Distribuzioni di Boltzmann, Bose, Fermi

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( di  Massimo Fantin 2006)

Immaginiamo di disporre di  N particelle e di volerle disporre in n celle distinte. 

 Vogliamo calcolare il numero delle possibili configurazioni diverse che si possono ottenere distribuendo le N particelle nelle n celle.

Per risolvere questo primo problema dobbiamo precisare alcune cose, e a seconda delle premesse che si verranno a porre si ottengono risposte diverse che daranno luogo a statistiche diverse.

1.  Statistica di Boltzmann  Si suppone che le particelle siano distinguibili tra loro ( supponiamo che  ad ogni particella possa essere dato un nome: a,b,c, ecc.  e che ogni cella possa contenere un qualsiasi numero di particelle.
   Il numero delle possibili configurazioni è dato dalla disposizioni con ripetizione delle N particelle nelle n celle. E' come se ad ognuna delle N particelle  scrivessimo sopra il nome di una delle n celle (quella a cui appartiene). Per trovare il numero delle  configurazioni  possibilità basta pensare che ad ogni particella è possibile scrivere sopra il nome di n celle, pertanto n scelte ripetuta per le N particelle si ha n moltiplicato per sé stesso N volte cioè: n^N
   Numero totale delle configurazioni per la statistica di Boltzmann = n^N
   
2. Statistica di Bose   Si suppone che le particelle siano indistinguibili tra loro e che in ogni cella possano essere disposte un numero qualsiasi di particelle
   Il numero delle possibili configurazioni è dato dalla permutazioni con ripetizione di n elementi di classe N. Per rendersene conto si immagini di allineare le N particelle con n-1 barre verticali che stanno ad indicare le pareti di separazione tra una cella e l'altra. Le configurazioni che si possono ottenere sono date dalle permutazioni di questi n + N - 1 elementi, diviso per le permutazioni delle N particelle ( indistinguibili fra loro)  e diviso per le permutazioni delle delle n-1 barre di separazione che sono pure evidentemente indistinguibili. pertanto:  
   Numero totale delle configurazioni per la statistica di Bose =
   
3. Statistica di Fermi   Si suppone che le particelle siano indistinguibili  e che in ogni cella possa essere posizionata al massimo un numero ben definito di particelle. La statistica di Fermi si riferisce ad un insieme di sottocasi della statistica di Boltzmann.  Manca però  una formula semplice per calcolare i casi possibili.  

Prime applicazioni  ( calcolo delle distribuzioni) .

1)  Calcolare la probabilità che, secondo la statistica di Boltzmann, in una cella precedentemente scelta  ci siano esattamente h particelle mentre le altre N-h siano nelle altre n-1 celle. 

Il problema può essere affrontato utilizzando il metodo della probabilità composta. La probabilità che nella cella prescelta ci sia una  determinata particella è 1/N , si ripete la stessa osservazione fino alla particella h-esima. Per le altre N-h celle calcoliamo invece la probabilità che esse siano in una delle altre n-1 celle. moltiplicando le probabilità di tutti questi eventi indipendenti si ottiene (1/n )^h*((n-1)/n)^N-h  . Bisogna però considerare che così facendo si pretende un ordinamento che non è previsto.  Dobbiamo perciò moltiplicare per le permutazioni di N  elementi di classe h. Dopo alcuni semplici passaggi si ha che  la probabilità cercata è data da 

Che si tratta di una distribuzione binomiale di valor medio N/n e scarto  quadratico medio

. 

2) Calcolare la probabilità che, secondo la statistica di Bose, in una cella precedentemente scelta  ci siano esattamente h particelle mentre le altre N-h siano nelle altre n-1 celle. 

Il problema è lo stesso di prima ma cambia completamente la soluzione, ragioniamo in modo diverso da prima, utilizziamo la definizione di probabilità come rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili. Conosciamo già il numero delle configurazioni possibili  che sono le combinazioni con ripetizione di n elememti di classe N. Per calcolare le  le configurazioni favorevoli basta pensare che se nella cella scelta ci sono gia h particelle nelle altre n-1 celle ci saranno N-h  particelle  pertanto  le configurazioni favorevoli saranno date dalle combinazioni con ripetizione di n-1  elementi di classe N-h,    pertanto 

Per il caso della statistica di Bose non dispongo di una formula simile a quelle trovate se non nel caso particolare in cui si possa disporre al massimo una cella per particella. 

