Tutti i problemi risolvibili con riga e compasso corrispondono da un punto di vista analitico a risolvere equazioni di primo e di secondo grado, e viceversa, ogni problema di secondo grado può essere risolto geometricamente con riga e compasso. In particolare è possibile, mediante costruzioni grafiche con riga e compasso eseguire le quattro operazioni e la radice quadrata: è evidente la costruzione dell'addizione e della sottrazione, per quanto riguarda la moltiplicazione si procede in questo modo: se dobbiamo moltiplicare due numeri a e b positivi si traccia un triangolo rettangolo di cateti a e l'unità u , si traccia l'ipotenusa e la si prolunga fino a costruire con il prolungamento dell'unità un triangolo simile a quello di partenza ma con il cateto corrispondente all'unita di lunghezza b .Per la costruzione fatta quest'ultimo triangolo ha il cateto corrispondente al lato a di lunghezza ab come risulta facilmente dalla similitudine tra i due triangoli. Per costruire il quoziente si procede in modo analogo partendo dalla fine.

Per calcolare graficamente la radice quadrata si tracciano consecutivamente un segmento unitario e uno di lunghezza a del quale si vuole calcolare la radice quadrata , si traccia una semicirconferenza di diametro la somma dei due segmenti e si conduce la perpendicolare al diametro nel punto comune ai due segmenti fino ad incontrare la semicirconferenza. La lunghezza della semicorda perpendicolare ha lunghezza pari alla radice quadrata di a. per dimostrarlo basta applicare il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo inscritto nella semicirconferenza.

Ho voluto inoltre trovare un metodo grafico per la risoluzioni di equazioni di secondo grado del tipo x²+2ax =b.

La costruzione grafica è rappresentata nel diagramma dinamico sottostante nel quale l'unità di misura è rappresentata dal segmento orizzontale u =UO sulla sinistra, il coefficiente a dalla semicorda OA e il coefficiente b è dato dal segmento BC. Per modificare questi parametri è sufficiente trascinarli con il mouse, automaticamente viene modificata l'equazione che si vuol risolvere, le soluzioni dell'equazione sono dati dalle lunghezza dei segmenti colorati che vanno dal punto A agli estremi della circonferenza UB, il segno delle soluzioni è positivo de il punto A è l'estremo inferiore e negativo se è l'estremo superiore.

La costruzione delle soluzioni è la seguente: Tracciate l'unità di misura u = OU e il coefficiente a = OA perpendicolari fra loro si traccia l'asse di UA fino ad incontrare il prolungamento di u , da tale punto si traccia la semicirconferenza per U e A di diametro UC. Per il 2° teorema di Euclide il segmento OC =a² , ad esso viene aggiunto b e, Si costruisce la circonferenza di diametro BU, la cui corda per O ha lunghezza par a 2Ö (a²+b), pertanto i due segmenti colorati con estremo in A avranno lunghezza pari a : ± Ö (a²+b)-a