, dopo di che si annullano tutti gli elementi al di sotto del pivot aggiungendo alla riga la prima moltiplicata per un opportuno numero in modo che il primo coefficiente si annulli ( se a11 è il pivot ( al primo posto) e ak1 è il primo termine della k esima riga si aggiunge a ciascun termine della k esima riga la prima moltiplicata per -ak1 / a11 )
Si passa alla seconda colonna e si procede in modo analogo cercando il pivot tra i termini delle colonne dalla seconda all'ultima , si scambia la riga con la seconda e si procede come sopra ad annulla re tutti i termini sotto al pivot, si passa alla terza colonna e così via fino a che la matrice non viene completamente triangolata.
Per determinare la soluzione si procede a ritroso dall'ultima incognita fino alla prima.
xn = bn/ann x n-1= (b n-1 -a n-1,n xn )/a n-1, n-1 … xk = ( bk - a k,k+1 x k+1 - … a kn x n )/ a kk
Uso del programma di simulazione
Viene visualizzata la triangolazione di un sistema di due o più incognite in altrettante equazioni e due equazioni i cui coefficienti vengono scelti casualmente, è possibile cambiare o coefficienti cliccando su di essi, correggendoli nella apposita casella.