HOME

Scopo e introduzione

Costruzione geometrica dell'ellisse e dell'iperbole e relativa tangente

La conservazione del momento angolare e la seconda legge di Keplero.

Equazione polare dell'ellisse e velocità tangenziale.

La conservazione del momento angolare e la seconda legge di Keplero.

A partire dai principi di conservazione dell'energia e del momento angolare determinazione della velocità areale, della velocità massima e minima e del periodo nelle orbite ellittiche e terza legge di Keplero

A partire dai principi di conservazione dell'energia e del momento angolare determinazione della velocità areale, della velocità massima e minima (asintotica ) nelle orbite iperboliche.

La prima legge di Keplero.

La espressione analitica della velocità tangenziale per orbite ellittiche ed iperboliche

Programma di simulazione per le orbite ellittiche ed iperboliche

Programma di simulazione per le orbite paraboliche

Deflessione di particelle cariche quando vengono lanciate verso un nucleo ( esperimento di Rutherford)

Con questo lavoro intendo descrivere il moto dei pianeti, in modo elementare e quando è possibile geometrico, a partire dalla legge di gravitazione universale di Newton, e dalle leggi di conservazione. In particolare deriverò le leggi di Keplero dalla legge di Newton e calcolerò le equazioni del moto e l'espressione della velocità e di tutti gli altri parametri utili sia per orbite ellittiche paraboliche ed iperboliche . Presenterò una simulazione dinamica nella quale e visualizzata la costruzione geometrica e sono indicati i valori delle grandezze in gioco. Infine applico quanto visto per un altro importante fatto scientifico: l'esperimento di Rutherford per la determinazione delle dimensioni del nucleo atomico mediante irradiazione di una lamina d'oro con particelle alfa. L'idea viene dal libro tratto dalle lezioni tenute dal grande fisico americano Feynman appunto sul moto dei pianeti.

Siano S, F i fuochi. Da S si tracci la circonferenza di raggio 2a (asse maggiore), sia A il punto generico di tale circonferenza . Si traccia l'asse del segmento AF, allora il punto di intersezione tra il raggio AS e l'asse di AF è il punto generico dell'ellisse al variare del raggio SA perché la somma delle distanza dal punto generico ai fuochi è costante
PS + PF = PS + PA = FS = 2a.

Dimostriamo inoltre che l'asse di AF è la tangente infatti ( dimostrazione per assurdo) se così non fosse incontrerebbe l'ellisse in un altro punto Q e avremmo che QS+QF=2a, poiché per ipotesi di assurdo Q è sull'ellisse e inoltre QA=QF perché appartiene all'asse di AF. Da ciò si deduce che AQ + QS = QF + QS = 2a mentre deve necessariamente essere maggiore di 2a essendo la somma delle lunghezze di due lati di un triangolo il cui terzo lato è proprio 2a.

Si osserva che se il fuoco F viene posto esternamente alla circonferenza di raggio 2a e si procede in maniera analoga si ottiene un iperbole, la dimostrazione è analoga.

 Il principio di conservazione del momento angolare è un principio generale che vale per tutte le forze centrali indipendentemente dal tipo di forza, e da tale principio discende la costanza della velocità areale e di conseguenza la legge delle aree ovvero la seconda legge di Keplero.

La dimostrazione grafica della costanza delle aree descritte dal raggio vettore può essere fatta graficamente in modo analogo a come si trova nei lavori di Newton: Si suppone che il mobile si trovi in A a velocità V in una certa direzione, descriverà in un cero tempo lo spazio AB pertanto l'area descritta dal raggio vettore è data dall'area del triangolo SAB.

Se si muovesse di moto uniforme varrebbe la legge delle aree perché nello stesso tempo che ha percorso il tratto AB percorrerebbe il tratto successivo BC' e l'area del triangolo SBC' è uguale all'area di ABS infatti questi due triangoli hanno i lati uguali AB=BC' e stessa altezza ( distanza tra S e la retta ABC').

