• "Guida per la valutazione e l'espressione dell'incertezza nelle misurazioni" - Sistema Nazionale per l'Accreditamento di Laboratori - http://www.sinal.it

• Istituto Galileo Ferraris - http://www.ien.it

• [Z92]: G.Zingales - "Misure Elettriche - Metodi e strumenti" - Utet 1992

• [S99]: H.Schwetlick - "Interfacciare il pc - Analisi dei dati - Strumenti di misura - Reti" - Hoepli 1999

• [P99]: U.Pisani - "Misure elettroniche – Strumentazione elettronica di misura" - Politeko Torino 1999

• Misure dirette

  • Generalità

  • Distribuzione normale

  • Distribuzione uniforme

• Misure indirette

• Sommario

• Esempi

• Appendici

  • Probabilità di un evento

  • Distribuzione Gaussiana

  • Metodo dei minimi quadrati

  • Caratteristiche strumentali

Le parti scritte in rosso sono da considerare precarie e di imminente revisione.

Generalità


Sia Y una grandezza fisica da misurare (misurando) tramite un singolo dispositivo di misura, che fornisca in lettura un valore V.
Obiettivo di una misurazione è la determinazione di una stima accurata M del misurando Y nella forma:

M = V + U            (espressione della misura)

dove U è l'incertezza della misura, che, tenendo conto degli errori sistematici ed accidentali, caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al risultato della misurazione.
Una serie di letture V_i sulla stessa grandezza Y produrrà infatti una distribuzione di errori assoluti

E_i = V_i - Y_e

dove Y_e è il valore atteso (expected value) del misurando, ossia il valore ideale di Y.
Ogni lettura V_i appartiene ad un insieme di valori la cui manifestazione è analizzabile solo in termini probabilistici; V_i è cioè assimilabile ad una variabile aleatoria (occorrenze non determinabili a priori).

In generale, data una variabile aleatoria s{} (insieme di valori, finito od infinito, continuo o discreto, ad ognuno dei quali è associato un valore di probabilità), si definisce la funzione densità di probabilità p_s(s) come la probabilità che la variabile aleatoria s{} si manifesti entro un intervallo compreso tra s ed s+ds.
La probabilità che s{} ricada tra due valori a e b vale quindi:



In particolare deve valere la condizione di normalizzazione:



Il calcolo della p_s(s) è spesso più agevole ricorrendo alla funzione distribuzione di probabilità P_s(s), definita come la probabilità che la variabile aleatoria s{} assuma un valore minore od uguale ad s:



In questo modo:



Nota la funzione p_s(s), Si definisce inoltre il valore medio statistico della variabile s:



e la varianza sigma²:



con sigma = scarto quadratico medio (s.q.m.) o deviazione standard.

Per una distribuzione discreta di n valori s_i, quali una serie di risultati di misure, al posto della funzione densità di probabilità p_s(s) si usano istogrammi, ed al posto della funzione distribuzione di probabilità P_s(s) si usa la funzione di frequenza cumulativa. Media e varianza si esprimono come:




Le p_i rappresentano le frequenze di occorrenza delle s_i (in generale, se su n esperimenti l'evento A si presenta r volte, la frequenza dell'evento A è il rapporto r/n). Per n grande, i valori delle frequenze tendono ai valori delle probabilità (principio di Bernoulli).

Distribuzione normale

In molti casi si ammette che, in presenza di più sorgenti di incertezza indipendenti, il risultato di una misura possa essere considerato come una variabile aleatoria con distribuzione normale, cioè con una densità di probabilità di tipo Gaussiano:



La distribuzione normale si presenta spesso in natura, e molti fenomeni possono essere descritti per suo tramite. Secondo il teorema del limite centrale, inoltre, se le sorgenti di incertezza sono numerose e statisticamente indipendenti, la distribuzione descrivente un dato fenomeno tende ad una gaussiana.

Nella misura ripetuta di una grandezza Y, si ammette pertanto solitamente che la distribuzione dei valori misurati V_i e quindi degli errori

E_i = V_i - Y_e

sia assimilabile ad una distribuzione normale; ciò equivale a considerare gli errori tra loro indipendenti ed equiprobabili.

Per una serie di n misure (n limitato per motivi pratici), si dimostra, assumendo una distribuzione normale delle frequenze p_i del tipo:



che la migliore stima di Y_e, cioè il valore più probabile di Y_e calcolato a partire dai valori delle misure V_i, è dato dalla media aritmetica dei valori misurati:



cioè come se la densità di probabilità per ogni valore V_i valesse 1/n (tutti i valori sperimentali equiprobabili).
V viene pertanto considerato il valore più plausibile della misura.