Ora vogliamo  occuparmi di studiare la probabilità delle varie configurazioni possibili  secondo le varie statistiche. Per fare questo ( vedi tabella sotto) scegliamo un esempio:  N = 10 particelle e di n = 5 celle ed elenchiamo tutte le possibili configurazioni. Per ridurne il numero scrivo soltanto quelle ordinate in modo decrescente e, in base alla statistica scelta calcolo il numero delle corrispondenti non ordinate.     

Per elencare le configurazioni in modo ordinato usiamo un metodo ricorsivo: si inizia dalla configurazione nella quale nella prima cella ci sono N particelle e zero nelle altre, che costituisce la configurazione di partenza poi, supposto di aver raggiunto una data configurazione per passare alla configurazione successiva si inizia a esaminare da destra e ci si sposta verso sinistra fino a quando non si trova una cella con un numero di particelle superiore di almeno due rispetto alla cella di estrema destra ( pivot) ,  a questo punto si lasciano invariate le celle alla sua  sinistra del pivot, si  abbassa di una unità la cella pivot e si ridistribuiscono la particelle restanti spostandosi verso destra ripetendo lo stesso numero di particelle contenute nel pivot fino a che non rimane un numero inferiore che viene collocata nella cella successiva. 
Esempio  supponiamo N=15, n =12, la prima configurazione sarà evidentemente 15,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 mentre se cerchiamo la successiva della configurazione 5,4,3,2,1,0,0,0,0,0,0,0  per trovare la successiva si cerca il pivot che è la cella che contiene il 2, le prime tre celle rimangono invariate mentre il pivot diventa 1 assieme alle successive fino ad aver esaurito le 15 particelle  5,4,3,1,1,1,1,0,0,0,0,0 la successiva avrà il pivot nella cella che contiene il 3 e sarà   5,4,2,2,2,0,0,0,00,0,0.

Per la statistica di  Bose  il numero delle configurazioni equivalenti è dato dalle permutazioni con ripetizione degli elementi, ( per esempio la prima configurazione nella quale tutte le particelle sono nella prima cella avrà in tutto 5 corrispondenti dati dalle permutazione di 5 elementi 5! diviso per le permutazioni di 1 elemento ( la cella con il 10) e diviso per le permutazioni di 4 elementi, le celle vuote, 5!/(1!  4!).
 Analogamente la seconda e la terza cella sono rappresentanti di 20 configurazioni perché 5!/( 1! 1!3!) =20.

Per la statistica di Boltzmann il numero delle configurazioni equivalenti diventa  più grande perché ogni configurazione di Bose deve essere moltiplicato per  le permutazioni con ripetizione delle dieci particelle rispetto alle celle, ( per esempio per la seconda configurazione, per ogni configurazione di Bose ne abbiamo 10!/( 9! 1!) cioè 10 pertanto 10 moltiplicato per 20 configurazione di Bose, 200 in tutto). 

A fianco di ciascuna configurazione (celle azzurre) la tabella in verde  rappresenta lo spettro delle celle, in ciascuna colonna caratterizzate dai numeri da 0 a 10 compare il numero delle celle che hanno quel dato numero di particelle.  Per esempio la seconda configurazione ha un 3 nella colonna 0 perché ci sono tre celle con 0 particelle, un 1 nelle colonne 1 e 9 perché nella configurazione c'è una cella con una particella 1 e una con 9 particelle. 

 Le stesse configurazioni possono essere pensate anche come se ci fossero 5 oscillatori di energia complessiva 10 unità, l'energia di ciascun oscillatore corrisponde al numero delle particelle contenute. Secondo questa rappresentazione si conservano sia il numero totale degli oscillatori ( n )che l'energia totale (N). 

Passare da una configurazione all'altra significa passare una o più particelle da una cella all'altra oppure far cedere una certa  energia da un oscillatore all'altro.    

Se distribuiamo in modo casuale le particelle nelle celle, queste occuperanno con maggiore frequenza le configurazioni più probabili che rappresentano pure le configurazioni aventi maggiore entropia che è proporzionale al logaritmo della probabilità della configurazione.  

