Teorema di Desargue e piano non desarguesiano

Massimo Fantin 2004

Uso del grafico dinamico: Si possono trascinare con il mouse i sei punti dei due triangoli e l'origine O.
Il rettangolo in alto a sinistra permette di passare del piano desarguesiano a quello non desarguesano

Teorema di Desargues :

Siano OA, OB, OC tre rette incidenti si prendano i tre punti A' su OA , B' su OB, C' su OC , si costruiscano i triangoli ABC e A' B' C' e i sei prolungamenti dei loro lati. Petti P Q R i punti di intersezione dei prolungamenti dei lati omologhi P= AB Ç A'B',Q= BC Ç B'C' e R= CA Ç C'A'.

Allora I punti PQR sono allineati.

La dimostrazione di questo teorema si può fare nello spazio tridimensionale in maniera molto semplice: Immaginiamo tre rette nello spazio OA, OB, OC che individuano una piramide non regolare di vertice O e base il triangolo ABC, i punti A', B', C' sugli spigoli di questa piramide sono i tre vertici di un triangolo che costituisce una sezione della piramide. I piani di questi due triangoli si incontrano in una retta che indichiamo con r, (se sono paralleli si incontrano nella retta all'infinito comune ad entrambi i piani). La retta r è proprio la retta alla quale appartengono i punti PQR di intersezione dei prolungamenti dei lati omologhi. Dimostriamolo per una coppia di tali rette,( dove indichiamo le rette con la coppia dei punti e il piano con la terna di punti). Siano AB e A'B' due rette ,vogliamo dimostrare che il loro punto di intersezione è sulla retta r infatti AB = ABC Ç OAB mentre A'B' = A'B'C' Ç OA'B' ma OBC = OB'C' pertanto
AB Ç A'B' = (ABC Ç OBC) Ç (A'B'C 'Ç OB'C') =ABCÇ A'B'C'Ç OBC Í ABCÇ A'B'C' = r

Analogamente per le altre coppie di rette. Se le tre coppie di rette appartengono ad una stessa retta sono evidentemente allineate.

osservazione

Osserviamo che mentre la dimostrazione nello spazio tridimensionale viene fatta in modo semplice e facendo uso delle sole proprietà di incidenza, (non si usano proprietà metriche, perpendicolarità). Nel piano questo non può avvenire. Per dimostrare il teorema di Desargues nel piano dobbiamo utilizzare proprietà metriche oppure immaginare che il piano sia immerso in uno spazio tridimensionale e proiettare la figura solida sul piano in ogni caso, aggiungere al piano altre proprietà.

IL grande matematico Hilbert dimostrò che il teorema di Desargues non può essere dimostrato nel piano solo con le proprietà di incidenza. Dimostrare che una cosa non si può dimostrare sembra piuttosto difficile. E' difficile dal punto di vista logico ma concretamente è sufficiente costruire un piano nel quale valgono le proprietà di incidenza ma non vale il teorema di Daesargues, un piano siffatto viene detto "piano non desarguesiano" , un esempio è il seguente

Piano non desarguesiano

Nel normale piano analitico euclideo chiamiamo "rette non desarguesiane" le spezzate del tipo

Y = mx + b quando m ³ 0

………mx + b per x<0
Y= Ð 2mx +b per x³ 0 quando m<0

Valgono le proprietà di incidenza infatti :

Per due punti passa una e una sola retta
Ogni coppia di rette o è formata da rette parallele o sono incidenti in un unico punto.
Inoltre vale anche il quinto postulato di Euclide: Data una retta e un punto esterno esiste una unica parallela alla retta data passante per quel punto.

[La dimostrazione di queste tre proprietà si può fare abbastanza facilmente studiando pazientemente i vari casi.

Per due punti passa una sola retta.

Esempio: per costruire la retta per due punti dati

Siano A(Ax,Ay), B(Bx,By), supponiamo Ax ¹ Bx , distunguiamo tre casi:

se Ax<Bx<0 y = Ay + (x-Ax)*( By-Ay)/(Bx-Ax) per x<0
………….y = 2*x*( By-Ay)/(Bx-Ax)+ Ay -Ax*( By-Ay)/(Bx-Ax) per x³ 0
se 0<Ax<Bx y = 1/2* x*(By-Ay)/(Bx-Ax) + Ay -Ax*( By-Ay)/(Bx-Ax) per x ³ 0
…………. y= Ay + (x-Ax)*( By-Ay)/(Bx-Ax) per x>0
se Ax<0<Bx si prende il punto di intersezione della retta con l'asse y
C(Cx,Cy)=( 0, (2 Bx Ay - Ax By) /(2Bx-Ax) )
la retta avrà equazioni
y = Cy - x*(Cy-Ay)/Ax per x<0
y = Cy - x*(Cy-By)/Bx per x³ 0
Per quanto riguarda l'unicità , nei primi due casi discende dall'unicità delle rette ordinarie, nel terzo caso basta vedere che se un'eventuale altra retta per A passasse per un altro punto C diverso da quello indicato non passerebbe per B.

]

E' interessante però notare che un piano siffatto non ammette una metrica (distanza) che sia compatibile con la struttura lineare infatti se potessimo definire una distanza tra due punti in modo che tale distanza fosse individuata dalla lunghezza del segmento lineare congiungente i due punti, tale metrica non ammetterebbe la disuguaglianza triangolare, cioè in pratica in questo piano è possibile costruire dei triangoli nei quali un lato sia maggiore della somma degli altri due. Esempio il triangolo di vertici A( -1,-1), B(0, 1/2), C( 1,2) è tale che AB=BC=1/2Ö 13 mentre il lato AC =Ö 2 +Ö 5 mentre Ö 2+Ö 5>Ö 13 ovvero AC>AB+AB
[ apparentemente i tre punti sono allineati ma in realtà no, perché dobbiamo sempre ricordarci che le rette nel piano non desarguesano sono spezzate come definite sopra, pertanto la retta AC non passa per il punto B]