Si dimostra anche (Student) che per la serie limitata di n misurazioni con distribuzione normale, la migliore stima dello s.q.m. teorico, espresso, per n infinito, come:



vale (come se fosse p_i pari ad 1/n , con la correzione: n=1 => risultati indefiniti;
per n->infinito inoltre Y_e~ V):



Sigma_s è detto (scarto tipo sperimentale), ed è una stima tanto migliore dello s.q.m. per distribuzioni continue quanto più n è grande. Consente di stimare la dispersione dell'insieme partendo da un numero limitato di misure.

Si dimostra anche che, ripetendo teoricamente all'infinito le serie di n misure, si ottiene una distribuzione statistica delle (infinite) medie V_j ancora di tipo normale, con valore medio pari ad Y_e e con deviazione standard della media (scarto tipo della media) stimata da:



Lo scarto tipo della media consente di valutare i probabili limiti entro cui può ricadere una singola misura, limiti che possono assumersi proporzionali a sigma(V) a seconda del livello di confidenza (campo di probabilità) desiderato. Si può scrivere così:



dove y_e è una stima di Y_e e k è il fattore di copertura, normalmente pari a 2 o 3.

La stima della deviazione standard della media sigma(V) è detta incertezza standard (od incertezza tipo assoluta) e viene indicata col simbolo u; il prodotto k*u è detto incertezza estesa, ed indicato con U; pertanto:



Effettuando una singola misura con uno strumento, quindi, al valore V indicato dallo strumento occorre associare una fascia d'incertezza dichiarata in qualche modo dal costruttore, secondo l'espressione

M = V + U

in modo che la stima M appartenga in termini probabilistici all'insieme di misure mutuamente compatibili sul misurando (dato un insieme di misure M₁, M₂, ..., M_n, si dice che esse sono mutuamente compatibili se, rappresentando le misure come segmenti, l'intersezione di tutte le misure con quella M^* di minore incertezza, tale che M^* = V^* + I, è un segmento non inferiore ad I). Il costruttore dichiara normalmente, secondo i metodi ritenuti opportuni, anche nell'ottica dei costi, un parametro, qui riferito come "semiampiezza A", da cui ricavare U e lo s.q.m. sigma(V)=u.

Ad esempio, se A è indicato dal costruttore come il coefficiente fiduciario o di confidenza (livello di probabilità) del 95% per distribuzione normale, cioè

A = 2 sigma(V) = 2 u => u = A / 2

allora imponendo per U una copertura del 99% dei valori, si ha

U = 3 sigma(V) = 3/2 A

M = V + 3/2 A

Distribuzione uniforme


In alcune situazioni conviene assumere che i valori delle misure non possano trovarsi al di fuori di un intervallo individuato da [V_min , V_max], e che all'interno dell'intervallo tutti i valori abbiano la stessa probabilità. Si assume cioè una densità di probabilità uniforme (o rettangolare):

La migliore stima di Y_e è in questo caso il valore medio dell'intervallo:



Dato che il valore medio è in questo caso una quantità costante, l'incertezza standard u viene assunta pari allo sqm sigma:



Ad esempio, se V è il valore indicato da uno strumento in una misura, e se la semiampiezza A è indicata dal costruttore come la tolleranza massima garantita (tutti i valori V+A ugualmente probabili), allora:

(V_max - V_min) / 2 = A

u = A / Sqrt[3]

La probabilità che i valori ricadano tra [Y_e - u , Y_e + u] è circa il 58%; con un fattore di copertura pari a Sqrt[3] si copre una popolazione di valori del 100%. Quindi si assume

U = k * u = A              con k=Sqrt[3]

M = V + A

L'incertezza standard u è importante ai fini del calcolo dell'incertezza composta per misure indirette; solitamente è deducibile dalle informazioni sullo strumento indicate dal costruttore. In caso contrario, se non viene fornito cioè il significato operativo della semiampiezza "A", conviene assumere prudenzialmente valori per u ed U non inferiori a quelli per distribuzione normale (u = A / 2, U = 3 A / 2).

Se, oltre alla grandezza "A" e relativo significato operativo, il costruttore fornisce (a fronte di costi maggiori) anche le caratteristiche statistiche della distribuzione di più letture a misurando e grandezze d'influenza costanti, è allora possibile ridurre ulteriormente l'incertezza della misura.
Infatti, effettuando un numero n opportuno di misure sullo stesso misurando, in precise condizioni di riferimento delle grandezze d'influenza ed in condizioni di taratura, secondo date procedure, è possibile ricavare la varianza sigma²_I dovuta all'errore intrinseco dello strumento (derivante dal modello progettuale del sistema; [Z92]p28, 54), che, sommata alla varianza sigma²_R legata alla riproducibilità delle misure (effetti dei disturbi aleatori cui è sensibile il sistema, quali attriti, rumore elettronico, campi em esterni, grandezze d'influenza non misurabili...), fornisce la varianza totale cui è legata l'informazione "A" (varianza della somma di sorgenti di incertezza statisticamente indipendenti = somma varianze singole cause incertezza):



E' quindi possibile ricavare la sigma²_R per differenza



in modo che l'incertezza standard u possa essere ridotta alla sigma²_R anzichè alla sigma²_TOT.

