1) Scrivere l'equazione di una funzione pari che abbia come unico asintoto la retta y = -1 e che abbia un solo massimo nell'origine e verificare che la funzione trovata soddisfi le condizioni richieste.

2) Trova le soluzioni della disequazione Ö (4 -x² ) ³ x sia graficamente che algebricamente e verificare che i due insiemi di soluzioni coincidono.
[Risolvere graficamente significa tracciare i grafici delle due funzioni che stanno a primo e a secondo membro e vedere per quali valori di x il grafico della funzione di sinistra è sopra a quello di destra]

4) Determinare il dominio e il codominio della funzione y = e^{cos x} .
Individuare un intervallo in cui essa sia invertibile e in esso determinarne la funzione inversa.
[Per trovare il codominio ragionare su quali valori può assumere la tenendo conto dei valori che può assumere il cos x, per trovare l'inversa risolvere l'equazione in x scegliendo un particolare intervallo nel quale sia possibile]

5) Dimostrare in base alla definizione di derivata che D(sen x) = cos x

6) Determinare per quali valori di a e b la funzione definita a tratti:
f(x) = b / x² se x >1; f(x)= - x² + a x se x £ 1
e la sua derivata sono entrambe continue in x =1.

7) L'accelerazione istantanea di un punto che si muove di moto rettilineo è espresso dalla funzione a(t) = e^{-2 t .}
Sapendo che all'istante t=0 il punto si trova nel punto s(0)= 1 con velocità v(0)= -1 calcolare l'equazione del moto s = s(t).
[Ricorda che la velocità è la derivata dello spazio e che l'accelerazione è la derivata della velocità pertanto per trovare l'equazione del moto dovrai integrare due volte l'accelerazione, i valori iniziali s(0) e v(0) ti servono per definire le costanti di integrazione]

8) Enunciare il teorema di De l'Hospital ed applicarlo al calcolo di un limite a scelta.

9) Definire il valor medio di una funzione continua in un intervallo [a,b] e calcolare il valor medio della funzione

y = 1-x² nell'intervallo [-1,1]

10) Scrivere un esempio di funzione continua nell'origine ma non derivabile in tal punto e giustificare.

11) Scrivere un esempio di funzione dispari che abbia per asintoti le rette
x = 1, x = -1, y = x.

12) La funzione cosenoiperbolico y = cosh x è così definita cosh x = (e^x + e ^-x ) /2.
In quali intervallo è invertibile? Scrivere l'espressione della funzione inversa in un intervallo opportuno.
[ come nell'es. 4 devi risolvere in x in un intervallo nel quale la funzione sia biunivoca, nel nostro caso monotona sempre crescente o sempre decrescente].

13) Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva y² = x² ( 1-x² ) nel punto di ascissa 1.

14) Rappresentare la figura di equazione | y | + | x | =1
[rappresentare le quattro parti della curva, a seconda del segno di x e di y.]

15) Scrivere l'equazione della curva formata dall'unione degli assi cartesiani.
[Ricorda la legge di annullamento del prodotto]

16) Un punto si muove nel piano secondo le equazioni parametriche x = 2 t +1, y = -3 t² + 2 t .
Scrivere l'equazione cartesiana della traiettoria.
[Risolvi in t una delle due equazioni e sostituiscilo nell'altra]

17) Un punto si muove secondo la legge oraria s(t) = t³ -3 t²+1.
Determinare l'espressione della velocità v(t) e dell'accelerazione a(t).

18) Descrivere la traiettoria del moto individuato dalle equazioni parametriche
x(t) = sin ( t ) ; y(t) = sin( 2t )
[ Per eliminare il parametro t ricorda la relazione fondamentale della trigonometria]

19) Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva di equazione y = e^x uscente dall'origine.
[ Scrivere l'equazione della retta tangente alla curva in un punto generico e imporre l'appartenenza dell'origine]

20) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale e darne un esempio di applicazione.

21) Verificare che la funzione y = sin x soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [0 ,p ] e determinare il punto c tale che y'(c) = 0.

22) Calcolare l'area della regione di piano individuata dal sistema di disequazioni:
x >1, y >1, x ² + y² < 4.
[ Conviene ragionare in modo elementare cercando di esprimere la regione come differenza di figure elementari.]

