di Massimo Fantin 2003 ( correzioni e ampliamento 2006)

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Scopo

Elementi di trigonometria sferica

Determinazione della declinazione del sole in una certa data

Calcolo dell'ora solare

Calcolo della lunghezza del dì

Calcolo dell'altezza del sole

Calcolo dell'ora e del giorno

Calcolo del mezzogiorno solare vero

Correzione dovuta all'ellitticità dell'orbita terrestre

 Esempio di calcolo del mezzogiorno, dall'alba e del tramonto nel corso dell'anno

Esempio di calcolo delle coordinate del sole nel corso di una giornata

Ho voluto raccogliere qui una serie di calcoli da me studiati alcuni anni fa e ora ampliati allo scopo di poter determinare, mediante l'utilizzo di semplici strumenti realizzabili in casa con cartoncino e altro semplice materiale reperibile facilmente, l'ora solare e altri parametri astronomici che verranno in seguito indicati, è interessante osservare che con strumenti molto semplici è possibile studiare, con una approssimazione accettabile, il moto della terra intorno al sole a punto di poterne valutare anche l'ellitticità dell'orbita.

Gli strumenti occorrenti sono:

Il quadrante che può essere realizzato tagliando un cartone robusto o compensato a forma di quarto di cerchio ( quadrante ) di raggio almeno 20 cm , graduato in gradi e facendo passare un filo nel centro di curvatura , che mantenuto teso e verticale da un pesetto permette di leggere sulla scala angolare graduata l'altezza del sole( angolo formato tra l'orizzontale e la direzione del sole), è sufficiente orientare il lato superiore del quadrante verso il sole, facendo si che l'ombra del lato superiore del quadrante sia esattamente allineata con esso. ( Attenzione non guardare il sole direttamente con gli occhi potrebbe essere pericoloso per la vista )

 E' possibile anche costruire col cartoncino uno strumento molto semplice formato da una base rigida , che deve essere appoggiata ad un piano orizzontale, su di essa vanno tracciati, mediante un goniometro i raggi uscenti da un punto distanziati di 5 o 10 gradi e una serie di circonferenze i cui raggi sono dati dalle lunghezze delle ombre che una colonna verticale produce quando l'altezza del sole vale 70°, 65° .....  40°... fin che ci stanno. il raggio è uguale all'altezza della colonna per la cotangente dell'altezza.

Per costruire la colonna  conviene che essa abbia la base a forma di triangolo rettangolo isoscele e che lo spigolo sul vertice retto sia perpendicolare al piano di base e naturalmente venga posizionato nel centro dei raggi.  La colonna deve essere ruotata a secondo che si facciano le osservazioni di mattina o di pomeriggio in modo che si possa sempre  usare l'ombra dello spigolo verticale per fare le misure.  

Per i calcoli che presento è necessario conoscere alcuni elementi di trigonometria sferica, anch'io non li conoscevo e me li sono ricostruiti per lo scopo, ma si possono anche  reperire nei manuali di matematica.

Tutti i metodi di calcolo presentati sono stati costruiti da me, in alcuni casi ho dovuto operare delle approssimazioni che tuttavia non pregiudicano i risultati, basta accontentarsi dell'approssimazione del mezzo grado e del paio di minuti, non è possibile andare oltre con strumenti di recupero e con questi metodi matematici.

Per capire tutte le dimostrazioni, nonostante la trattazione sia fatta in modo elementare è necessaria una certa dimestichezza con il calcolo matematico, con il prodotto scalare tra vettori e inoltre gli sviluppi di Taylor, occorre inoltre una certa visione dello spazio tridimensionale e una certa conoscenza della geografia astronomica : eclittica, equinozio, perielio ecc..

I calcoli da eseguire possono essere eseguiti con una calcolatrice tascabile o con il foglio elettronico.

La trigonometria sferica si occupa di studiare le relazioni esistenti tra gli angoli di un triangolo sferico che è formato da tre archi di cerchio massimo AB, BC, CA sulla superficie di una sfera di centro O e raggio unitario. Siano a ,b ,g gli angoli (in radianti) al centro che incontrano sulla superficie della sfera rispettivamente gli archi BC, CA, AB. Con i simboli A,B,C indichiamo anche gli angoli diedri ( sempre in radianti ) del solido OABC : A è opposto all'angolo a , B è opposto all'angolo b e C è opposto all'angolo g . ( attenzione a non confondere i vertici A,B,C con gli angoli A,B,C che vengono rappresentati con gli stessi simboli)

Per studiare bene come è fatto un triangolo sferico è bene costruirlo con del cartoncino tracciando con il compasso un settore circolare abbastanza ampio , tracciare due raggi all'interno ed incollare le estremità ( occorre lasciare anche una linguetta per l'incollatura ).