Ovviamente, non disponendo delle caratteristiche statistiche dello strumento, o di costosa strumentazione idonea a ricavarle, è inutile, ai fini dell'attribuzione dell'incertezza, ripetere più misure sullo stesso misurando, a meno che le influenze esterne in gioco o le condizioni di misura non siano tali da rendere trascurabile l'incertezza dello strumento rispetto ad esse; ripetendo più volte la lettura della stessa grandezza si possono in linea di principio ridurre gli effetti degli errori accidentali.

In generale, anzichè da una sola grandezza (misure dirette), il misurando Y dipende da un certo numero di grandezze d'ingresso X_i secondo una funzione del tipo:

Y=f(X₁, X₂, ..., X_n)

chiamata modello della misurazione. La stima y del misurando Y si ottiene sostituendo le grandezze X_i con le corrispondenti stime di ingresso x_i:

y=f(x₁, x₂, ..., x_n)

Il risultato di una misurazione, pur con le correzioni per gli eventuali effetti sistematici identificati, è quindi solo una stima del valore del misurando a causa dell'incertezza originata dagli effetti casuali (accidentali) e dagli effetti sistematici non noti o non considerati. Ad ognuna delle stime d'ingresso x_i dev'essere necessariamente associata un'incertezza d'ingresso u(x_i), che, insieme alle altre, contribuisce a formare l'incertezza della stima del misurando, o incertezza composta u(y).

Per calcolare u(y) si considera quanto segue.
Siano


gli scarti delle grandezze d'ingresso x_i rispetto ai rispettivi valori medi. Tali scarti sono distribuzioni a media nulla e sqm pari a quello delle x_i. Per piccole variazioni si ha, con Delta[y] = y - Media[y]:



In generale, se z è una variabile aleatoria funzione di due variabili aleatorie x ed y tali che

z = x + y

e se x ed y sono statisticamente indipendenti, cioè se

p_xy(x,y) = p_x(x) p_y(y)

allora il valore quadratico medio di z è



Se le grandezze d'ingresso sono statisticamente indipendenti, cioè se

p_y(y)  =  p_x1(x₁)  p_x2(x₂)  ... p_xn(x_n)

applicando la proprietà precedente, estesa ad n variabili aleatorie, all'espressione Delta[y], e dato che i singoli termini del differenziale hanno media nulla, si ha:



e quindi:



Sebbene l'incertezza composta u(y) sia spesso sufficiente per caratterizzare una misurazione, in molte applicazioni si preferisce definire un intervallo più ampio U(y) intorno al risultato y, detto incertezza estesa:

U(y) = k u(y)

Anche se alcune variabili di ingresso x_i non hanno distribuzione normale, la distribuzione della variabile risultato y può essere considerata approssimativamente normale grazie al teorema del limite centrale.

In particolare, quando una grandezza x_i può essere valutata direttamente attraverso la ripetizione di un processo di misurazione e di analisi statistica delle osservazioni (nella maggior parte dei casi tramite modello gaussiano), la sua incertezza è classificata di categoria "A" (necessaria complessa strumentazione da laboratorio). Le valutazioni di incertezza effettuate invece in modo diverso da quello basato su serie di osservazioni ripetute si definiscono di categoria "B" (es: dati di precedenti misurazioni, specifiche tecniche del costruttore di un dispositivo...).

Si dimostra che se il numero di gradi di libertà effettivi, calcolato tramite la formula di Welch-Satterhwaite, è superiore a 10, allora per un livello di probabilità del 95% si può assumere k=2, e per un livello del 99% si può assumere k=3 (distribuzioni normali).

