Equazioni Differenziali
di Massimo Fantin
Sommario
Equazioni differenziali di primo ordine del tipo: y'=F(x,y(x))
Sistemi di equazioni differenziali del tipo: y'=F(x(t), y(t), t) x'=G(x(t), y(t), t)
Equazioni differenziali di primo ordine del tipo y'=F(x,y(x))
E' possibile la risoluzioni di equazioni differenziali del primo ordine scrivendo la funzione F(x,y) e cliccando si disegna.
Per spostare la finestra grafica si trascina con il mouse
Per ingrandire o rimpicciolire il grafico si agisce sui pulsanti inferiori
Per rappresentare una particolare soluzione fare clic nel punto nel quale si vuole che passi la soluzione facendo attenzione di non spostare il mouse.
ESEMPI
Se si scrive nella casella x si vedono rappresnetate le funzioni del tipo y = x^2/2+c che sono le soluzioni dell'equazione y'=x
Se si scrive y verranno rappresentate le funzioni del tipo y=e^x+c che sono soluzioni dell'equazione y'=y
In modo analogo si possono rappresentare le primitive e le equazioni differenziali, occorre naturalmente fare attenzione che la funzione che viene scritta non sia singolare altrimenti le soluzioni non sempre vengono rappresentate bene per esempio se si scrive nella casella x/y, la rappresentazione viene bene se il punto di partenza è al di sopra o al di sotto di entranbe le bisettrici dei quadranti mentre ci sono dei problemi altrimenti quando la soluzione passa per l'asse x. Per ovviare a questi problemi è meglio scrivere l'equazione in forma parametrica e utilizzare il secondo programma.
Precedenze
funzioni
potenza
moltiplicazione e divisione
addizione e sottrazione
Funzioni
a corrisponde al valor assoluto es. a5 =5 a(-46)=46
s corrisponde a seno in radianti
c corrisponde a coseno in radianti
t corrisponde a tangente in radianti
r corrisponde a radice quadrata
i corrisponde a parte intera es. i5.6=5
f corrisponde a parte decimale
e corrisponde a esponenziale
l corrisponde a logaritmo naturale
b corrisponde all'arcotangente
p è la costante pigreco
Sintassi
( la barra verticale significa "oppure", gli oggetti in parentesi graffa possono essere ripetuti da 0 a n volte.)cifra :: = 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
identificatore di funzione :: = s | c | t | a | l | r | e | b | i | f
segno moltiplicativo :: = * | /
segno additivo :: = + | -
intero :: = <cifra> { <cifra> }
numero :: = <intero> | <intero> . <intero>
fattore :: = <numero> | ( <espressione> ) | <identificatore di funzione> <fattore>| x | y| p |
potenza :: = <fattore> { ^ <fattore> }
termine :: = <potenza> { <segno moltiplicativo> <potenza>}
espressione :: = <termine> {<segno additivo> <termine>}
Sistemi differenziali di primo ordine del tipo x'=F(x(t),y(t),t) y'=G(x(t), y(t),t)
Si procede in maniera analoga al precedente. Sono presenti nella arte inferiore altri quattro pulsanti lento veloce che permettono di ridurre o aumentare l'intervallo temporale dz e quindi di aumentare o diminuire la precisione a scapito naturalmente della velocità. Gli altri pulsanti lungo corto allungano o accorciano il percorso della soluzione.
E' possibile utilizzare questo applet per la risoluzione di di equazioni di secondo ordine che vengono rappresentate nello spazio delle fasi :per esempio in ascissa la velocità e in ordinata lo spazio: l'equazione ay''+by'+cy = 0 può essere risolta ponendo y'=x si trasforma nel sistema: x'=(-bx-cy)/a ; y'=x : variando i valori di a,b,c si possono ottenere tutti i casi noti e studiare la stabilità
Si possono studiare equazioni non risolvibili analiticamente come l'equazione di van der Pol y''+a(y^2-1)y'+y=0 che può essere risolta per a=1 scrivendo nelle due caselle -(y*y-1)*x-y e nell'altra x, come si può osservare la soluzione si stabilizza su una cuva tipica.
L'equazione di Bessel y''= - y'/t + (1-n^2/t^2)y con n=1 si studia ponendo x'= -x/(t+1)+(1-1/(t+1)^2)*y y'=x