Per i triangoli sferici valgono due teoremi che sono analoghi a quelli noti per i triangoli piani e che ci serviranno in seguito:

Osservo che questi teoremi possono essere visti anche indipendentemente dal triangolo sferico ma semplicemente su di un tetraedro di vertici O,A,B,C, gli angoli in O: a =BOC, b =AOC, g =AOB mentre gli angoli diedri A,B,C sono: A=angolo tra ABC e OBC, B=angolo tra ABC e OAC, C=angolo tra ABC e OAB,

Teorema dei Seni: sen a / sen A = sen b / sen B = sen g /sen C

Teorema del coseno: cos a = cos b cos g + sen b sen g cos A.

Dimostrazione del teorema dei seni:

Sezionare il solido OABC con due piani per il vertice A , detti p b e p c, entrambi perpendicolari alla faccia OBC e perpendicolari rispettivamente ad OB e OC,
detti a = p a Ç p b Ç OCB,
b = p b Ç OB,
c=p c Ç OC.
Si avrà Ac = OA sen b = sen b , Ab = OB seng = sen g .

Per la perpendicolarità con i lato OC e OB, il triangolo rettangolo Aba ha l'angolo in b uguale all'angolo diedro B e analogamente il triangolo rettangolo Aca ha l'angolo in c uguale a C pertanto
Aa=Ab sen B = Ac senC ma essendo Ab= sen g e Ac = sen b si ha sen b sen C = sen g sen B ovvero
sen b /sen B= sen g / sen C.

Il prodotto scalare tra i vettori a e b è un numero che si ottiene dal prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo tra loro compreso. Si può anche dire come il prodotto del modulo di uno di questi vettori per la proiezione dell'altro sul primo.

Per il prodotto scalare vale la proprietà distributiva a.(b+c)= a.b + a.c

Passiamo ora alla dimostrazione del teorema del coseno:

Si conducono da B e da C le perpendicolari Bb e Cc al lato OA e si esegua il prodotto scalare

OC.OB = (Oc+cC).(Ob+bB) = Oc.Ob + Oc.bB + cC.Ob + cC.bB

Si osserva che OC.OB= cos a perché i moduli di OC e OB sono unitari.

I termini intermedi Oc.bB , cC.Oc sono nulli perché vettori perpendicolari

Oc = OC cos b =cos b mentre Ob=OB cosg = cosg

CC. bB è dato dal prodotto scalare quindi prodotto dei moduli sen g sen b per il coseno dell'angolo compreso cos A.

Ricomponendo le varie parti si ha

Cos a = cos b cos g + senb seng cos A.

Supponiamo che l'orbita della terra sia circolare e il moto uniforme, ( in seguito illustrerò come è possibile, con semplici calcoli effettuare una correzione al fatto che come è noto l'orbita è ellittica e inoltre il moto non è uniforme ) per calcolare l'angolo che il sole ( se pensiamo che sia il sole a muoversi, la cosa è del tutto equivalente) ha descritto nella sua orbita, dal punto di riferimento, l'equinozio di primavera, il 21 marzo, è sufficiente fare una proporzione:

il numero dei giorni trascorsi dall'equinozio sta a 365 giorni come angolo in gradi sta a 360° ovvero

q = n 360° / 365. Da qui si capisce la terra percorre quasi un grado ogni giorno, forse è anche per questo che gli antichi hanno pensato di dividere l'angolo giro in 360 parti, forse pensavano che in un anno ci fossero 360 giorni.