In pratica, se x₁, x₂, ..., x_n sono le stime d'ingresso disponibili, e se u(x₁), u(x₂), ..., u(x_n) sono le relative incertezze standard (ad esempio, i valori strumentali di ogni singola misura diretta con incertezze di tipo B dichiarate dal costruttore, o la media aritmetica di una serie di n misure con relativa incertezza di tipo A pari a sigma(V)), il risultato della misura va espresso come:

M = y = f(x₁, x₂, ..., x_n) + k u(y)                  con k=2 per p=95%, k=3 per p=99%

Spesso le incertezze vengono espresse come relative ad un valore di riferimento, quale la portata di uno strumento, il valore atteso della misura, od il valore fornito dallo strumento. Ciò è utile ad esempio per paragonare strumenti e metodi che misurano grandezze di entità diverse. Di solito le incertezze relative sono indicate in percentuale rispetto alle stime y ed x_i:

u_%(y) = u(y) / y
u_%(x_i) = u(x_i) / x_i

In particolare, se y è una semplice somma algebrica delle grandezze d'ingresso, allora l'incertezza assoluta u(y) è data da:



mentre se y è una funzione di prodotti e rapporti delle grandezze d'ingresso, allora l'incertezza relativa u_%(y) vale:




A volte comunque, per semplificare i calcoli, si preferisce stimare l'incertezza composta in un'ottica da caso peggiore (worst case), anzichè in quella probabilistica (più ottimistica) quale quella esaminata (prescritta comunque dalla normativa ufficiale).
Se y è la stima del misurando Y in funzione delle stime delle grandezze d'ingresso x_i tale che

y=f(x₁, x₂, ..., x_n)

e se gli errori assoluti sono sufficientemente piccoli (ognuno col proprio segno), possono allora essere considerati infinitesimi delle rispettive grandezze:

Ex₁=dx₁, Ex₂=dx₂, ..., Ex_n=dx_n

Pertanto la propagazione degli errori sulle singole variabili è data da




Il caso peggiore si stima sommando i valori assoluti dei singoli contributi; l'incertezza assoluta che ne deriva si può esprimere come:



Dove le quantità positive U(x_i) rappresentano l'incertezza nel caso peggiore associata a ciascuna stima x_i, ad esempio la semiampiezza "A" sopra indicata.



Quanto detto vale nei casi in cui si ha un modello della misurazione

Y=f(X₁, X₂, ..., X_n)

esplicito e ben definito; se invece del modello non si conoscono a priori i valori dei parametri, e se ne vuole estrarre una stima (valori più probabili) a partire da un insieme di misure affette da errori aleatori, si ricerca una funzione teorica (modello interpolato) il meno possibile in disaccordo con i dati sperimentali, secondo criteri di minimizzazione degli errori (scarti) rispetto alle serie di dati a disposizione.

Frequente ad esempio è il problema delll'interpolazione lineare (regressione lineare), in cui si approssima una serie di dati (x_i, y_i) con un modello del tipo

y = p x + q

dove i parametri p e q vengono calcolati, insieme alle relative incertezze, a partire dai dati sperimentali tramite il metodo dei minimi quadrati.

Sia Y una grandezza fisica da misurare (misurando) tramite un singolo dispositivo di misura, che fornisca in lettura un valore V.
Obiettivo di una misurazione è la determinazione di una stima accurata M del misurando Y nella forma:

M = V + U            (espressione della misura)

dove U è l'incertezza della misura, che, tenendo conto degli errori sistematici ed accidentali, caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al risultato della misurazione.

In generale, anzichè da una sola grandezza (misure dirette), il misurando Y dipende da un certo numero di grandezze d'ingresso X_i secondo una funzione del tipo:

Y=f(X₁, X₂, ..., X_n)

chiamata modello della misurazione. La stima y del misurando Y si ottiene sostituendo le grandezze X_i con le corrispondenti stime di ingresso x_i:

y=f(x₁, x₂, ..., x_n)

Quando una grandezza x_i può essere valutata direttamente attraverso la ripetizione di un processo di misurazione e di analisi statistica delle osservazioni (nella maggior parte dei casi tramite modello gaussiano), la sua incertezza è classificata di categoria "A" (necessaria complessa strumentazione da laboratorio). Le valutazioni di incertezza effettuate invece in modo diverso da quello basato su serie di osservazioni ripetute si definiscono di categoria "B" (es: dati di precedenti misurazioni, specifiche tecniche del costruttore di un dispositivo...).

La valutazione dell'incertezze può essere effettuata in un'ottica statistica, come previsto dalla normativa ufficiale, od in un'ottica da caso peggiore (worst case; consente semplificazione calcoli).


Metodo statistico (standard)

Se x₁, x₂, ..., x_n sono le stime d'ingresso disponibili, statisticamente indipendenti, e se u(x₁), u(x₂), ..., u(x_n) sono le relative incertezze standard, il risultato della misura va espresso come:

M = y = f(x₁, x₂, ..., x_n) + k u(y)                  con k=2 per p=95%, k=3 per p=99%

con



e

k u(y) = U incertezza estesa.

