di Lopresti Claudio, Coelum n. 19
Il problema nasce quando si decise di contare gli anni, invece che dalla fondazione di Roma, dalla nascita di Cristo. Nel sesto secolo della nostra era, il monaco Dionigi il Piccolo stabilì dopo una serie di calcoli che l’evento ebbe luogo nell’anno 753 dalla fondazione di Roma e ne fissò la data al 25 dicembre, pressappoco coincidente con il solstizio d’inverno e con antiche ricorrenze pagane del calendario romano: il giorno in cui si pensava che il Sole rinascesse ogni anno venne quindi fatto coincidere con la nascita di Gesù.
Dionigi chiamò "anno 1" il primo anno dell’era cristiana, senza curarsi della numerazione degli anni precedenti a questo evento, e propose anche che l’inizio dell’anno 1 fosse fissato al 25 marzo, data del presunto concepimento di Cristo. Soltanto nel XVII secolo gli storici identificarono nell’anno 1 quello della nascita e nell’anno –1 l’anno precedente: l’anno Zero quindi non esiste e non è mai esistito.
Questo, tra l’altro, comporta una mancanza di immediatezza nel conteggio degli anni quando si vuol calcolare il tempo intercorso fra due avvenimenti accaduti a cavallo dell’inizio dell’era cristiana: se si sommano semplicemente i due valori, si sbaglia di un anno.
Se, ad esempio, alla domanda: "quanti anni sono trascorso fra un avvenimento accaduto nel 500 a.C. e un altro avvenuto nel 500 d.C.?" si risponde 1000, si sbaglia di un anno poiché in realtà ne sono trascorsi 999.
Perché tutto ciò sia assolutamente evidente si provi ad applicare la stessa regola fra un avvenimento dell’anno 1 e uno dell’anno –1. Chiaramente, tra le due date è trascorso un solo anno; però, se sommiamo 1 –(-1) otteniamo come risultato 2. Sarebbero passati due anni? Assurdo. Allora, si voglia o no, in questa scala temporale bisogna sottrarre sempre una unità dalla somma algebrica.
Come mai la stessa cosa non avviene, ad esempio, in una scala metrica, dove la distanza tra 1 e –1 centimetri è proprio 2? Eppure, come abbiamo già detto, anche qui un centimetro Zero!
Al lettore che a insindacabile giudizio della redazione invierà la spiegazione migliore verrà assegnato un abbonamento semestrale a Coelum.
Nell’articolo sulla controversia dell’inizio del terzo millennio (Claudio Lopresti, Coelum 19) abbiamo accennato a due diversi problemi, che pur essendo collegati fra loro mostrano "soluzioni" indipendenti.
Il primo quesito riguarda appunto la data di inizio del terzo millennio, nella convenzione adottata dal mondo occidentale. Qui la soluzione è banale (ma i mass media continuano a sbagliare), e dipende dal fatto che Dionigi il Piccolo ha chiamato "anno 1" il primo anno dell’era cristiana. Possiamo dargli torto? Direste mai che il vostro figlioletto di sette mesi sta vivendo il suo anno zero piuttosto che il suo primo anno?
A parte l’horror vacui di cui giustamente parla un anonimo lettore di Castelfranco Veneto (che non ha firmato la sua lettera), cominciamo sempre da uno quando vogliamo contare gli elementi di un certo insieme, operazione per la quale ci serviamo dei numeri naturali. E neanche negli assiomi di Peano,che costruiscono e definiscono l’insieme dei Naturali, c’è un preciso riferimento allo zero come elemento di questo insieme. Senza trascurare un piccolo particolare: nemmeno se avesse voluto Dionigi sarebbe potuto partire "da zero", una cifra (e un concetto) allora del tutto sconosciuti, introdotti in Europa soltanto secoli dopo! Detto questo, dev’essere chiaro per tutti che, se cominciamo a contare dall’1, la seconda decina inizia con l’11; il secondo centinaio con il 101; il secondo millennio con il 1001 e il terzo millennio (senza dubbio e con grande ammirazione per A.C. Clarke) nel 2001. Il tutto dipende quindi dal numero con cui abbiamo iniziato e dal nostro modo di contare che, come giustamente ricorda il sig. Carlo Manenti, è in base decimale. Punto.
La seconda questione riguarda i problemi che sorgono quando vogliamo calcolare la distanza temporale fra due eventi accaduti in anni diversi, prima e dopo Cristo. Perché in una scala metrica è possibile dire (per esempio nella rilevazione di una temperatura) che tra +1° e –1° c’è una ovvia differenza di 2 gradi, mentre lo stesso calcolo ci porterebbe all’errata valutazione di una differenza di due anni nell’intervallo 1 a.C. e –1 a.C.?