Per calcolare la declinazione procediamo in questo modo: consideriamo il piano dell'eclittica e il piano dell'equatore, come è noto l'angolo tra questi due piani è di 23,5 ° ( misurerò gli angoli in gradi evitando però di usare i primi e i secondi ) vogliamo costruire un triangolo sferico di centro O, la terra ( si suppone che sia il sole a muoversi) e sia OA la retta di intersezione tra il piano dell'eclittica e il piano dell'equatore terrestre ( direzione dell'equinozio di primavera ) , sia S la posizione del sole sull'eclittica in un determinato giorno, da SO conduciamo il piano perpendicolare al piano equatoriale in modo da costruire un triangolo sferico rettangolo OASS' nel quale l'angolo a = SOS' ci dà la declinazione cercata che è l'altezza del sole rispetto al piano dell'equatore. Per trovare tale angolo applichiamo il teorema dei seni in forma sferica

sena / senA = senq / senQ dove q =n360°/365 e Q =90° e A=23,5° pertanto

sen a = sen( n 360°/365) sen 23,5°

dove n è il numero dei giorni trascorsi dall'equinozio di primavera.

Sen a = sen (84 ´ 360°/365) ´ sen23,5°=0,395 che corrisponde ad un angolo a = 23°

 

Calcolo dell'ora solare conoscendo il giorno, l'altezza del sole e la latitudine

E' necessario calcolare inizialmente la declinazione del sole a come visto precedentemente.

Detta b l'altezza del sole e g la latitudine consideriamo il triangolo sferico avente per origine O, la terra, OC la direzione del sole, OA lo zenit ( verticale condotta dall'osservatore ) e OB l'asse di rotazione terrestre. Consideriamo il solido OABC e su di esso applichiamo il teorema del coseno visto nella introduzione dei trigonometria sferica. Gli angoli sono:

BOA è la colatitudine 90°-g

AOC = 90°-b ovvero l'angolo tra lo zenit e il sole ( complementare dell'altezza)

BOC =90°- a la codeclinazione.

L'angolo diedro B è l'angolo formato dal meridiano con il sole

Si ha:

cos AOC=cos AOB cosBOC + sen AOB sen BOC cos B

cos( 90-b )=cos(90-g )cos(90-a )+sen(90-g )sen(90-a ) cosB , risolvendo in B si ha:

L'angolo B rappresenta l'ora solare rispetto al mezzogiorno, poiché il sole in un ora descrive 15 ° per trovare l'ora in cui ci troviamo aggiungiamo e togliamo dal mezzogiorno B/15.

declinazione sen a = sen 108° sen 23,5°= 0,38 da cui a = 22,5°.

Per calcolare il tempo che intercorre tra l'alba e il mezzogiorno solare basta semplicemente trovare a quale ora il sole ha altezza zero b =0 , l'equazione vista in precedenza e semplificata diventa:

cosB = - tang a tang g

7 luglio n=108 , a =22,5° come già calcolato, g =44°.

 Si calcola la declinazione del sole come visto precedentemente sen a =sen (360° n /365) sen 23,5°

Con la stessa costruzione del paragrafo precedente si pone

g latitudine,

B l'ora in gradi rispetto al mezzogiorno B=15(h-12).

L'altezza del sole b si trova applicando il teorema del coseno visto nella introduzione di trig. sferica.

Cos (90°-b )=cos (90°-a) cos(90-g )+ sen(90°-a) sen (90°-g ) cos B .

L'altezza può essere trovata da

Per calcolare l'angolo che il sole forma con il meridiano (azimut) applichiamo il teorema dei seni:

sen(90°-a) /sen A = sen(90°-b ) /sen B

Esempio: giorno 20 dicembre ora 10h 35m solari latitudine g = 42°

sena =sen(274 360°/365) sen 23,5°= -0,399 da cui a =-23,5

sen b = sen(-23,5°) sen 42° + cos (-23,5°) cos42° cos -12,25° = 0,399  da cui l'altezza del sole è b =23,5°

E' il problema inverso del precedente e la sua risoluzione permette utilizzare il sole come un orologio e un calendario. Osserviamo che sembra stano che con una sola osservazione della posizione del sole sia possibile calcolare oltre all'ora anche il giorno, questo è possibile perché ogni giorno dell'anno il sole descrive una traiettoria nel cielo differente. Notare la differenza rispetto al precedente calcolo nel quale si trovava l'ora solare conoscendo soltanto l'altezza del sole, in questo caso abbiamo un dato in più ma abbiamo anche una incognita in più.

