INTRODUZIONE TEORICA

Interpolazione per punti

Interpolazione fra punti

Interpolazione mista

ISTRUZIONI PER L'USO

SIMULAZIONE

LISTATO JAVA

Sono dati i punti (x_i,y_i) con i=0..n.

Cerchiamo i coefficienti a₀,a₁... a_n in modo che la funzione polinomiale f (x)= a₀ + a₁ x +.. a_n xⁿ di grado n sia tale che:

f (x_i) = y_i per i =0.. n.

Per risolvere il problema basta sostituire le coordinate dei punti e risolvere il sistema lineare ottenuto:

a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₁² +..... a_n x₁ ⁿ = y₁

a₀ + a₁ x₂ + a₂ x₂² +..... a_n x₂ ⁿ = y₂

.......

a₀ + a₁ x_n + a₂ x_n² +..... a_n x_n ⁿ = y_n

Nella interpolazione fra punti si cerca una funzione polinomiale di grado m con m £ n

f(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² +..... a_m x ^m

in modo che sia minima la media quadratica della differenze tra gli n+1 valori dati y_i e i valori assunti dalla funzione interpolante f(x_i).

Per risolvere il problema dobbiamo minimizzare la funzione:

F(a₀,a₁,a₂... a_m) = (a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₁² +..... a_m x₁ ^m - y₁)² +....+( a₀ + a₁ x_n + a₂ x_n² +..... a_m x_n ^m - y_n)²

Affinché tale funzione sia minima occorre che si annullino le m+1 derivate parziali ¶ F / ¶ a_i.

¶ F / ¶ a₀ = a₀ n + a_1S x_i + a_2S x_i² +.....+a_mS x_i^m- S y_i = 0

¶ F / ¶ a₁ = a_0' S x_i + a_1S x_i² +a_2S x_i³ +.....+a_mS x_i^m+1- S y_i x_i = 0

...............

¶ F / ¶ a_m = a_0S x_i^m + a_1S x_i^m+1 +a_2S x_i^m+2 +.....+a_mS x_i^m+m-S y_i x_i^m = 0

Anche in questo caso il problema si riduce alla risoluzione di un sistema lineare nelle incognite a_i coefficienti della funzione polinomiale interpolante.

In alcuni casi può essere necessario che la funzione interpolante passi per alcuni punti e ne approssimi altri col metodo dei minimi quadrati. In tal caso si tratta di interpolazione mista:

Per risolvere il problema di determinare la funzione interpolante f(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² +..... a_m x ^m

di grado m passante per p punti p<m+1 e interpolante n punti basta scrivere il sistema di m+1 equazioni formato da p-1 equazioni del primo tipo e dalle restanti m-p+1 equazioni del secondo tipo.

I tasti a sinistra Zoom consentono di modificare la finestra grafica.

I tasti blu PP+ PP- permettono di aggiungere o togliere punti per i quali passerà la curva interpolante.

 I tasti verdi FP+ FP- permettono di aggiungere o togliere punti fra i quali passerà la curva interpolante.

I tasti Gr+ Gr- permettono di modificare il grado del polinomio interpolante.

Tutti i punti blu e verdi possono essere trascinati con il mouse.

La finestra grafica può essere spostata trascinandola con il mouse in un punto lontano dai punti colorati.