La curva di Ippia e il problema della trisezione dell'angolo

Massimo Fantin 2003

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La curva di Ippia

Ippia, vissuto nel V secolo a.C. per risolvere il problema della trisezione dell'angolo ideò la curva che porta il suo nome e che viene così costruita:

Nel quadrato ABCD si trasli uniformemente la retta AC verso la retta CD, contemporaneamente si faccia ruotare la retta AD intorno a D in modo che quando AD coincide con DC, pure AD coincida con DC. I punti della curva sono i punti di intersezione delle due rette citate.

 

Grafico dinamico : si può trascinare con il mouse la retta A'B'
In rosso la curva di Ippia
In verde la suddivisione dell'angolo ADA'' in tre parti uguali

 

Equazione cartesiana della curva di Ippia

Per trovare l'equazione cartesiana fissiamo un sistema di assi cartesiani di origine il punto D e assumendo come asse x la retta DC e come asse y la retta DA. Supponendo che la retta A'B' si sposti parallelamente da AB fino alla retta DC si può assumere come parametro t Î [0,1] dove t=0 quando A'B'º AB mentre t=1 quando A'B'º DC, pertanto la retta A'B' avrà equazione y = 1- t.

Per determinare l'equazione della retta DA'' consideriamo che essa ruota uniformemente al variare di t formando l'angolo ADA'' = t p /2 perché quando t=1 ADA'' è retto. Il punto (x,y) di intersezione tra DA'' e A'B' sarà tale che tang(t p /2) =x / y ,

Eliminando quindi il parametro t tra le due equazioni trovate si avrà l'equazione cartesiana della curva di Ippia e riducendo con le formule trigonometriche si ha:

x = y / tang(yp /2)

Intersezione con la retta DC

Per trovare l'ascissa del punto H di intersezione tra la curva di Ippia e l'asse x non possiamo semplicemente porre y=0 perché otterremmo una forma indeterminata 0/0, è necessario calcolare il limite di tale funzione:

lim x->0 y / tang(yp /2)= lim x->0 y/sin(yp /2) * cos (y p /2) = 2/p lim x->0 (p y/2) /sin(yp /2) * cos (y p /2)= 2/p

 

Il problema della trisezione dell'angolo

Il problema della trisezione dell'angolo, come è noto consiste, dato un angolo nel costruire un angolo che sia la terza parte dell'angolo stesso. Questo problema, non può essere risolto in modo classico cioè con riga e compasso , come facevano gli antichi, tuttavia è possibile risolverlo facendo uso di altre curve, come questa curva di Ippia, il metodo è molto semplice, è sufficiente dividere AA' in tre parti uguali ( facile esercizio di disegno per uno studente) tracciare le parallela ad AB da queste tre parti e congiungere i punti di intersezione con la curva di Ippia con l'origine D. ( rappresentazioni in verde nel grafico dinamico)
Per come è costruita la curva di Ippia le traslazioni lineari vengono a corrispondere a rotazioni, pertanto è possibile, non solo dividere l'angolo in tre parti ma in un numero qualsiasi di parti uguali

Per una trattazione del problema della trisezione dell'angolo consultare il libro di Courant Robbins Che cos'è la matematica?.