Numero delle celle ( numero degli oscillatori)  n = 5         Energia Totale ( numero delle particelle )  N =10

Nella tabella riportata qui sotto che si riferisce sempre al caso di 5 celle contenenti 10 

esprime la probabilità che ci siano k particelle in una cella a seconda delle distribuzioni e, nelle seconde colonne il numero medio di celle che contengono k particelle  per esempio per la statistica di Boltzmann ci sarà in media una cella che contiene 3 particelle ( terza riga ultima colonna ) si noti che la probabilità è minore se utilizziamo la statistica di Bose.

Per calcolare  le probabilità di trovare, secondo la statistica di Fermi in una cella un determinato numero di particelle, visto che manca una formula semplice,  si procede con la seguente tabella nella quale si riportano le varie configurazioni ordinate e i rispettivi numeri delle disordinate corrispondenti ( come detto precedentemente secondo la statistica di Bose per le particelle indistingiuuibili) , per ciascuna uscita possibile da 0 a numero massimo di particelle in una cella, le successive sono evidentemente zero,  si calcola per ciascuna configurazione ( riga della tabella ) il prodotto tra il numero delle celle che posseggono quel dato numero di particelle per  il numero totale delle configurazioni disordinato ( per esempio nella prima configurazione ci sono due celle con quattro particelle, 1 con 2 e due con zero, inoltre questa prima configurazione corrisponde a trenta configurazioni disordinate pertanto nella colonna dello zero scriveremo 60perchè 60=30*2 mentre nella colonna del 2 30=30*1 mentre nella colonna del quattro ancora 60=30*2).
Si sommano infine per colonne e si ottiene un numero totale che evidentemente è pari alla somma totale delle configurazioni di Fermi moltiplicato per il numero delle celle , in questo caso 1855=371*5. per ottenere le probabilità è sufficiente normalizzare  dividendo ciascun numero per 1855.

Questi grafici esprimono la probabilità che nelle due distribuzioni in una cella ci siano 0,1,.. 10 particelle. Come si vede la distribuzione è assai diversa, nel caso della distribuzione di Bose la distribuzione è sempre decrescente secondo un andamento esponenziale mentre la distribuzione di Boltzmann ha l'andamento di una campana

Il programma di simulazione in java  mette a confronto quattro distribuzioni, oltre a quella di Boltzmann, Bose e Fermi ho inserito la quarta distribuzione che ho chiamato "mescola" nella quale le particelle sono distinguibili, allo stesso modo della distribuzione di Boltzmann, si parte da una distribuzione casuale, le particelle vengono "mescolate" semplicemente prendendone casualmente una da una cella e posizionandola in un'altra cella, la distribuzione che si ottiene è una distribuzione esponenziale  n(h) = a e ^{-k h .} dove  a=n²/N e k = n/N

Nelle distribuzioni di Boltzmann , Bose  e Fermi il passaggio da una distribuzione casuale iniziale alla  successiva avviene tenendo conto della probabilità della configurazione,  il programma esamina la probabilità e cerca in modo casuale,  uno spostamento di particella da una cella ad un'altra fino a che non ne trova una che , secondo quella distribuzione abbia una maggiore probabilità di verificarsi , ovvero corrisponda ad un maggior numero di configurazioni.  La configurazione corrente viene confrontata con la distribuzione teorica che è rappresentata in nero, è evidente che non può esserci una perfetta corrispondenza anche perché la distribuzione delle particelle è per numeri interi mentre quella teorica no . 

SIMULAZIONE

Uso della simulazione:

Tutte le rappresentazioni delle distribuzioni partono da una distribuzione casuale di N particelle in n celle e successivamente viene scelta casualmente una particella, e spostata in un'altra in modo da aumentare la probabilità, secondo la configurazione scelta. ( nel caso mescola lo spostamento avviene in modo casuale senza tener conto di alcuna probabilità. Dopo un certo numero di passaggi si giunge alla configurazione di equilibrio. 

Il grafico può venire spostato trascinando l'origine delle coordinate e le unità di misura sempre trascinando con il mouse il pallino che si trova sulla decima unità.

Con i tasti si può variare il numero delle celle e delle particelle nonché, nel caso della distribuzione di Fermi anche il massimo numero di particelle in ogni cella. Il tasto elence, permette , quando possibile di elencare le configurazioni relative a quella data distribuzione, indicando a fianco anche la probabilità.