A corredo dell’articolo di Lopresti abbiamo quindi sfidato il lettore a darci una chiara interpretazione dell’apparente assurdità, e molti si sono accorti che in realtà sono le due scale ad essere fondamentalmente diverse, e che paragonarle non era del tutto lecito.
I signori Enrico Cortelletti, Andrea Alessandrini e Gian Pietro Basello, tra molti altri, ci hanno anche fornito delle belle rappresentazioni grafiche, ma il sig. Basello nota giustamente che non è molto corretto parlare di scala metrica, come non ha senso parlare di centimetri negativi, ma è meglio riferirsi all’asse reale.
Se su di una retta fissiamo un’origine, un verso di percorrenza ed una unità di misura, riusciamo a stabilire quello che in matematica viene detto un isomorfismo tra l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei punti della retta, in modo che ad ogni punto corrisponde uno ed un solo numero reale (che viene detto ascissa di quel punto) e viceversa. La distanza fra due punti di ascissa A e B è allora, per definizione, il numero positivo d = | A – B |
Se vogliamo confrontare l’asse reale con l’asse temporale ci accorgiamo subito che le cose funzionano fino ad un certo punto. Prima di tutto l’anno è un intervallo, come dice ancora l’anonimo di Castelfranco, e non un punto (per questo andrebbero meglio i centimetri). Ma anche se proviamo ad associare i punti con ascissa intera all’istante iniziale di ciascun anno siamo ancora nei guai; proprio perché ci manca l’anno zero.
Come molti lettori (tra i quali i signori Alberto Ghiotto, Mauro Luraschi, Davide Del Vento, Antonino Butò, Giampietro Viola) hanno poi osservato, i mesi (il tempo) scorrono sempre nello stesso verso (da gennaio a dicembre) tanto negli anni negativi che in quelli positivi e questo rappresenta un’altra differenza sostanziale con l’asse reale.
Torniamo alla domanda posta nell’articolo: perché fra un avvenimento accaduto nell’anno –1 e uno accaduto nell’anno +1 è passato solo un anno e non due come vorrebbe l’operazione algebrica 1–(–1)?
Qualche lettore (ad esempio i signori Guido Pampaloni, Daniele Pes e Alessio Sallustio) ha pensato che, visto che ci manca l’anno zero, basterebbe togliere una unità dai conti che facciamo con gli anni e tutto tornerebbe a posto. Questo però sarebbe solo un primo passo perché, come fa notare la signora Antonella Cortesi Mar-zocchi, una data è una data, costituita da un giorno, un mese e un anno. Allora è vero che fra due date uguali degli anni –1 e +1 passa un solo anno, ma è anche vero che se confronto date a caso fra i due anni, posso trovare distanze temporali che variano fra un giorno e due anni meno un giorno!
Per inciso: se avessimo avuto anche l’anno zero la distanza fra due eventi accaduti negli anni –1 e +1 sarebbe stata variabile tra un anno e un giorno e tre anni meno un giorno, e non saremmo ugualmente fuori dai guai. Il calendario è una cosa e l’algebra è un’altra.
Avendo l’ingrato compito di scegliere la migliore risposta tra le numerose arrivate in redazione, alla fine ho deciso per quella del Sig. Basello (a cui va in premio l’abbonamento semestrale promesso), ma vi assicuro che la scelta è stata davvero difficile. Quasi tutti hanno mostrato di aver capito il problema, puntando subito l’attenzione sulla profonda diversità dei due sistemi di riferimento. La totalità (con qualche distin-guo di natura filosofica) ha riaffermato la propria convinzione nel definire ovvia la scelta di aspettare il 31 dicembre del 2000 per festeggiare l’inizio del nuovo millennio, e ha risposto al nostro piccolo referendum con lettere in cui si misurava tutto l’amore per il pensiero razionale. Non è facile, ai nostri giorni, trovare il tempo e le motivazioni per mettersi a tavolino e scrivere di simili cose. Tanta intelligenza ed attenzione, profuse insieme da parte di molti, lasciano davvero sperare in un futuro migliore. Grazie a tutti.
LUCIA DE FAVERI, laureata in Matematica presso l’Università di Padova, insegna alla Scuola Media Superiore. Appassionata di astronomia e fantascienza, nel poco tempo libero che l’insegnamento e i tre figli le concedono, si dedica allo studio della teoria dei numeri.