Supponiamo ora che in B il punto subisca una forza che ne modifiche la traiettoria fino a portarsi in C dopo lo stesso tempo considerato. Si ha che SBC' ha la stessa area di SBC infatti essi hanno la stessa base SB e altezze uguali infatti CC' è parallelo ad SB perché lati opposti del parallelogramma pertanto a tempi uguali corrispondono aree uguali. Non resta che ridurre il percorso di ciascun elemento di area al tendere a zero per avere un percorso curvilineo nel quale vale la legge delle aree.

La stessa proprietà può venire dimostrata mediante il calcolo vettoriale.

E' noto che l'area di un triangolo può venire calcolata come la metà del modulo del prodotto vettoriale di due lati del triangolo ( infatti il modulo del prodotto vettoriale è il prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell'angolo compreso) . Pertanto la velocità areale viene definita come

va = |dA/dt| =1/2 |v ´ r| .

Per dimostrarne la costanza è sufficiente derivare rispetto al tempo :

d va / dt = 1/2 dv/dt ´ r + 1/2 v ´ dr/dt =1/2 a ´ r +1/2 v ´ v = 0.

Perché la forza è centrale l'accelerazione a è pure centrale per ipotesi , pertanto parallela ad r , e quindi a ´ r =0, analogamente v´ v =0.

Poiché la derivata è zero la funzione di partenza è costante e la chiamiamo velocità areale. La velocità areale è anche il semiprodotto del raggio per la componente perpendicolare ad esso della velocità tangenziale.

Dalla definizione di ellisse come luogo dei punti P del piano la cui somma delle distanze dai due fuochi S F è costante si può costruire l'equazione polare. Sia FP+SP=2a, posti SP = r , SF = 2c = 2ae dove e indica l'eccentricità e=c/a. Tracciamo la circonferenza di centro S e raggio 2a e prolunghiamo SP fino ad incontrare in A la cfr.

Per quanto detto e dimostrato al paragrafo precedente PA=PF=2a-r .

Applicando il teorema di Carnot al triangolo SPF si ha:

PF²=SP²+SF²-2 SP SF cos (FSP).

Posto q =SFP si ha (2a-r )²=r ²+(2ae)²-2r 2ae cosq , semplificando e risolvendo in r si ha l'equazione polare dell'ellisse, la stessa equazione rappresenta anche l'iperbole se e>1.

r = a( 1 - e² ) / ( 1 - e cosq )

il caso ellittico si ha quando e =1, in questo caso l'equazione polare si scrive

dove p rappresenta il doppio della distanza tra il fuoco e il vertice che spesso chiamerò perielio.

Vogliamo calcolare innanzi tutto il modulo della velocità a partire dall'equazione polare e dal principio di conservazione del momento angolare :

x = r cos q
y = r sen q

derivando rispetto al tempo si ha:

x' = dx/dt = r ' cosq - r sen q q '
y' = dy/dx =r ' senq + r cosq q '

quadrando e sommando e semplificando si ha:

|v|² = x'² +y'² = r '² + r ² q '²

dall'equazione polare della () si ricava derivando e quadrando :

r '² = a²(1-e²)² e² sen^2q q '² / (1-e cosq )⁴ = r ² e² sen^2q q '² / ( 1-e cosq )²

che sostituita nell'equazione della velocità si ha:

|v|² = r ^2q '² ( e² +1-2e cosq ) / ( 1-e cos q )² = ( r ^2q ' )² (e² +1-2 e cosq ) / (a² (1-e²)²)

essendo la velocità areale va = 1/2 (r ² q ' ) che è costante la espressione della velocità diventa:

|v|² = 4 va² (e² +1-2 e cosq ) / (a² (1-e²)²)

Nel nostro problema la velocità areale vale va= 1/2 Ö ( GM a (1-e²) ), come si dimostrerà in seguito.

Sostituendo ed estraendo la radice quadrata si ha:

Da x = r cosq , y = r senq si ha che

vy / vx = y' / x' = ( r ' sen q + r cosq q ' ) / ( r ' cos q - r senq ).

Sostituendo r ' = - r e senq /(1-e cosq ) e semplificando si ha:

y'/x' = ( e - cosq ) / sen q .

