Massimo Fantin marzo 2001

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Simulazione

Introduzione e prime definizioni

Retta per due punti

Condizione di perpendicolarità tra due rette

Equazione del fascio di rette per un punto

Equazione della retta per un punto P e perpendicolare ad una retta

Condizione di incidenza

Circonferenze oricicli e ipercicli

Trigonometria nel piano iperbolico di Poincaré

Il modello di Poincaré è un esempio di geometria iperbolica nel quale il postulato di Euclide dell'unicità della parallela condotta da un punto ad una retta data viene sostituito con un assioma che ammette l'esistenza di più rette parallele condotte da un punto ad una retta data.

Per Poincaré

Con queste definizioni è possibile verificare la validità degli assiomi universali della geometria tranne naturalmente l'assioma di Euclide.

Ho voluto definire un modello di analitico del piano di Poincaré. Nel quale le rette sono rappresentate dalle equazioni delle circonferenze ortogonali. Affinché una circonferenza sia ortogonale a G .

Affinché una circonferenza sia ortogonale a G occorre che 1+ r² = d² dove d è la distanza dal centro, pertanto la circonferenza di equazione x ² + y ² + a x + b y + c = 0 è ortogonale se 1+(a/2)² + ( b/2)²- c = (a/2) ² +(b/2)²

Ovvero se c=1 pertanto le equazioni delle rette della geometria di P possono scriversi in forma esplicita con due parametri non omogenei

Oppure in forma implicita con tre parametri omogenei :

Questa ultima rappresentazione è ovviamente più generale perché comprende tutte le rette del piano di P comprese le rette passanti per il centro (c=0).

Di una retta chiamiamo

Che evidentemente sono il centro e il raggio euclidei

Dati A( x₀, y₀) e B(x₁, y₁) , affinché la retta a x + b y + c ( x² + y² + 1) = 0 contenga A e B è necessario che
siano verificate le seguenti condizioni di appartenenza:
a x₀ + b y₀ = -c( x₀² + y₀² +1)
a x₁ + b y₁ = -c( x₁² + y₁² +1)

Se risolviamo il sistema rispetto ad a, b, c e sostituiamo nell'equazione della retta generica otteniamo :

che rappresenta la generica equazione della retta per due punti anche nel caso in cui i due punti siano allineati con il centro perchè in tal caso si otterrebbe l'equazione della retta euclidea.

E' facile rendersi conto che questa definizione di perpendicolarità equivale in geometria euclidea a considerare due circonferenze ortogonali infatti non è altro che la condizione del teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo che ha per ipotenusa la congiungente i centri delle circonferenze e come cateti i raggi delle due cfr.

 (a₁/2c₁ -a₂/2c₂)²+(b₁/2c₁ -b₂/2c₂)² = (a₁/2c₁)²+(b₁/2c₁)²-1 + (a₂/2c₂)²+(b₂/2c₂)²-1

che semplificata diventa la seguente condizione di perpendicolarità:

 Si osserva che, nel caso in cui le rette siano passanti per l'origine c₁=c₂=0 si ottiene la condizione euclidea di perpendicolarità

Sia assegnati il punto P(x₀,y₀) L'equazione del fascio di rette per P si ottiene sottraendo membro a membro l'equazione generica della retta:

ax + by + c(x²+y²+1) = 0 con la stessa equazione nella quale si sia applicata la condizione di appartenenza del punto P

ax₀+by₀+c(x₀²+y₀²+1) = 0 si ottiene l'equazione del fascio di rette

 Siano assegnati il punto P(x₀,y₀) e la retta a₀x+b₀y+c₀(x²+y²+1) = 0

 Si scrive l'equazione del fascio di rette per P

 ( a x + b y )( x₀² + y₀² + 1 ) = ( a x₀ + b y₀ )( x² + y² + 1 )

che può essere scritta:

a x + b y - (a x₀ + b y₀ ) / (x₀² + y₀² + 1) (x² + y² + 1)=0

 si pone quindi c = -(a x₀ + b y₀)/(x₀²+y₀²+1) che posto a sistema con la condizione di perpendicolarità diventa:

che costituisce un sistema omogeneo nelle incognite a,b,c

se a₀ y₀ ¹ x₀b₀ la soluzione viene calcolata in funzione di c:

