Autore Massimo Fantin A.D.2000

Scopo

Teoria dei vari fenomeni

Uso del programma di simulazione

Simulazione

Prove ed Esercizi

Ci proponiamo di studiare con un programma di simulazioni alcune questioni di relatività generale nel caso classico in cui l'unica massa presente sia sferica immobile ed omogenea, in particolare si utilizzerà la soluzione di Schwarzschild per studiare il fenomeno della dilatazione dei tempi e della contrazione delle distanze in prossimità della massa, inoltre si potrà osservare il fenomeno dell'incurvamento dei raggi luminosi e della precessione del semiasse maggiore dell'orbita dei pianeti.

La citata soluzione di Schwarzcchild prevede che intorno alla massa sferica immobile ed omogenea l'elemento invariante sia dato da:

(1)

dove G è la costante di gravitazione universale, M è la massa del corpo celeste , r è la distanza dal centro del corpo celeste, c la velocità della luce, mentre t,r,q sono le coordinate temporali e polari ( raggio e angolo).

Da questa formula è facile dedurre l'esistenza dei fenomeni di dilatazione del tempo e di contrazione delle lunghezze in condizioni statiche, in particolare se r e l'angolo non variano l'elemento invariante è dato unicamente da quello temporale pertanto le relazioni tra i tempi due sistemi di riferimento : quello dell'osservatore esterno e quello proprio di chi si trova in prossimità della grande massa saranno:

(2)

che significa che se l'orologio si avvicina alla grande massa il tempo si dilata, infatti se r diminuisce il radicando aumenta e dt diminuisce. Si osserva che la validità della formula è limitata al caso in cui r sia maggiore del raggio critico dato da

(3) r_c =2GM / c²

al di sotto del quale il tempo non scorre più, questo valore costituisce il raggio del buco nero di massa M.

Considerazione analoghe si possono fare per la contrazione delle lunghezze che avviene soltanto nella direzione radiale, infatti se nella formula dell'intervallo invariante consideriamo solo la variazione della lunghezza radiale avremo

(4)

Analogamente a quanto osservato per i tempi, si verifica che, avvicinandosi alla massa le lunghezze nella direzione radiale si contraggono e, avvicinandosi alla distanza critica ogni cosa si appiattirebbe sulla superficie del buco nero.

Nel programma di simulazione sono visibili:

• Un disco centrale che rappresenta la massa, il raggio del disco è il raggio critico di buco nero.
• Due orologi che registrano i tempi locali
• Un regolo che si deforma a secondo della posizione nella quale si trova
• Una torcia per emettere un raggio di luce, raggio che viene deformato dalla presenza della massa.
• Un corpo celeste "pianeta" che può essere collocato in orbita intorno alla massa centrale
• Una freccia che rappresenta la velocità iniziale del pianeta

La tastiera in basso che consente di

• Far partire il pianeta dalla posizione individuata dalla coda della freccia e con la velocità iniziale indicata dalla freccia. Tasto via
• Azzerare gli orologi per confrontarne il diverso procedere. Tasto azzera
• Modificare la massa centrale e di conseguenza il suo raggio critico. Tasti m+ ed m- e visualizzazione del suo valore numerico
• Accelerare o rallentare il moto del pianeta, degli orologi, e allungare o accorciare il regolo tasti veloce lento
• Ingrandire o rimpicciolire la finestra Tasti zoom*2 zoom/2

Le operazioni con il mouse sono le seguenti:

• Trascinamento della finestra attiva agendo lontano dagli oggetti rappresentati
• Spostamento degli orologi, trascinandoli dal loro centro che è anche il punto nel quale vengono contati i tempi.
• Spostamento e rotazione della torcia, agendo sulle estremità.
• Spostamento e rotazione del regolo.
• Modifica della posizione e della velocità del pianeta, spostando la punta e la coda della freccia.

Si collocano i due orologi: uno in prossimità della massa centrale, l'altro in lontananza in modo da non sentire l'influenza della dilatazione dei tempi, di azzerano e si verifica che li rapporto tra i tempi misurati è dato dalla formula (2) riportata nella parte teorica. Si può ripetere l'operazione con diversi valori delle masse e a diverse distanze.

Si colloca il regolo blu in direzione radiale. Lo si misura a diverse distanze dal centro e si verifica la relazione (4) della parte teorica. Affinché il fenomeno sia ben evidente occorre aumentare notevolmente la massa ed eventualmente accorciare la lunghezza del regolo.
Si osserva anche che se il regolo è posto in direzione tangenziale si incurva come previsto dalla teoria della relatività, in particolare se la distanza dal centro è doppia al raggio dei buco nero il regolo si attorciglia assumendo una forma quasi circolare.

Inviando un raggio di luce nelle vicinanze della massa centrale si osserva il fenomeno della deflessione dei raggi luminosi p E' possibile misurare l'angolo di deflessione e verificare che per piccole deflessioni vale circa quanto previsto dalla teoria della relatività generale:

4 M / rc²

Si osserva inoltre che se l'emettitore di luce è collocato tra il raggio di buco nero e il suo doppio la luce non riesce a fuggire dalla grande massa e ricade nel buco nero

Lanciando il pianeta ad una velocità molto inferiore alla velocità della luce (100) il fenomeno è poco evidente e l'orbita è ben descrivibile mediante la teoria di Newton e la traiettoria del pianeta è ellittica, viceversa, se la velocità del pianeta è confrontabile con quella della luce si nota il fenomeno della precessione del semiasse maggiore dell'orbita nella direzione del moto e la velocità di tale precessione è proporzionale a

a² / ( 1 - e² )c²T

dove a è il semiasse maggiore, e è l'eccentricità dell'orbita e T è il periodo di rivoluzione .