Pertanto il vettore velocità tangenziale è a meno del segno:

Siano v la velocità del pianeta in perielio, il punto più vicino al Sole e V la velocità in afelio, il punto più lontano dal Sole . l'energia potenziale gravitazionale di un sistema di due masse M ed m è data da -G M m / r dove r rappresenta la distanza tra le due masse. In perielio la distanza SP è data da a(1-e) mentre in afelio vale a(1+e). Dal principio di conservazione dell'energia tra il perielio e l'afelio si ha:

1/2 n v² - G M m/(a(1-e) = 1/2 n V² - G M m/(a(1+e)

Semplificando e risolvendo si ha

v²-V²= 4eGM/(a(1-e²)).

Dal principio di conservazione del momento angolare si deduce che le distanze dal Sole sono inversamente proporzionale alle rispettive velocità, la stessa cosa si può vedere anche dalla costruzione geometrica dalla quale risulta che, poiché la distanza del punto dal secondo fuoco F è proporzionale alla velocità, pertanto:

v/V = (1+e)/(1-e).

Che messa a sistema con la precedente permette di ottenere entrambi i valori di velocità:

Per il calcolo della velocità areale utilizziamo la formula va =1/2 v r

va = 1/2 Ö ( GM/a *(1+e)/(1-e) ) * a (1-e)

velocità areale

Calcoliamo il periodo T = Area / velocità areale

T= p a² Ö (1-e²) / (1/2 Ö (GMa(1-e²))) che semplificato dà

Questa formula per il periodo non contiene il valore dell'eccentricità e il che significa che orbite di diversa eccentricità ma di uguale semiasse maggiore vengono percorse nello stesso tempo.

Elevando al quadrato si deduce anche la terza legge di Keplero

L'orbita parabolica è il caso di separazione tra l'orbita ellittica e quella iperbolica, corrisponde ad una conica di eccentricità e=1.

Detta 2p il raggio in perielio, applichiamo il principio di conservazione dell'energia : l'energia cinetica e potenziale all'infinito sono entrambe zero, pertanto in ogni punto l'energia cinetica sarà uguale all'energia potenziale,

1/2 m v(r ) ² = GMm/ r

v(r ) = Ö (2 GM / r )

in particolare in perielio r =2 p :

la velocità in perielio che è poi la massima velocità sarà:

v_max = Ö (G M /p)

inoltre la velocità areale sarà data da

va=1/2 v r = 1/2Ö (GM/p ) p

semplificando si ha:

va = 1/2Ö (GMp) velocità areale per il moto parabolico

L'equazione parametrica della parabola con il vertice in q =p è

r = p / ( 1- cosq ) ,

sostituendo nella v si ha:

v = Ö (2GM(1-cosq )/p)

Il caso iperbolico si può studiare in modo analogo a quanto fatto per il cado ellittico: sia V la velocità asintotica cioè la velocità del corpo celeste, che continueremo a chiamare "pianeta", all'infinito e v la velocità del pianeta in perielio dal principio di conservazione del momento angolare o, dalla costruzione geometrica si deduce che il rapporto tra tali velocità è dato da

v / V = Ö ((e+1) / (e-1))

La costruzione geometrica si ottiene ponendo il fuoco F fuori dalla circonferenza di centro S e raggio 2a a distanza 2ae, da S, con e>1. La velocità asintotica si ha quando il punto A sulla circonferenza è al vertice dell'angolo retto di un triangolo rettangolo SFA, in modo che la velocità FA sia tangente alla cfr. La velocità v è proporzionale alla distanza tra F e il punto della circonferenza opposto, mentre V è proporzionale ad FA.