Nella geometria iperbolica, non essendo unica la perpendicolare, non si può ottenere una condizione di parallelismo simile a quella ottenuto per la perpendicolarità, si preferisce definire l'incidenza che corrispondere al contrario del parallelismo. È facile dimostrare per via elementare la seguente proposizione

x² + y² + a x + b y + g =0 può rappresentare una retta se g =1 oppure un oriciclo, un iperciclo o una circ onferenza. Per classificare occorre introdurre anche per queste figure

pseudoraggio r = sqrt( (a /2)²+(b /2)²-g )

pseudodistanza dal centro d = sqrt( (a /2)²+(b /2)² )

per dimostrare questa formula basta sostituire nell'equazione generica della circonferenza euclidea la condizione d + r =1

e semplificare.

Problema: Determinare l'equazione dell'oriciclo di punto all'infinito T(a ,b ) e passante per il punto P(x₁,y₁).

La soluzione può essere ottenuta cercando l'equazione della circonferenza euclidea passante per i punti dati e tangente alla retta tangente alla circonferenza unitaria nel punto T.

In geometria iperbolica i noti teoremi di trigonometria piana vengono modificati:

Per comodità si usano le funzioni iperboliche :

Con le solite notazione per gli angoli: a : angolo retto, b , g gli angoli acuti, a il lato opposto all'angolo retto Ipotenusa, b,c gli altri lati, cateti, il Teorema di Pitagora diventa:

E facile dimostrare che questa formula si riduce a quella solita del teorema di Pitagora nel caso in cui i lati tendano a zero,

infatti per valori piccoli cosh x @ 1 + x ²/2.

Da cui 1+ a²/2 = (1+ b²/2)*(1+c²/2), semplificando ed eliminando i termini di grado superiore si ha:

a² = b² + c².

la geometria iperbolica si avvicina a quella euclidea quando i triangoli sono molto piccoli.

Gli altri teoremi sui triangoli rettangoli diventano:

tanh c = tanh a * cos b

sinh b = sinh a *sin b

Anche per queste formule si può verificare che al tendere a zero dei lati si ottengono quelle note della trigonometria piana euclidea. Le approssimazioni sono:

tanh x = x + x³/3

sinh x = x - x³/6

cosh x = 1+x ² /2

Sostituendo nella prima equazione di sopra si ha:

c + c³/3 = (a + a³/3) cos b , eliminando i termini di grado superiore si ha c = a cos b

analogamente l'altra.

Il Teorema di Carnot diventa:

cosh a = cosh b * cosh c - sinh b * sinh c * cos a

Mentre il Teorema dei seni diventa:

sinh a / sin a = sinh b / sin b = sinh c / sin g

Anche questi teoremi generalizzano quelli noti.

L'area di un triangolo e espressa dal difetto angolare ovvero dalla differenza tra p e la somma degli angoli interni. L'area massima di un triangolo sarà pertanto p , e si avrà nel caso in cui il triangolo avrà i tre vertici sulla retta all'infinito, e gli angoli nulli.

Per i poligoni convessi di n lati l'area sarà data dalla differenza tra (n-2)p e la somma dei lati pertanto l'area massima sarà

(n-2)p .

Poiché al tendere di n all'infinito (n-2) p tende all'infinito non esistono limitazioni per l'area del cerchio, che può essere considerato come un poligono regolare di infiniti lati.

Si osserva che la lunghezza della circonferenza è maggiore di quella euclidea ma tende ad essa per R tendente a zero.

Anche in questo caso l'area tende al valore euclideo p R² per triangoli piccoli