Si inizia calcolando la declinazione del sole che non può essere calcolata come già visto perché non è noto il giorno, pertanto si procede diversamente. Si fa la costruzione già vista dove b è l'altezza e g la latitudine e A è l'angolo con il meridiano: si ha

cos (90°-a )= cos(90°-b ) cos(90°- g ) + sen(90°-b )sen(90°-g ) cos A.

per trovare infine l'ora del giorno basta calcolare l'angolo diedro B da

sen B/ sen (90°-b )= sen A/ sen (90°-a )

 L'ora si determina aggiungendo o togliendo B/15 minuti al mezzogiorno vero di quel giorno,
infatti se B è misurato in gradi 15 minuti corrispondono ad un grado.

Latitiudine g =45°

Altezza del sole b =52°

Troviamo a dalla prima formula a =10° e B dalla seconda B=32° che corrisponde a 2 h e 11m che aggiunte e tolte al mezzogiorno danno le ore 9h 49m oppure le 14h 11m solari vere.

Per trovare infine il giorno troviamo n dalla sen(n 360/365)=sena /sen 23,5 che dà

Calcolo della differenza tra il mezzogiorno solare vero e il mezzogiorno solare medio

 A questo punto consideriamo il fatto che il mezzogiorno solare non avviene sempre a 24 ore dal mezzogiorno precedente ma nel corso dell'anno anticipa o ritarda pertanto dobbiamo distinguere tra il mezzogiorno medio che avviene nello stesso luogo sempre alla stessa ora dell'orologio e il mezzogiorno solare vero che si ha quando il sole passa esattamente sul nostro meridiano e cambia nel corso dell'anno. Il mezzogiorno solare cambia per due motivi, per il fatto che l'asse di rotazione terrestre mantenendosi parallela a sé stessa si inclina rispetto al sole diversamente nel corso dell'anno, l'inclinazione dell'asse sul piano che contiene il sole e l'asse terrestre determina la differente lunghezza del giorno e della notte e quindi le stagioni, fenomeno noto a tutti, mentre l'inclinazione dell'asse della terra su un piano perpendicolare all'eclittica e alla retta terra sole produce anticipi e ritardi al mezzogiorno solare. ( C'è anche un'altra ragione dovuta al fatto che l'orbita della terra è ellittica, ma di questo ne parleremo dopo) . Per studiare questo fenomeno consideriamo la figura solida ORTF, il sole è il F, la terra in O, OT rappresenta l'asse di rotazione terrestre e FOR il piano dell'eclittica , l'angolo j =66,5° perché è il complementare dell'angolo tra l'asse di rotazione e la perpendicolare all'eclittica che è 23,5°.L'angolo q sul piano dell'eclittica è il complementare dell'angolo descritto dall'equinozio di primavera, l'angolo T rappresenta l'ora del mezzogiorno ( ora siderale cioè riferita sempre alla stessa direzione equinoziale).Ciò che interessa a noi è la differenza tra l'angolo diedro T e l'angolo q , tale differenza rappresenta appunto la differenza tra il mezzogiorno solare vero rispetto al mezzogiorno medio.( l'angolo r serve unicamente per la costruzione ma non ha significato astronomico )

Per calcolare procediamo utilizzando sempre i soliti teoremi di trigonometria sferica dai quali risulta

cos r =cos j cosq + sen j senq cos R
sen T/ senq =sen R/sen r ma poiché R=90° si riduce a

cos r =cos j cosq
sen T/ senq =sen R/sen r

cui

questa formula è esatta e ci permette, una volta conosciuto l'angolo q = 360°n/365 di trovare T e dalla differenza tra i due che è di pochi gradi ( pochi minuti se si considerano in tempo) di trovare di quanto si differenzia il mezzogiorno vero da quello medio.

Esempio 21 aprile n=31 giorni q =30,5° T=32,7° che corrisponde ad un anticipo di 9 minuti

La formula scritta sopra può essere scritta in modo più semplice anche se con una certa approssimazione: dallo sviluppo di Taylor per |x| piccoli si ha: 1/Ö (1-x) » 1 + x/2 e poiché cos²j = 0,16 pertanto nel nostro caso x è ancora minore si ha:

senT= senq + 0,5senq cos²j cos²q ovvero senT- senq = 0,5senq cos²j cos²q applicando le formule di prostaferesi si ha:

sen(q -T)/2cos(q +T)/2=0,25 senq cos²j cos²q , poiché q e T sono simili cos(q +T)/2» cosq da cui

sen(q -T)/2=0,25 senq cosq cos²j , inoltre poiché l'angolo (q -T)/2 è piccolo il seno è quasi uguale all'angolo in radianti pertanto la formula si riduce a

q -T=0,25sen2q cos²j =9,2 sen2q , questa formula è una buona approssimazione quando la differenza tra i due angoli è molto piccola mentre differisce maggiormente per valori maggiori, si può modificare il coefficiente in modo da ottenere un'approssimazione che rientri nel minuto che ci eravamo preposti :

La seguente formula fornisce l'anticipo dell'ora solare vera rispetto a quella media in minuti di tempo.

