Di Massimo Fantin 2008
Una superficie nello spazio è localmente rappresentabile da una funzione continua del tipo:
che rappresenta una mappa della superficie, cioè una funzione che da un dominio di R2 va in R3.
Se la mappa è sufficientemente regolare esiste la matrice delle derivate:
mediante le quali possiamo definire le componenti locali della metrica, che secondo la convenzione di Einstein di non scrivere la sommatoria per gli indici interni si scrive
che scritte per esteso diventano
Queste componenti locali permettono di definire localmente la metrica ds che secondo le convenzioni di E si scrive
mentre per esteso:
che permette di calcolare sulla mappa la lunghezza di un percorso sulla superficie.
I coefficienti g permettono altresì di determinare la geodetica uscente da un punto e di data direzione. Prima di arrivare a questo si introduce il simbolo di Cristoffel
che permettono di fare lo spostamento parallelo di un vettore A lungo l’intervallo dx
La geodetica si ottiene spostando parallelamente a sé stesso un vettore in modo il trasportato sia ancora nella stessa direzione.
L’equazione della geodetica è
La geodetica è la curva per la quale è minima la distanza calcolata mediante le componenti locali da un punto e l’altro.