Discussione grafica del sistema misto parametrico

di Massimo Fantin 2006

Scopo: La discussione del sistema misto parametrico come si insegna nel liceo conduce a elencare, al variare del parametro il numero delle soluzioni del sistema, in realtà, il procedimento grafico utilizzato permette, di costruire un metodo analogico di risoluzione di tutti i sistemi che si ottengono al variare del parametro, il limite di tale metodo risiede nell'imprecisione della rappresentazione grafica. Da questa osservazione ho voluto realizzare questo applet che realizza in modo dinamico lo stesso schema che viene richiesto agli studenti, e in più permette, di risolvere il sistema al variare del parametro (con il metodo di Newton) e di determinare anche i valori del parametro corrispondenti alle soluzioni limite e inoltre anche le soluzioni tangenti.

Che tipi di sistemi misti parametrici possono essere discussi con questo applet?
Sistemi formati da una equazione in due incognite y = f1(x), un'equazione nelle stesse incognite con un parametro y = f2(x,k) e due disequazioni del tipo x ³ xi & x £ xf
Sistemi formati da una equazione contenente un'unica incognita x e un parametro k F(x,k)=0 e da due disequazioni del tipo x ³ xi & x £ xf . Questo secondo tipo è il più comune negli esercizi scolastici e si riconduce al primo spezzando l'equazione in due membri, il primo non contenente il parametro e ponendo come y entrambi i membri.

primo esempio

Il sistema che si presenta quando si accede permette di risolvere il sistema misto

x²+ y²= 1 & x + y = k & -0.5 £ x £ 1 & y ³0

La semicirconferenza grigia rappresenta l'equazione fissa mentre la retta blu rappresenta l'equazione variabile che può venir spostata mediante il cursore di destra.. Le rette verdi rappresentano le soluzioni limite, mentre la retta azzurra la soluzione tangente.

secondo esempio

Per esempio supponiamo di voler discutere il sistema: x^2 + kx +k -1=0 & -2 £ x £ 1 . Aggiungendo l'incognita y= kx+k si ottiene il sistema

y=1-x^2 & y=k(x+1) & x ³ -2 & x £ 1

che dal punto di vista della geometria analitica è costituito da una parabola, un fascio di rette proprio con centro in (-1,0) e una striscia verticale.

Per discutere tale sistema utilizzando l'applet si scrivono nelle celle in alto le due funzioni seguendo la sintassi del programma funzioni: 1-x*x nella prima cella e k*(x+1) nella seconda. Cliccare su disegna. Trasciniamo poi i limiti grigi a sinistra e a destra con il mouse: il sinistro su -2 e il destro su 1. appaiono due rette verdi che rappresentano le soluzioni limite e una azzurra che indica la soluzione tangente. Trascinando poi in alto o in basso il cursore nero a destra dello schermo si varia il valore del parametro k e si rappresenta la retta corrispondente. ( i due cursori più piccoli a destra servono per limitare la variabilità del parametro in modo da poter fare uno spostamento più fine).

La soluzione x=-1 è comune a tutti i valori di k.

per k<0 solo la soluzione x=-1

per k=0 x=-1 e x=1 (soluzione limite)

per 0<k<2 oltre alla soluzione x=-1 una soluzione compresa tra -1 e 1

per k=2 la soluzione x=-1 doppia infatti la retta del fascio è tangente alla parabola

per 2<k<3 x=-1 e una soluzione compresa tra -2 e -1

per k=3 x=-1 x=-3 soluzione limite

per k>3 solo la soluzione x=-1

terzo esempio

E' possibile utilizzare l'applet anche per discussioni nelle quali la famiglia di curve non è necessariamente un fascio di rette

supponiamo di voler risolvere il sistema misto parametrico:

k(x³+1)-1+x²=0 & -1< x £ 2

aggiungendo l'incognita y si può scrivere:

y = 1-x² & y = k(x³+1) & x > -1 & x £ 2

per risolverlo scriviamo nella prima cella in alto 1-x*x e nella seconda k*x*x*x+1, spostiamo, trascinandoli con il mouse il margine sinistro su -1 e quello destro su 2. compaiono, oltre alla curva grigia due verdi corrispondenti ai casi limite e una azzurra per la soluzione tangente. a questo punto spostando il cursore si possono studiare le soluzioni che sono:

per k<1/3 nessuna soluzione

k=1/3 soluzione limite x=2.

1/3 <k < 2/3 una soluzione positiva

2/3 <k< 1 due soluzioni : una positiva e l'altra negativa

k=1 due soluzioni coincidenti x=0

k>1 nessuna soluzione.

Osserviamo che l'equazione considerata ha sempre la soluzione x=-1 pertanto è possibile abbassarne il grado ottenendo un sistema misto di secondo grado che può essere studiato con i metodi analitici soliti.

di Massimo Fantin