La generalità dell'espressione della misura (basata sulla statistica delle distribuzioni normali) è legata al teorema del limite centrale, per cui anche se alcune variabili di ingresso x_i non hanno distribuzione normale, la distribuzione della variabile risultato y può essere considerata approssimativamente normale.

Spesso le incertezze vengono espresse come relative ad un valore di riferimento. Ciò è utile ad esempio per paragonare strumenti e metodi che misurano grandezze di entità diverse. Di solito le incertezze relative sono indicate in percentuale rispetto alle stime y ed x_i:

u_%(y) = u(y) / y
u_%(x_i) = u(x_i) / x_i

Se y è una semplice somma algebrica delle grandezze d'ingresso, allora l'incertezza assoluta u(y) è data da:



mentre se y è una funzione di prodotti e rapporti delle grandezze d'ingresso, allora l'incertezza relativa u_%(y) vale:



Ai fini del calcolo delle incertezze standard u(x_i) (pari allo scarto tipo della media statistica delle relative grandezze x_i), riferendo come "semiampiezza A" il parametro correlato alle incertezze deducibile dalle specifiche del costruttore, si ha:

• A è indicato come coefficiente fiduciario o di confidenza del 95% per distribuzione normale; in q.caso
  u(x_i) = A / 2
     

• A è indicato come tolleranza massima garantita per distribuzione uniforme; in q.caso
  u(x_i) = A / Sqrt[3]

Se non viene fornito il significato operativo della "semiampiezza A", conviene assumere prudenzialmente valori per u(x_i) non inferiori a quelli per distribuzione normale.


Caso peggiore

Il caso peggiore si stima sommando i valori assoluti dei singoli contributi; l'incertezza assoluta che ne deriva si può esprimere come (propagazione degli errori):



dove le quantità positive U(x_i) rappresentano l'incertezza nel caso peggiore associata a ciascuna stima x_i, ad esempio la semiampiezza "A" deducibile dalle specifiche del costruttore. In tal senso il risultato della misura si esprime con:

M = y = f(x₁, x₂, ..., x_n) + U(y)

Note:

Nell'espressione di una misura è opportuno far ricadere l'incertezza sull'ultima cifra indicata; il numero di cifre utilizzate (cifre significative) dev'essere in accordo col grado di accuratezza della misura, cosicchè espressioni matematicamente equivalenti come
1.35 V       (incertezza dell'ordine di 0.01 V)
1.350 V       (incertezza dell'ordine di 0.001 V)
hanno una valenza misuristica ben diversa.

1 - Misurazione di una corrente continua con amperometro analogico

Si vuole determinare l'incertezza standard (incertezza tipo) da attribuire al risultato della misurazione di una corrente continua (DC) effettuata con una sola lettura per mezzo di uno strumento analogico con le seguenti caratteristiche:

Tipo: magnetoelettrico
Portata: 2 A
Classe: 1
Fondo Scala: 100 divisioni

Lettura: 88.5 div

Si stabilisce di esprimere l'incertezza del risultato in termini di sola incertezza strumentale, non essendo di interesse la variabilità del misurando.

Il massimo scostamento assoluto (tolleranza massima garantita A) in tutti i punti della scala è dato da:

A = (Classe * FS) /100 = (1 * 2 A) / 100 = 0.02 Amp

L'incertezza grava sulla seconda cifra decimale; la stima I si può assumere quindi pari a 1.77 A, corrispondenti ad 88.5 div.
L'incertezza tipo assoluta vale:

u(I) = A / Sqrt[3] = 0.02 Amp / Sqrt[3] = 0.012 A

mentre l'incertezza tipo relativa è:

u_%(I) = u(I) / I = 0.012 / 1.77 = 0.0068 = 0.68%

L'espressione della misura è: I = (1.77 + 0.02) A = 1.77 A + 1.1%


2 - Misurazione di una tensione alternata con voltmetro digitale

Si vuole determinare l'incertezza standard da attribuire al risultato della misurazione di una tensione alternata effettuata con una sola lettura per mezzo di uno strumento digitale con le seguenti caratteristiche:

Tipo: digitale (numerico, numerale)
Accuratezza: +(0.5% della lettura + 10 digits)
Portata: 100 V
Digits: 4

Lettura: 82.75V

Si stabilisce di esprimere solamente l'incertezza strumentale, non essendo di interesse la variabilità del misurando.

