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Definizione di parabola

La Parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Per costruire per punti una parabola si fissi il Fuoco e la retta direttrice. Si conduca dal Fuoco una retta generica non parallela alla direttrice, e sia B il punto di intersezione di tale retta con la direttrice. Da B si conduca la perpendicolare alla direttrice e inoltre si tracci l'asse del segmento FB . il punto di intersezione tra le due rette  è un punto della parabola infatti è stato costruito  equidistante dal fuoco e dalla direttrice.

Costruzione della retta tangente ad un punto.

L'asse del segmento FB è anche la tangente alla parabola in A, infatti se così non fosse ( dimostrazione per assurdo) tale retta incontrerebbe la parabola in un altro punto A', e avremmo che FA' = A'd perché A' appartiene alla parabola e inoltre FA'=BA' perché appartiene all'asse del segmento FB pertanto avremmo che A'd = BA', ma questo non è possibile se A' è diverso da A perché avremmo un triangolo rettangolo con l'ipotenusa A'B uguale ad un cateto AB..

La stessa costruzione può anche essere usata per costruire la retta tangente ad una parabola da un suo punto: Supponiamo dato il punto A appartenente alla parabola e il fuoco e la direttrice. si conduca la perpendicolare alla direttrice condotta dal punto A, detto B il piede di tale perpendicolare, l'asse di FB è la tangente alla parabola per A.  

Come condurre le tangenti ad una parabola da un punto esterno.

Se il punto P dal quale vogliamo condurre le tangenti è esterno alla parabola si procede tracciando la circonferenza di centro P e passante per il fuoco F, essa intersecherà la direttrice in due punti B1 e B2 distinti, dai punti B tracciamo le perpendicolare alla direttrice e le intersechiamo rispettivamente con gli assi dei segmenti PA1 e FA2. I punti A1 e A2 di intersezione sono sulla parabola perché sono equidistanti dal Fuoco e dalla direttrice   e inoltre gli assi così costruiti sono le rette tangenti, si può dimostrare facilmente in modo analogo al caso già visto precedentemente.

Grafico dinamico ( si possono spostare con il mouse il punto P e il fuoco F  )

Definizione di ellisse 

L'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi

Definizione di Iperbole 

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza tra le distanze da due punti detti fuochi.

 Costruzione geometrica dei punti di un ellisse o di un iperbole.

Per costruire un ellisse  fissiamo i due fuochi e la somma delle distanze 2a. Sia 2c la distanza tra i fuochi evidentemente c<a e sia  b>0 con b²=a²-c²  .

Siano F1,F2 i fuochi. Con centro  F1 si tracci la circonferenza di raggio 2a (asse maggiore), il fuoco F2 sarà interno alla circonferenza perché la somma delle distanze 2a è maggiore della distanza tra i due fuochi 2c,   sia B il punto generico di tale circonferenza . Si traccia l'asse del segmento BF2, allora il punto di intersezione tra il raggio BF1 e l'asse di BF2 appartiene all'ellisse  perché la somma delle distanza dal punto generico ai fuochi è costante AF1+AF2=AF1+AB=F1B=2a. 
Dimostriamo inoltre che l'asse di BF2 è la tangente infatti ( dimostrazione per assurdo) infatti se così non fosse incontrerebbe l'ellisse in un altro punto A1 e avremmo che A1F1+A1F2=2a perché per ipotesi di assurdo A1 è sull'ellisse e inoltre A1B=A1F2 perché appartiene all'asse di BF2.  Da ciò si deduce che BA1+A1F1=A1F2+A1F1=2a mentre deve necessariamente essere maggiore di 2a essendo la somma delle lunghezze di due lati di un triangolo il cui terzo lato è proprio 2a.

Per la costruzione dell'iperbole si procede in modo analogo, sono dati i due fuochi F1 e F2 e la differenza delle distanze 2a. Sia 2c la distanza tra i fuochi e b>0 tale che b² = a² + c²

 Evidentemente 2a<F1 F2. Si traccia il raggio F1 B e l'asse di B F2 che incontra F1 B nel punto A. Il punto A appartiene all'iperbole in quanto AF2-AF1= AB-AF1=BF1=2a costante inoltre l'asse di BF2 è la tangente all'iperbole infatti si procede per assurdo se cosi non fosse esisterebbe un altro punto A1 che appartiene all'asse e quindi   A2 F2 = A2 B     e sta sull'iperbole A2 F2 -A2 F1= 2a  pertanto A2 F1=2a-A2 F2=F1 B - B A2 e quinti nel triangolo F1 A2 B un lato F1B  è uguale alla somma degli altri , contraddizione dovuta all'aver supposto la non tangenza dell'asse di F2 A.

Come costruire la tangente all'ellisse o all'iperbole da un suo punto

Se vogliamo condurre la tangente da un punto A  tacciamo la circonferenza di centro il fuoco F1 e raggio 2a. Tracciamo la retta F1A, detto B il punto di intersezione tra la circonferenza e la retta AF1 tracciamo l'asse di B F2 che incontrerà la retta A F2 in un punto. Quest'asse è la tangente per A, per quanto dimostrato precedentemente.  

Come tracciare le tangenti all'ellisse o all'iperbole  da un punto esterno all'ellisse.

Sia P il punto esterno all'ellisse di fuochi F1 F2 e semiasse maggiore a. per condurre le rette tangenti all'ellisse dal punto P si traccia una circonferenza di centro il punto P e passante per il secondo fuoco F2. si interseca con la circonferenza di centro F1 e raggio pari all'asse maggiore 2a, Siano B1 e B2 i due punti di intersezione tra le due circonferenze. Costruiamo gli assi dei segmenti F2 B1 e F2 B2 e congiungiamo i punti B1 e B2 con il fuoco F1. L'intersezione di questi ultimi raggi con i rispettivi assi sono punti dell'ellisse e gli assi sono le rette tangenti all'ellisse passanti per il punto dato P. La dimostrazione si fa semplicemente ed è simile a quanto visto nei casi precedenti.

Una costruzione analoga  per tracciare le tangenti da un punto esterno ad un iperbole. 

Grafico dinamico ( si può spostare con il mouse  il punto P e il fuoco F2  ) Se F2 è interno alla circonferenza si ha l'ellisse , se è esterno l'iperbole.