 Dal principio di conservazione dell'energia si ha che l'energia cinetica all'infinito sia uguale alla somma tra l'energia cinetica e l'energia potenziale in perielio:

1/2 m V² = 1/2 m v² - GM m / (a(e-1)) .

che messa a sistema con l'altra equazione della conservazione del momento angolare e risolto rispetto a v e V si ha:

Mentre la velocità areale in perielio è data da:

va=1/2 r v = 1/2 a(e-1) Ö (G M /a *(e+1)/(e-1))

che semplificata è:

Per dedurre la prima legge di Keplero a partire dalle legge di Newton consideriamo l'orbita del pianeta e una stessa rotazione del raggio vettore. I tempi che impiega il raggio vettore a percorrere gli archi considerati non son gli stessi. Il loro rapporto è proporzionale al rapporto delle aree che a loro volta sono proporzionali al quadrato del rapporto dei raggi che a loro volta sono inversamente proporzionali alle forze centripete e quindi alle accelerazioni :

t₁/t₂= Area₁/Area₂ = r₁²/r₂² = F₂/F₁ = a₂/a₁ 

Possiamo quindi scrivere, supponendo intervalli di tempo piccoli

dt₁ / dt₂ = a₂ / a₁= (dv₂ / dt₂) / ( dv₁ / dt₁) da cui si ricava che:

dv₂/dt₂ dt₁/dv₁= dt₁/dt₂ quindi

dv₂ = dv₁.

Questo significa che, a parità di angolo descritto dal raggio vettore la variazione di velocità è costante . Se immaginiamo di rappresentare i dv in modo che al termine del giro la velocità ritorni quella di partenza occorre che v non cresca o non diminuisca di intensità, perché deve avere un comportamento monotono in quanto dv è costante al variare dell'angolo , inoltre per la periodicità deve stare su una circonferenza e percorrerla in modo uniforme.

Se i dv stanno su una circonferenza la velocità sarà data da un vettore che congiunge un punto del piano con i punti della circonferenza dei dv. Per trovare tale punto riprendiamo in considerazione la costruzione dell'ellisse a partire dai due fuochi S ed F e dalla circonferenza di raggio 2a e centro S, in quella costruzione si era dimostrato che la tangente all'ellisse era sempre perpendicolare a AF , pertanto, fissati le posizioni dei fuochi si costruisce l'ellisse dell'orbita come visto precedentemente e per quanto riguarda la velocità si traccia una circonferenza delle velocità di centro S e raggio dato da

rv il cui valore lo calcoleremo in seguito all'interno della quale si posiziona F' in modo che l'angolo FSF' sia rettangolo ed F' in anticipo in modo tale che
F'S / FS = rv / a

Si traccia sulla circonferenza delle velocità un punto A' in anticipo di un angolo retto rispetto ad A

La velocità sarà data dal vettore S'A'.

Per calcolare rv cioè il raggio delle circonferenza delle velocità e che contiene al suo interno il punto F' dobbiamo fare in modo che la distanza minima e la distanza massima tra F' e i punti della circonferenza siano le velocità minima e massima del pianeta durante la sua orbita

rv(1-e) = Ö ( GM/a *(1-e)/(1+e) ) o analogamente

rv(1+e) = Ö ( GM/a *(1+e)/(1-e) )

e pertanto nel caso ellittico

 rv = Ö (GM/(a (1-e²))).

Nel caso iperbolico

rv (e +1) = Ö (G M /a *(e+1)/(e-1))

e pertanto il raggio della circonferenza delle velocità è dato da:

 Da quanto osservato precedentemente si ha che la velocità tangenziale è proporzionale alla lunghezza del segmento AF. Possiamo calcolare l'espressione della velocità tangenziale al variare dell'angolo q . Applichiamo il teorema di Carnot al triangolo SFA:

AF² = AS²+SF²- 2 AS SF cos q , da cui

V(q ) ² = (2a)² +(2ae)² -2 2a 2ae cosq , semplificando si ha

AF(q ) = 2a Ö ( 1+ e² - 2e cosq )

Caso ellittico

In particolare AF(0) = 2a(1-e) mentre AF(p ) = 2a(1+e) che sono proporzionali alla velocità minima e massima v e V, pertanto da quanto osservato precedentemente possiamo determinare anche la costante di proporzionalità in modo che tali velocità siano compatibili con i valori calcolati per via diretta con i principi di conservazione. A conti fatti il valore vero di velocità in funzione dell'angolo q è dato da:

v = Ö GM/a *(1+e² -2 e cosq )/(1-e²))

