Risoluzione delle equazioni di Hamilton 

di Massimo Fantin 2007

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di Massimo Fantin 2007

Cosa sono le equazioni di Hamilton? ( rispondo in due parole)

Supponiamo che un sistema dinamico  dipenda da due variabili ( naturalmente la stessa cosa si può fare con un qualsiasi numero finito di variabili indipendenti. Nei libri di meccanica razionale le variabili vengono indicate con q1,q2.... ) che indichiamo con x, y, ad esse associamo i momenti coniugati al posto delle velocità ( che in genere si indicano con p1,p2...) che indichiamo con u,v, I momenti coniugati, per i moti traslazionali sono le quantità di moto, per i moti rotazionale sono i momenti angolari.( tralasciamo il caso generarale). 

Mediante le variabili x,y,u,v possiamo scrivere l'espressione dell'energia totale che sarà la Hamiltoniana H(x,y,u,v). 

Le equazioni del moto sono la soluzione delle equazioni di  Hamilton 

u'= -dH/dx ,   v'= -dH/dy ,     x' =dH/du ,     y' =dH/dv

Piccole oscillazioni

Il più semplice esempio di piccole oscillazioni è quello del pendolo,  qui  studiamo il moto del pendolo in due variabili. Otterremo, nel caso che si tratti di oscillazioni stabili, oscillazioni che dipendono da due periodi. Per studiarlo consideriamo unicamente la dipendenza di H dai termini di secondo grado nelle variabili x,y,u,v e precisamente avremo che H = Q_xx x² + Q_xy  xy + Q_yy y² + P_uu u² + P_uv uv + P_vv v² . dove naturalmente i termini di P e Q sono gli elementi di due matrici simmetriche  Q e P.

indicato con q il vettore (x,y) e con p (u,v), e con W il prodotto matriciale PQ si ha che la derivata seconda rispetto al tempo di q è  d²q/dt² = -Wq.
Equazione analoga a quella del moto armonico d²x/dt² = -w²x.

Nel caso bidimensionale i quadrati delle pulsazioni w sono date dagli autovalori  di  W che chiamiamo  w₁²  w₂²

I periodi di oscillazione sono T₁=2/pw_{1 ,} T₂=2/pw_{2 .}

Gli autospazi indicano le direzioni rispetto alle quali il moto oscillatorio ha per periodo  i valori di T calcolati .

Per usare il programma di simulazione bisogna scrivere nella finestra in alto la Hamiltoniana  H(x,y,u,v) ( non lasciare mai degli spazi vuoti e usare le notazioni del programma funzioni)) e fornire le condizioni iniziali posizionando il pallino orientato blu nella posizione iniziale q= (x0,y0) con il vettore  q(u,v)  iniziale indicato dalla freccetta senza punta.

Nel caso si indichi una Hamiltoniana formata da soli termini di secondo grado è possibile leggere anche  le derivate prime e seconde di H, i coefficienti della matrice W, i due periodi di oscillazione e anche la stabilità o meno : è stabile il sistema se entrambi gli autovalori sono positivi. Attenzione che la stabilità si riferisce a piccole oscillazioni.

Nei seguenti esempi indico la Hamiltoniana da indicare nella finestra in alto:

1)  u*u  L'energia è unicamente la cinetica del moto in direzione x, il moto è uniforme nella direzione x.

2)  u*u+v*v  L'energia è  ancora unicamente cinetica nella direzione iniziale, si tratta di un moto rettilineo uniforme nella direzione della velocità iniziale; come se lanciassimo un oggetto senza attrito in direzione orizzontale.

3)  y+u*u+v*v  E' il moto parabolico di un corpo lanciato con una data velocità  iniziale in un campo di forze costante ,infatti all'energia cinetica si aggiunge una potenziale proporzionale all'altezza.

4)  x*x+u*u  E' il moto oscillatorio di una molla, moto solo orizzontale infatti l'energia potenziale  è proporzionale al quadrato dello spostamento e la solita energia cinetica.

5)  x*x+y*y+u*u+v*v  Moto oscillatorio piano, le due  direzione sono equivalenti

6)  u*u+v*v-1/r(x*x+y*y)  Moto dei pianeti, oltre alla solita energia cinetica la energia potenziale è inversamente proporzionale alla distanza dal centro.

8)   x*v-y*u   Moto circolare uniforme di una particella carica in un campo magnetico perpendicolare.

9) u*u+v*v+x*x+(y-x)*(y-x)   Moto di un pendolo doppio con due periodi e due autovalori distinti non perpendicolari.

 10) l(x*x+y*y)+u*u+v*v   Moto di una particella carica intorno ad un filo uniformemente carico  

 11) u*u-cx   Moto oscillatorio di un pendolo  semplice non approssimato

12) u*u+v*v-cx-cy Moto oscillatorio di un pendolo simmetrico bidimensionale.

13) (u*u+v*v+x*x+y*y)/2+x*x*y-y*y*y/3    Moto oscillatorio secondo il modello di   Henon Heiles