Esempio lo stesso di prima 21 aprile q =30,5° q -T=10 sen61 = 9 come con la formula esatta

 

 

Correzione dovuta all'ellitticità dell'orbita terrestre

In questo ultimo paragrafo mi occupo del fatto che il mezzogiorno vero dipende anche dall'orbita della terra che non è circolare ma ellittica e inoltre la velocità della terra nella sua orbita non è costante, come è noto per la seconda legge di Keplero la velocità è maggiore in perielio e minore in afelio. Per risolvere in modo semplice questo problema utilizzo un metodo  preso dalle opere di Tolomeo che però per le nostre approssimazioni e per l'eccentricità della terra che è piuttosto piccola e=0,017 va bene ugualmente. Si suppone che la terra descriva un'orbita circolare e che il sole non sia al centro ma spostato nella posizione S in modo che OS = eccentricità x raggio dell'orbita. La velocità della terra inoltre è data dal moto uniforme intorno al punto S' (simmetrico di S rispetto al centro dell'orbita) della semiretta S'T. La verifica dell'equivalenza è in seguito.

Sia e l'eccentricità dell'orbita e = c / r.

Consideriamo il triangolo TSS' del quale sono noti gli angolo TS'S = V e TSS'=(180°-v) evidentemente S'TS=V-v ed S'S=2c. Dal teorema dei seni di trigonometria piana si ha:

2c / sen(v-V) = ST / sen V ma ST=r-rcos V da cui, posto c = e r si ha

2er / sen(v-V) = r ( 1-e cos V) / senV

sen (v-V)= 2 e sen V/(1-e cos V) ma poiché e cos V è piccolo rispetto a 1 la formula si semplifica ulteriormente:

si può procedere ad una ulteriore approssimazione considerando che v-V è piccolo in generale minore di un grado pertanto il seno è equivalente all'angolo in radianti e in gradi

(v-V )° = 2 e sen V 180/p , considerando e=0,017 diventa

(v-V)° = 1,95 sen V

infine in minuti di ora

Attenzione che in questo caso l'angolo V deve essere preso a partire dal perielio e non dall'equinozio.

Il perielio cade il 2 gennaio e si sposta come è noto per effetto della precessione degli equinozi percorrendo tutto l'anno in 26000anni, avanza di un giorno ogni 71 anni.

Dimostrazione del fatto che il metodo Tolemaico da me usato è in prima approssimazione equivalente e quello Kepleriano.

In realtà i due metodi sono equivalenti solo in prima approssimazione, provo che le velocità in perielio sono, in prima approssimazione uguali.

Nel metodo tolemaico la velocità in perielio è data da (a + c) 2p / T dove a è il semiasse maggiore cioè il raggio e T il periodo. Per calcolare la analoga velocità in perielio secondo Keplero occorre calcolare la velocità areale che si calcola dividendo l'area totale racchiusa dall'orbita per il periodo T

Va =p ab/T = p aÖ (a²-c²)/T . per la costanza della velocità areale si ha che la velocità in perielio Vp deve soddisfare la condizione Va = (a-c) Vp /2 e quindi p a Ö (a²-c²) / T =(a - c) Vp/2 che risolta in Vp ci dà:

Vp=2 p a / T Ö ((a+c)/(a-c)) = 2p a / T Ö (1+ 2c/(a-c)) ma poiché c<<a si può scrivere

Vp=2 p a / T Ö (1+ 2c/a) e mediante lo sviluppo di Taylor diventa

Vp=2 p a/T (1+c/a) =2 p T(a+c) che è uguale alla velocità in perielio del metodo tolemaico.

Si potrebbe fare un ragionamento analogo per il calcolo della velocità in afelio

 Esempio di calcolo del mezzogiorno solare, dell'ora in cui sorge il sole e in cui tramonta usando il metodo esposto.