Per scomporre poi tale velocità nelle componenti (vx , vy) si ricorda che AF non solo ha lunghezza proporzionale alla velocità ma è anche perpendicolare a tale velocità pertanto occorre costruire il vettore ad esso perpendicolare. Pertanto

v (q ) = (-v sen q , v(cosq -e) )

La velocità angolare

w =2 va / r ² = Ö (GM a(1-e²)) / r ²

Nell'ottocento si pensava che la carica positiva fosse distribuita nell'atomo. Rutherford osservò che, inviando delle particella alfa contro una sottile lamina metallica, la maggior parte delle particelle venivano leggermente deviate mentre alcune di queste particelle subivano una eccessiva deflessione, cosa che non era spiegabile se la carica positiva fosse stata distribuita nell'intero volume dell'atomo. Capì così che la parte positiva doveva occupare una distribuzione spaziale molto piccola rispetto al volume dell'atomo, e le particelle che subivano una grande deflessione erano le particelle la cui traiettoria passava molto vicino alla parte positiva che noi chiamiamo nucleo.

Calcolo dell'angolo di deflessione

Per studiare il problema chiamiamo q la carica della particella e Q la carica di un nucleo e supponiamo sia b la distanza tra il nucleo e la direzione della particella che inizialmente si trova molto lontano dal nucleo, La traiettoria descritta sarà un iperbole e il nucleo occuperà il fuoco esterno mentre nel vertice dell'iperbole la particella raggiungerà la massima velocità v. Applichiamo le leggi di conservazione dell'energia e del momento angolare:

1) Vb = v(c-a)

2) 1/2 m V² = 1/2 m v² + k Q q/(c+a)

dove a b e c sono i coefficienti dell'iperbole di equazione x² b² + y² a² = a² b² mentre c² = a² + b²

Per risolvere rapidamente il problema di determinare tg q =b/a calcoliamo la distanza r alla quale arriverebbe la particella se fosse lanciata esattamente nella direzione del nucleo, in questo caso la traiettoria sarebbe rettilinea e la particella raggiunto il punto di minima distanza ritornerebbe indietro.

Dalla conservazione dell'energia si ha 1/2 m V² =kQq / r e quindi r = 2k Q q/(m V). Sostituendo kQq =rmv/2 nella equazione (2) della conservazione dell'energia nel nostro problema generale e semplificando , otteniamo:

 (2') v²/V² = (c+a-r)/(c+a),

mentre dalla (1) si ha

(2') v²/V² =b²/(c+a)² =(c²-a²)/(c+a)²= (c-a)/(c+a)

 uguagliando la (1') con la (2') e semplificando si ha r = 2a

e quindi tg q =b/a=2b/r = mV²b/(kQq)

 L'angolo di deflessione j però non è q ma il doppio del suo complementare pertanto:

dove  

m = massa della particella

V = velocità iniziale della particella

Q = carica del nucleo

q = carica della particella

k =1/(4p e ₀) 

b= distanza tra il nucleo e la retta della velocità

Dalla determinazione dell'angolo di deflessione si vede che se b è piccolo, l'argomento dell'arctg è grande e quindi j

Si avvicina a p o a -p pertanto non si ha una grande deflessione, mentre se b è grande la deflessione è praticamente nulla.

Per calcolare la distribuzione degli angoli di deflessione poniamo per comodità H = kQq/(mV²) che è costante e consideriamo soltanto la variabilità rispetto a b. Si ha tg (j /2)= H/b. differenziando si ha:

1/2 ( 1+ tg² (j /2)) dj = -H/b² db e anche dj / db = -1/H * 2 tg²(j /2) /( 1+tg²(j /2)) = cos j -1.

Pertanto ponendo costante -Hdb si ha

dj /(1-cosj ) = costante e la distribuzione è data da:

-p < j < p

 Naturalmente questa non è una vera distribuzione poiché l'integrale di F(j ) diverge intorno a j = 0, tuttavia per studiare tale distribuzione bisogna supporre che il parametro b che rappresenta la distanza della direzione della velocità dal nucleo non possa essere arbitrariamente grande, pertanto se -M<b<M si avrà una corrispondente limitazione di j che escluderà un intorno di zero. Limitando così il dominio la F può essere normalizzata e considerata come una distribuzione.