a modello del lavoro Fermi Pasta Ulam
di Massimo Fantin 2009
Ho studiato il sistema dinamico non lineare che Fermi Pasta e Ulam analizzarono negli anni cinquanta, studio, che diede inizio a quella che viene chiamate " matematica sperimentale" . Il sistema consiste in un insieme di n+1 molle, (dove n è una potenza di 2) , costrette ad oscillare lungo la sola direzione lineare. Ancorate agli estremi, tra una molla e l'altra, sono posizionate delle masse uguali, le molle hanno un comportamento non lineare cioè non vale una esatta proporzionalità tra forza e spostamento rispetto alla posizione di equilibrio.
Un sistema dinamico di questo tipo può essere considerato formato da un certo numero di oscillatori ( gli oscillatori non sono le singole
molle ma le diverse frequenze di oscillazione cioè le armoniche dell' analisi
di Fourier ) . A causa della non linearità del sistema, l'energia di un oscillatore
non rimane sempre nello stesso oscillatore, come succederebbe se il sistema
fosse lineare, ma è in grado di passare agli altri oscillatori.
FPU ( Fermi, Pasta, Ulam) volevano verificare
sperimentalmente il principio di equipartizione dell'energia secondo il quale l'energia
del sistema si distribuisce in modo uniforme nei diversi oscillatori.
Analizzando il problema mediante l'utilizzo dei primi elaboratori elettronici
sufficientemente potenti, si osservò, che l'energia non si distribuiva
uniformemente nei vari oscillatori ma tendeva a rimanere in prevalenza in
pochi oscillatori che mutavano nel tempo e che raccoglievano in loro tutta
l'energia. Si nota una certa danza dell'energia che inizialmente è posseduta da un
solo oscillatore, la frequenza fondamentale, passa a frequenze superiori per poi
ritornare, dopo un certo numero di oscillazione allo stato iniziale, non avviene
il mescolamento caotico che ci si aspetta. Permane un certo ordine anche nel caos. Osservando il fenomeno per un certo tempo si osserva che la distribuzione
delle energie nei vari oscillatori nel corso di un ciclo è mediamente
uniforme.
Per una migliore visualizzazione del fenomeno ho voluto rappresentare le oscillazione sull'asse delle ordinate e non nella posizione dove effettivamente si trovano, e inoltre ad ogni massa è consentito oscillare con qualsiasi ampiezza, mentre nel problema reale ogni massa ha il vincolo spaziale delle masse vicine al di là delle quali non può andare. Ho studiato due tipi di non linearità : quadratica e cubica. All'aumentare dell'oscillazione la forza cresce maggiormente rispetto alla crescita lineare a seconda del tipo di perturbazione scelta, il parametro k indica il coefficiente di non linearità, se k=0 il comportamento è lineare, maggiore è k e più si discosta dalla linearità.
Per studiare il fenomeno dal punto di vista matematica ho utilizzato il metodo delle differenze, metodo che si usa per la risoluzione di equazioni nelle quali siano note le condizioni al contorno.
Se chiamiamo con xi la perturbazione rispetto alla posizione di equilibrio della massa i-esima con i variabile da 1 a n.
Le equazioni che regolano il fenomeno sono per la perturbazione quadratica:
xi'' = xi+1+ x i-1 -2 x i + k ( ( x i+1 - x i )2 - ( xi - x i-1 )2 )
mentre per la perturbazione cubica:
xi'' = xi+1+ x i-1 -2 x i + k ( ( x i+1 - x i )3 - ( xi - x i-1 )3 )
dove x'' indica la derivata seconda rispetto al tempo e k rappresenta il coefficiente di non linearità;
Per risolvere queste equazioni in modo numerico ho sostituito la derivata seconda rispetto al tempo con (x(t+dt)-2 x(t)+x(t-dt))/dt2
risolvendo e semplificando ho ottenuto le equazioni si hanno le posizioni della massa x i con i tra 1 e n.
x i ( t )= dt2 [-2 xi ( t - dt ) + x i-1( t-dt ) + x i+1 (t-dt)] ( 1+ k ( x i+1 (t-dt) - x i-1 (t-dt) ) +2 x i-1 ( t-dt ) -x i (t-2 dt)
x i ( t )= dt2 [-2 xi ( t - dt ) + x i-1( t-dt ) + x i+1 (t-dt)] ( 1+ k ( x i+1 (t-dt) - x i-1 (t-dt) )2 +2 x i-1 ( t-dt ) -x i (t-2 dt)
equazioni alle differenze che sono state utilizzate per la simulazione.
Nella prima colonna sono indicati i coefficienti degli sviluppi di Fourier a[i], mentre nella seconda le energie dei singoli oscillatori cioè delle singole armoniche, che sono rappresentate nell'istogramma a fianco. Per calcolare le energie dei singoli oscillatori ho calcolato l'energia potenziale elastica di tutte le molle per ogni singolo oscillatore quando esso si trovava nella posizione di maggiore ampiezza per quel dato oscillatore.
Il grafico blu visualizza le oscillazioni rispetto alle posizioni di equilibrio delle n masse,( La rappresentazioni è bidimensionale per renderla più evidente ma, come si è detto, si tratta di oscillazioni unidimensionali.