 23) Dimostrare che se log _2.m a = b allora log _m a = b ( log _m 2 +1)
[Applicare le proprietà dei logaritmi e del cambiamento di base]

 24) La funzione y = sinh x viene definita con sinh x = (e ^x - e ^-x ) / 2.
Scrivere l'espressione analitica della sua funzione inversa ( arc sinh ) e verificare che è una funzione dispari.
[Risolvere in x, per quanto riguarda la disparità ricordare che ln(1/x) = - ln(x)]

25) E' dato un quadrato di cartone di lato a . Si taglino da esso quattro quadrati uguali di lato x dai suoi angoli. Esprimere in funzione di x il volume della scatola aperta che può essere costruita con il cartone .
Farne la rappresentazione grafica.

26) La funzione cosi definita : y = x*sin(1/x) se x ¹ 0, y = 0 se x=0 . E' continua in x = 0 ? E' derivabile in x=0?

 27) Rappresentare nel piano cartesiano la curva di equazione : x⁴ - y² = 0.
[ Scomporre in fattori e ricordare la legge di annullamento del prodotto]

 28) Rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei punti dai quali la somma delle distanze dagli assi coordinati sia uguale ad un numero prefissato a > 0.

 29) Rappresentare il luogo dei punti del piano P(x,y) tali che max(|x|,|y|) = a, con a>0 prefissato.

 30) Rappresentare il luogo dei punti del piano dai quali la somma dei quadrati delle distanze da due punti fissi sia costante. Che curva è?

 31 ) Calcolare l'area della parte comune a due cerchi uguali di raggio r disposti in modo che il centro di uno sia sulla circonferenza dell'altro.

32) Rappresentare la funzione: Y = | | x | - 1 |.
Per quali valori di k l'equazione | | x | -1 | = k non ha soluzioni? Ha due soluzioni? Ha tre soluzioni? Ha quattro soluzioni?.
[ Per la rappresentazione studiare i quattro casi che emergono dall'eliminazione del valore assoluto, per le soluzioni dell'equazione guardare al numero delle intersezioni della curva ( spezzata) con la retta parallela all'asse x, y = k]

33) E' data la funzione : y = ax³ + b x² + c x + d per x ³ 0 , y = e^x per x<0. Determinare per quali valori di a, b, c, d la funzione è continua assieme alle sue derivate prima seconda, terza.
[Nel punto di incollatura x=0, calcolare la funzione, e le derivate prima seconda e terza sia a destra che a sinistra e imporre che siano uguali]

34) Scrivere l'equazione cartesiana di un quadrato di lato 2 con i lati paralleli agli assi coordinati.

35) Dato un punto A, una circonferenza G di centro A, un punto B interno a G . Condurre da A una semiretta s e sia C il punto di intersezione di s con G . Dimostrare che il luogo dei punti P di intersezione tra l'asse del segmento BC e la semiretta s è un ellisse di fuochi A e B.
[ Devi dimostrare che la somma delle distanza dai fuochi ( A e B) è costante, ( uguale al raggio della circonferenza]

36) Analogamente al precedente dimostrare che se il punto B è esterno alla circonferenza G il luogo è un ramo di iperbole di fuochi A e B.
[come nell'es. precedente con la sola differenza che il raggio della cfr. è la differenza delle distanze]

37) Analogamente ai precedenti dimostrare che preso un punto A ed una retta r non passante per A, da A condurre una semiretta s che incontri r in un punto B, da B condurre la perpendicolare t ad r, dimostrare che il luogo dei punti del piano intersezione tra t e l'asse di AB è una parabola di fuoco A.

38) Calcolare e successivamente trovarne il limite per n tendente all'infinito.
[ Scomporre la frazione 1/ k(k+1) nella somma di due frazioni di denominatori k e k+1, scrivere la sommatoria per esteso e semplificare fortemente, rimangono soltanto pochi termini, quali? ]

39) Dimostrare che . Utilizzando il risultato precedente calcolare

40) Risolvere l'equazione in x e fare la verifica :
[Non spaventarti della forma, dopo che hai calcolato l'integrale è una normalissima equazione di primo grado]

41) Dimostrare, in base alla definizione, che D( x³) = 3 x²
Generalizzare al caso D(xⁿ) = n x^n-1

42) Scrivere le equazioni della simmetria di asse la retta di equazione x -y +1 = 0.
[ Detto P(x,y) il punto generico e P'(x',y') il suo trasformato mediante la simmetria, il loro punto medio sta sull'asse e la retta PP' è perpendicolare all'asse]