La tolleranza massima garantita A dello strumento è:

A = 0.5 / 100 * 82.75 V + 10 * 0.01 V = 0.51 V

Quindi:

u(V) = A / Sqrt[3] = 0.29 V

u_%(V) = u(V) / V = 0.29 / 82.75 = 0.0035 = 0.35%

L'espressione della misura è, riportando tutte le cifre sul display per la stima della grandezza d'ingresso:
V = (82.75 + 0.51) V = 82.75 V + 0.62%


3 - Misurazione di una resistenza con il metodo voltamperometrico

Si vuole valutare l'incertezza che grava sul risultato di una misurazione di resistenza effettuata con il metodo voltamperometrico. Si suppone che le caratteristiche ricavate dai manuali del costruttore della strumentazione siano le seguenti:

Si supponga che siano state effettuate due sole letture contemporanee (una di tensione ed una di corrente) ottenendo le seguenti letture:

Tensione: 8.54784 V
Corrente: 1.9352 A

Dato il modello del misurando
R = V / I
l'incertezza tipo relativa composta è data da

u_%(R) = Sqrt[u²_%(V) + u²_%(I)]

Si ha:

A_V = (0.5 / 100 * 8.54784 + 20 * 0.00001) V = 0.043 V
u_%(V) = A_V / (Sqrt[3] * 8.54784 V) = 0.0029 = 0.29%

A_I = (1 / 100 * 1.9352 + 30 * 0.0001) A = 0.022 A
u_%(I) = A_I / (Sqrt[3] * 1.9352 A) = 0.0059 = 0.59%

Quindi:
u_%(R) = Sqrt[0.0029² + 0.0059²] = 0.0066 = 0.66%

La stima del misurando è
R = 8.5478 V / 1.9352 A = 4.417 Ohm

Il valore dell'incertezza tipo assoluta è
u(R) = u_%(R) * R = 0.0066 * 4.417 Ohm = 0.029 Ohm

L'incertezza estesa, assumendo k=2 (copertura ~95%), è
U(R) = 2 * 0.029 Ohm = 0.058 Ohm

L'incertezza estesa relativa vale
U_%(R) = k u_%(R) = 2 * 0.0066 = 0.013 = 1.3%

L'espressione della misura è
R = (4.417 + 0.058) Ohm = 4.417 Ohm + 1.3%


4 - Misurazioni di resistenza ripetute sullo stesso oggetto

Si vuole determinare l'incertezza tipo da attribuire al risultato di una misurazione di resistenza effettuato con metodo e strumentazione d'incertezza trascurabile rispetto a quella legata alle condizioni di misurazione.
Sono state eseguite n=12 misurazioni ottenendo i valori riportati nella tabella seguente:

L’incertezza tipo può essere determinata con una valutazione di categoria A.
La miglior stima del misurando è data dalla media aritmetica dei risultati delle misurazioni:



Lo scarto tipo sperimentale sigma_s è dato da

= 11.7 * 10^-2 Ohm

L'incertezza tipo assoluta (scarto tipo della media) è
u(R) = sigma_s / Sqrt[n] = 11.7 * 10^-2 Ohm / Sqrt[12] = 3.39 * 10^-2 Ohm

L'ncertezza tipo relativa è
u_%(R) = u(R) / R = 3.39 * 10^-2 Ohm / 100.04 Ohm = 0.00034 = 0.034%

Assumendo un fattore k=2 (copertura statistica 95%), si ha

U(R) = 2 * u(R) = 6.78 * 10^-2 Ohm
R = (100.04 + 0.068) Ohm = 100.04 Ohm + 0.068%

Supponendo di conoscere a priori l'insieme di tutti i possibili valori dei risultati di un esperimento, la probabilità P(A) dell'evento A è il rapporto tra il numero Delta[n] dei casi in cui l'evento A si verifica (casi favorevoli) ed il numero n di casi possibili, per n molto grande:



Se A₁ ed A₂ sono due eventi disgiunti (mutuamente esclusivi: la presenza dell'uno esclude quella dell'altro), la probabilità di ottenere o A₁ o A₂ (condizione OR) è data dalla somma delle probabilità dei due eventi:

P(A₁ + A₂) = P(A₁) + P(A₂)

La probabilità di ottenere contemporaneamente (condizione AND) due eventi A₁ o A₂ fra loro indipendenti è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi:

P(A₁ A₂) = P(A₁) P(A₂)

Sussiste inoltre il seguente teorema della probabilità composta (formule di De Bayes):

P(A₁ A₂) = P(A₁) P(A₂ / A₁) = P(A₂) P(A₁ / A₂)

cioè la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi A₁ ed A₂ è pari alla probabilità che si verifichi uno dei due eventi per la corrispondente probabilità condizionata (P(A₂ / A₁) = probabilità verifica evento A₂ purchè evento A₁ già verificato).