Nella seguente tabella, eseguita con il foglio elettronico ho calcolato, mediante le formule esposte n, m come spiegato nella tabella

Teta rad = n *6,28/365 angolo descritto dal sole dall'equinozio di primavera in radianti

V rad = m*6,28/365 angolo descritto dal sole dal perielio in radianti

Ant=10 sen (2*teta rad) anticipo dovuto all'inclinazione dell'orbita terrestre)

Rit ell= 7,8 sen (V rad) Ritardo dovuto all'ellitticità dell'orbita

Rit Tot = Rit ell- Ant Ritardo complessivo in minuti

Mezzog = 0,5 - (long + rit tot) /1440 Ora del mezzogiorno; perché funzioni è necessario dare alla cella il formato ora in questo modo 0,5 sta ad indicare le ore 12 mentre i minuti di ritardo vanno divisi per 1440 perché in un giorno ci sono 1440 minuti

Declinaz= arcsen( sen(teta rad)*0,4) la declinazione in radianti, calcolata come descritto; 0,4 = sen(23,5°),

dì/2 = arccos(-tan(declinaz)*tan(latitudine*3,14/180))/6,28 calcola la semilunghezza del dì con il metodo illustrato, la latitudine si suppone data in gradi e quindi trasformata in radianti e infine si divide per 6,28 per far si che la giornata intera corrisponda all'unità. Anche in questo caso la cella deve avere il formato ora.

Alba=mezzogiorno-dì/2 Le celle devono avere il formato ora

Tramonto=mezzogiornoi+dì/2 Le celle devono avere il formato ora

Ultima considerazione le ore del mezzogiorno indicate coincidono, o tuttalpiù differiscono per un minuto con l'orario di passaggio del sole sul meridiano che passa per Bologna riportate all'interno della meridiana della Basilica di San Petronio dove è possibile misurare con precisione l'esatta ora di passaggio del mezzogiorno solare.

Esempio di calcolo delle coordinate del sole nel corso di una giornata in una data , in un luogo individuato dalla latitudine e dalla longitudine rispetto al centro del fuso.

Nella seguente tabella, eseguita con il foglio elettronico ho calcolato, mediante le formule esposte n, m come spiegato nella tabella 

gamma = latitudine*3,14/180 latitudine in radianti 

Teta rad = n *6,28/365 angolo descritto dal sole dall'equinozio di primavera in radianti

V rad = m*6,28/365 angolo descritto dal sole dal perielio in radianti

Ant=10 sen (2*teta rad) anticipo dovuto all'inclinazione dell'orbita terrestre)

Rit ell= 7,8 sen (V rad) Ritardo dovuto all'ellitticità dell'orbita

Rit Tot = Rit ell- Ant Ritardo complessivo in minuti

Mezzog = 0,5 - (long + rit tot) /1440 Ora del mezzogiorno; perché funzioni è necessario dare alla cella il formato ora in questo modo 0,5 sta ad indicare le ore 12 mentre i minuti di ritardo vanno divisi per 1440 perché in un giorno ci sono 1440 minuti

alfa rad =arc sen(sen(teta rad)*0,4)   declinazione in radianti

alfa grad= alfa rad*(180/3,14)   declinazione in gradi

ora rad r mezz =(ora orol-mezzog)*6,28  esprime la frazione di giorno che è passata dal mezzogiorno, è negativo alla mattina e positivo al pomeriggio

B°=ora rad r mezz*180/3,14  esprime l'angolo che ha compiuto il sole dopo il mezzogiorno in gradi

sen beta=sen (alfa rad)*sen(gamma)+cos(alfa rad)*cos(gamma)* cos(ora rad r mezz) 

beta=arc sen( sen beta) esprime l'altezza del sole rispetto all'orizzonte 

beta°=beta*3,14/180  l'altezza del sole in gradi 

sen A =cos(alfa rad)*sen(ora rad r mezz)/cos(beta) 

A=arcsen(sen A) l'angolo tra il meridiano e l'ombra di una colonna verticale in radianti ( fare attenzione che in primavera estate nelle prime ore del mattino e prima del tramonto l'azimut supera 90° pertanto calcolando l'arcoseno si trova il suo supplementare)   

azimut = (A*3,14/180)  l'angolo tra il meridiano e l'ombra della colonna verticale in gradi, negativo nelle ore di mattina e positivo nel pomeriggio