12) Discutere, al variare di k, il numero e il segno delle soluzioni dell'equazione x³ -kx²+1=0
[Risolvere in k, porre y al posto di k , studiare la funzione così ottenuta ( massimo minimi, andamento ) e infine studiare graficamente il numero e il segno delle intersezioni con la retta generica y = k parallela all'asse x ]

43) Dimostrare per via elementare che, tra tutti i triangoli di perimetro assegnato 2p, quello di area massima è l'equilatero.
[Comincia col dimostrare che tra tutti i triangoli di determinata base e costante la somma degli altri due, quello di area massima è l'isoscele, e generalizza]

44) Calcolare l'altezza del tetraedro regolare di spigolo l ( uno).
[Il tetraedro è una piramide a base a triangolare e con tutte le quattro facce uguali. Calcolare prima l'apotema della piramide e poi l'altezza applicando il t. di Pitagora]

45) Risolvere l'equazione sen x = ( 1-cos² x)^1/2
[Attenzione che è un'equazione ma le soluzioni vengono scritte come quelle delle disequazioni]

46) Dimostrare che
[Utilizzare le sviluppo della potenza n-sima del binomio di Newton]

47) Dimostrare che la funzione y = 0 per x = 0, y= x²sen(1/x) per x ¹ 0 è continua e derivabile in 0.
Dimostrare inoltre che tale funzione pur essendo sempre derivabile la derivata non è continua in 0.
[Verificare che il limite del rapporto incrementale in 0 è finito, mentre la derivata della funzione non risulta continua nell'origine]

 48) Calcolare i termini della successione e, nel caso esista, il limite per n tendente all'infinito.
[Riconoscere il binomio di Newton]

49) Calcolare il limite e verificare che tale limite non può essere calcolato con la regola de l'Hospital.

50) Verificare l'identità
[Attenzione al denominatore comune]

 51) Calcolare la derivata della funzione y = arc sen (x) + arc cos (x).
Che cosa possiamo dedurre dal risultato ottenuto? Potresti scrivere la funzione data in modo molto più semplice?

52) Scrivi la definizione di funzione periodica e verifica se la funzione y= sen ( 2 p x / 3 ) è periodica? Se la risposta è affermativa calcolane il periodo ?

53) Verifica che la funzione y = f(x) = 3 ln x + x è strettamente crescente e calcola la derivata della sua funzione inversa nel punto indicato f ^{-1 '} ( 3 )

54) Determinare il raggio delle tre circonferenze di ugual raggio tra loro tangenti e tangenti internamente ad una circonferenza di raggio R.

55) Determinare il rapporto tra il volume della sfera circoscritta ad un cubo di lato l e il volume della sfera inscritta allo stesso cubo.

56) Determinare il volume di un tetraedro regolare di spigolo l.

57) Tracciare nel piano cartesiano la figura di equazione | x | + x - y - | y | =0

58) Determinare le soluzioni dell'equazione | x | - | x²-1| = 0

59) Per quali valori di a è verificata la seguente uguaglianza sen a = 1 - cos² a

60) Discutere la continuità e la derivabilità della seguente funzione definita a tratti:

…..ì x per x <0
y = í sen x per 0 £ x £ p
…..î 0 per x > p

61) Dimostrare, in base alla definizione di limite, che lim _x->¥ sen x /x = 0

62) Dimostrare che la funzione y= |x| è continua ma non derivabile nell'origine mentre la funzione y = |x| ³ è continua e derivabile nell'origine.

63) Determinare un intervallo nel quale è applicabile il teorema di Rolle per la seguente funzione
y = x³ - x e calcolare all'interno di tale intervallo il punto c tale che y'(c) = 0.

64) Tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza determinare quello di area massima

65) Dimostrare che l'equazione x ⁷ + 2 x + k = 0 ha soltanto una soluzione reale per qualsiasi valore del parametro k

66) Calcolare dominio e codominio della funzione y = arcsen ( 3 x +1 ), dimostrare che è invertibile perché strettamente crescente e determinarne la funzione inversa.