Data una variabile aleatoria s, con densità di probabilità nota (quindi note media Y_e e varianza sigma²), la più importante e la più utilizzata fra le distribuzioni continue di probabilità è la distribuzione normale o gaussiana, caratterizzata da una densità di probabilità p_s(s):



Definendo la variabile aleatoria k come

k = (s - Y_e) / sigma

k ha media nulla e sqm unitario; si ha allora

p(k) = 1 /Sqrt[2 Pi] Exp [-1/2 k²]

Dai grafici e dalle tavole di p(k) si ricavano i valori di qualsiasi variabile aleatoria s con distribuzione normale, con valore medio Y_e e sqm sigma. La variabile k rappresenta in altri termini tutte le popolazioni infinite di valori conformi al modello normale.
In particolare la probabilità che un valore della variabile s ricada nell'intervallo



vale


Importanti sono i valori di probabilità relativi ad intervalli simmetrici multipli di sigma:
P(Y_e - sigma < s < Y_e + sigma) = 0.683
P(Y_e - 2 * sigma < s < Y_e + 2 * sigma) = 0.954
P(Y_e - 3 * sigma < s < Y_e + 3 * sigma) = 0.997

dunque in una distribuzione normale con valore medio Y_e e sqm sigma l'intervallo contenente il 95% dei valori è pari a Y_e + 2sigma, mentre il 99% dei valori ricade nell'intervallo Y_e + 3sigma.

Siano {p₁, p₂, ..., p_p} p grandezze (parametri del modello) dipendenti da m grandezze direttamente misurabili {m₁, m₂, ..., m_m} secondo una funzione (modello) del tipo

f(p₁, p₂, ..., p_p ; m₁, m₂, ..., m_m)=0

Condizione analitica necessaria e non sufficiente per ricavare le p_i è che il numero di equazioni sia pari al numero delle incognite, cioè occorre misurare p m-uple m_i e risolvere il sistema

f_j(p₁, p₂, ..., p_p ; m_1j, m_2j, ..., m_mj)=0          per j=1, 2, ... , p

Ma ammesso che il sistema ammetta soluzione (come generalmente si verifica se f è lineare), la propagazione delle incertezze sperimentali da cui sono affette le m_i potrebbe portare a risultati inaccettabili. Si può ridurre l'inconveniente tramite una ridondanza delle misure ed il metodo dei minimi quadrati, come descritto in seguito.

Si può eseguire la misura di n>p m-uple m_i (ridondanza) e cercare l'insieme {p₁, p₂, ..., p_p} che rende minima la somma dei quadrati degli scarti epsilon_i:



con epsilon_i = f(p₁, p₂, ..., p_p ; m_1i, m_2i, ..., m_mi)          per i=1, 2, ... , n

Dalla condizione necessaria affinchè Phi ammetta minimo

      per k=1, 2, ..., p

si possono ricavare i parametri p_i.


Ad esempio, se (x_i, y_i) sono n coppie di dati sperimentali (n ragionevolmente grande) , e se si assume un modello

f(p, q; x, y) = 0

di tipo lineare (interpolazione o regressione lineare)

y = px + q

allora si può imporre che la somma dei quadrati degli scarti dei punti y_i dalla retta di interpolazione con ascissa x_i sia minima:



e ciò si ha se



Si trova così:

;

Se le variazioni di y_i possono essere ipotizzate di tipo casuale (distribuzione normale), con varianza costante (come è spesso il caso degli errori di misura), i parametri p e q così determinati sono stime di variabili aleatorie con distribuzione normale e scarto tipo della media (incertezza standard) stimata da:

dove y ed x sono le rispettive medie aritmetiche dei dati sperimentali.


Le formule precedenti possono essere "aggiornate" man mano che sono disponibili le coppie di punti (x_i, y_i), quindi si prestano ad essere applicate sui calcolatori (statistica/ regressione lineare). Quando e se il coefficiente di correlazione ([Z92] pag 67, 460; valore ideale: +1) fornito dall'algoritmo si mantiene pressochè invariato con l'aggiunta di nuovi punti, non sono più necessari altri dati sperimentali.

Generalità

Precisione (Precision): termine utilizzato in ambienti anglosassoni con significato simile alla ripetibilità; fascia di variabilità di misure ripetute sullo stesso misurando, nelle stesse condizioni. In genere la precisione migliora riducendo gli errori di tipo accidentale.

Accuratezza (Accuracy): scarto presunto tra la misura ed il valore atteso del misurando. In genere l'accuratezza migliora riducendo gli errori sistematici.

Risoluzione: variazione del misurando che provoca una modifica della lettura pari all'incertezza della lettura. Per gli strumenti digitali la risoluzione è data da un'unità sull'ultima cifra (es: 1.237 V sul display => risoluzione 0.001 V = 1 mV). Per strumenti analogici la risoluzione è data dal minimo intervallo R sulla scala graduata; si può assumere un'incertezza della lettura pari ad R/2.
La risoluzione non implica accuratezza dello strumento; uno strumento con elevata accuratezza deve invece avere risoluzione elevata.

Sensibilità: per gli strumenti a deviazione, è il rapporto tra una variazione della grandezza misurata e la corrispondente variazione della deviazione dello strumento; se la sensibilità è costante per ogni valore della grandezza misurata, si ha uno strumento a scala lineare ([Z92]pag53).

Stabilità: proprietà che esprime di quanto varia nel tempo una prestazione caratteristica dello strumento. Si distingue tra stabilità a breve termine (secondi, minuti), a medio termine (ore, giorni) e lungo termine (mesi, anni).
Ad esempio, si dice che un oscillatore ha una stabilità di 10^-4 se la variazione relativa della sua prestazione è dell'ordine di 10^-4 (una parte su 10000; cioè Delta[f_o]/f_o ~10^-4). Se si dispone di un frequenzimetro con un'accuratezza migliore di qualche ordine di grandezza (tipicamente 10^-6, stabilità degli oscillatori al quarzo), per una frequenza nominale f_o=3.0151 KHz si ha
Delta[f_o] = 10^-4 * 3.0151 KHz ~ 0.0003 KHz
e si otterrà una lettura del tipo
3.015XX KHz       (X: cifre instabili sul display).
Per una frequenza nominale f_o=9.985 KHz si ha invece
Delta[f_o] = 10^-4 * 9.985 KHz ~ 0.001 KHz
e la lettura sarà del tipo
9.98XXX KHz

Viceversa (cioè se non è nota a priori la stabilità dell'oscillatore), in letture del tipo
3.478XX MHz
3.4782X MHz
cifre stabili sino a "3478" implicano una stabilità dell'oscillatore dell'ordine di una parte su 10000 (Delta[f_o]/f_o~10^-4), e cifre stabili sino a "34782" implicano una stabilità dell'ordine di una parte su 100000 (10^-5).

Strumenti elettromeccanici

Classe di precisione: semiampiezza della fascia d'incertezza, espressa in percento del fondo scala, valida per ogni punto della scala stessa, in condizioni prefissate ([Z92]pag55,124).
Le classi più importanti sono:
classe 0.05 e 0.1 per strumenti campioni da laboratorio;
classe 0.2 e 0.5 per strumenti da laboratorio, per misure di controllo;
classe 1 - 1.5 - 2.5 - 5... per strumenti industriali da quadro.

Ad esempio, un voltmetro con fondo scala 60V e classe 0.5 potrà dar luogo, in ogni punto, ad un errore non superiore a:
+ 0.5/100 * 60V = + 0.3V

Essendo costante, lungo tutta la scala, il limite per l'errore assoluto, l'errore relativo è tanto maggiore quanto più l'indicazione si trova in prossimità dello zero. Gli strumenti sono quindi bene utilizzati solo per letture oltre la metà od almeno 1/3 del fondo scala.


Strumenti digitali

Accuratezza (Accuracy): l'incertezza assoluta (semiampiezza A) di uno strumento numerico è scomponibile in due contributi, uno proporzionale al valore della grandezza misurata (lettura, ReaDinG), e l'altro invece legato al campo equivalente di misura; questa duplicità viene conservata nell'espressione con cui normalmente il costruttore fornisce l'indicazione dell'incertezza in funzione di una data portata (gamma, range):

A =  ± ( p% RDG + n DGTS)

L'espressione DiGiT è in questo caso da intendere come "cifra meno significativa dell'indicazione dello strumento". Se l'indicazione dello strumento fosse, per esempio, 1,234 Volt allora 1 digit significherebbe 0,001 Volt. Se invece l'indicazione fosse 14,36 mA allora 1 digit sarebbe uguale a 0,01 mA.
Ovviamente "n digit" significa "n volte 1 digit".
In luogo dell'espressione "digit" si può trovare "counts" (numero di unità sull'ultima cifra della lettura), con significato operativo analogo.

Digits: numero di cifre sul display. La dizione "mezza cifra" indica che la cifra più significativa (msd) non può assumere tutti i valori da 0 a 9 (ad es. l’espressione ”tre cifre e mezza” può riferirsi ad una indicazione massima sul display dello strumento del tipo 2999 o 1999). La portata dello strumento deve essere la minima superiore al valore nominale del misurando.
Le cifre sul display da considerare significative sono solo quelle "certe" più la prima "incerta" (su cui ricade l'incertezza).