67) Determinare, al variare del parametro k il numero delle soluzioni dell'equazione:

68) Dimostrare che la seguente disuguaglianza è vera per tutti i numeri reali a e b (a² +b²)/2 > a b

69) Calcolare il limite lim _x->0 ( ln( 1+x) + ln( 1-x)) / (cos x-1)

70) Calcolare per quali valori di a e di b la seguente funzione è continua e derivabile

71) Rappresentare nel piano cartesiano la regione individuata dal seguente sistema di tre disequazioni:
e calcolarne l'area

72) Dimostrare, in base alla definizione di derivata che

73) Studiare la continuità e la derivabilità delle seguenti funzioni y = x ^1/3 ; y = x ^2/3

74) Dimostrare che la somma di tutte le potenze di esponente naturale di 1/2 è 2. Ovvero:

75) Determinare tra tutti i rettangoli inscritti in un triangolo rettangolo (in modo che un vertice del rettangolo cada nell'angolo retto del triangolo), quello di area massima.

76) Dimostrare che la funzione y = x sen (1/x)
ha una discontinuità eliminabile nell'origine mentre in tale punto non è comunque derivabile.

77) Scrivere un esempio di funzione sempre positiva e che abbia per asintoti le rette di equazione

78) Calcolare la funzione inversa di : y = e ^x - e ^{- x} e trovarne la derivata nell'origine

79 ) Trovare la retta tangente alla curva di equazione:
y = ln x parallela alla retta di equazione y = 3x

80 ) Rappresentare la curva di equazione: y = Ö |x² -1|

81)  Determinare l'area della parte di piano individuato dal seguente sistema di disequazioni:

-1< x <1
1-x² < y < Ö (1-x²)

82) Scrivere un esempio di funzione dispari che passi per l'origine e che abbia i seguenti asintoti : x = -1; x =1; y = x.

1) Ippocrate di Chio, vissuto nel 5° secolo a.C è stato forse il primo, nel tentativo di "quadrare il cerchio" a calcolare in modo esatto aree di alcune figure curvilinee, in particolare dimostrò che la "lunola" (figura a forma di luna) delimitata dalla semicirconferenza G di diametro AB e dall'arco AB avente centro in C sulla semicirconferenza G ' simmetrica di G rispetto alla retta AB è equivalente al triangolo ABC.
Sapresti dimostrarlo con i mezzi matematici a tua disposizione?.

2) Uno dei problemi classici ai quali si occupavano i matematici del tempo di Ippocrate era quello della "duplicazione del cubo" consistente nel calcolare la lunghezza del lato di un cubo di volume doppio rispetto a quello di lato unitario. Ippocrate era a conoscenza del fatto che tale problema è equivalente a determinare z dalla catena di proporzioni continue:

1 : y = y : z = z : 2

Sapresti dimostrarlo?

3) Ippia, vissuto verso la fine del quinto secolo a.C nel tentativo di risolvere il problema della trisezione dell'angolo ideò la curva che prende il suo nome e che viene così costruita:
Nel quadrato ABCD si trasli uniformemente la retta AB verso la retta DC e contemporaneamente si faccia ruotare la retta AD intorno a D in modo che quando AB viene a coincidere con DC, pure AD coincida con DC. I punti della curva sono i punti di intersezione delle due rette citate. Scrivere l'equazione cartesiana della curva di Ippia, rappresentarla e in particolare calcolare la posizione del punto di incontro di detta curva con la retta DC.

  Problemini di vario genere che si possono risolvere a mente senza fare troppi calcoli

 1) Due navi distano 30 km e si muovono l'una verso l'altra. Le velocità delle navi sono: 10 km/h e 20 km/h.
Dopo quanto tempo si incontrano?

Un gabbiano che si muove alla velocità di 50 km/h fa la spola tra le due navi fino al loro incontro. Per quanti chilometri ha volato il gabbiano?

2) L'età del padre è tre volte l'età del figlio, fra quanti anni il padre avrà il doppio dell'età del figlio?
( La risposta deve essere data facendo riferimento alle età attuali del padre e del figlio.)

3) Un ghepardo insegue una gazzella. Il ghepardo corre a 30 m/sec, la gazzella fugge a 25 m/sec. Se il ghepardo può correre solo per 20 secondi, quale sarà la distanza massima della gazzella perché il ghepardo inseguendola possa raggiungerla?.

 4) In un negozio gli articoli sono venduti con la sconto del 25%. Un ragazzo compra un paio di scarpe per 48000 lire.

Quanto costavano le scarpe prima di essere scontate?

5) Luigi impiega un'ora per fare una buca nel terreno. Gianni, è più svelto, fa due buche in un'ora.

Se lavorano insieme quanto impiegano a fare una buca?