Inutile farvi i complimenti per la rivista che è davvero da leggere dall’inizio alla fine e fin troppo accattivante (quanto tempo impegnate per l’impaginazione e la grafica?). Sono uno studente di storia orientale antica (quella dei babilonesi e assiri per intenderci) e mi interesso anche di storia dell’astronomia e... sinceramente mi farebbe molto comodo ricevere gratis Coelum! Per cui mi sono deciso – forse un po’ in ritardo – a scrivervi cercando di rispondere al quesito di pag. 55 del numero 19.
Prendiamo una linea retta su un piano e stabiliamo un’unità di misura U. Sulla retta fissiamo un punto O che diventa l’origine di due assi. L’asse che si estende a destra del punto O assume convenzionalmente valori positivi dell’unità U mentre quello a sinistra assume valori negativi. Ad esempio, un punto A a 2,5 unità di misura dal punto O verso destra avrà valore 2,5. Un punto B a 2,5 unità dal punto O verso sinistra avrà invece valore –2,5 e si troverà a metà fra le tacche che indicano i valori –2 e –3. Questo è il caso della scala metrica. Preferisco non parlare di centimetri negativi perché non esistono valori di lunghezza negativi (un oggetto non puo misurare –1 cm) ma solo valori negativi in base ad un sistema di riferimento fissato.
Nella misurazione del tempo non esiste un’origine degli assi. L’asse è unico e unidirezionale: la freccia psicologica del tempo è volta unicamente in una direzione. Proprio non potendo fissare un’origine degli assi (quando è iniziato il tempo?) si è arbitrariamente fissato l’anno 1 dell’era cristiana in corrispondenza di quell’anno in cui si riteneva fosse nato Gesù. Gli storici sanno bene che questa è solo una delle tante ere possibili: già prima di Gesù, Seleuco Nicatore (uno dei successori di Alessandro Magno nel Vicino Oriente) aveva fissato una nuova era (l’era seleucide) a partire da quello che per noi è il 311 a.C. Questa era fu ampiamente utilizzata per diversi secoli. Tornando all’era cristiana, una volta nata l’esigenza di utilizzarla per contare anche gli anni prima di Gesù, vennero introdotti gli anni avanti Cristo. La direzione dell’asse però è la stessa: la metà dell’anno 2 a.C. – che potremmo orrendamente indicare come 2,5 a.C. (anno e decimi di anno) si trova quindi fra le tacche che segnano l’anno 2 a.C. e 1 a.C. e non fra le tacche del 3 a.C. e del 2 a.C. Infatti la sequenza dei mesi è ovviamente sempre la stessa con gennaio che precede febbraio e cosi via e si estende alla sinistra della tacca dell’anno relativo.
Nello stimolante articolo di Claudio Lopresti forse si poteva accennare che, per semplificare i calcoli fra gli anni, è stata introdotta una scala di misurazione (detta astronomica) in cui esiste un anno 0 (zero) preceduto da anni negativi per indicare gli anni prima di Cristo. Ovviamente 0 = 1 a.C. e, ad esempio, –1 = 2 a.C. da cui si deduce che
– n (astronomico) = n + 1 (a.C.)
Bisogna fare attenzione perché –1 non corrisponde a 1 a.C.! Vedi ad esempio Dershowltz N. / Reingold E.M., Calendrical Calculations (Cambridge University Press, 1997) pagg. 11s. Questa scala viene utilizzata in software astronomici come Guide 7.0 di Bill Gray (software che considero altamente professionale) e io stesso la utilizzo comunemente nello studio dei fenomeni astronomici riportati in tavolette cuneiformi babilonesi (tutti avvenuti negli anni avanti Cristo).
Vorrei poi ricordare che non solo esistono altre ere anche oggi (ad esempio i musulmani contano gli anni dall’Egira) ma che esistono anche altri modi di calcolare i mesi e gli anni (vedi ancora l’anno lunare islamico, più breve del nostro). Voglio dire che per noi è il primo gennaio del 2000 ma per i musulmani sarà solo uno degli ultimi giorni del mese di ramadan del 1420, mentre per gli ebrei il 23 tevet 5760. Si tratta di ere "religiose" che sottolineano il legame fra ciclo del tempo e divinità cosi caro agli antichi. Del resto Dionigi il Piccolo, introducendo l’era cristiana, voleva ricordare agli uomini che con la nascita di Gesù era iniziata una nuova era di salvezza in cui il tempo stesso aveva un significato diverso, come dice più volte san Paolo:
E fate questo, rendendovi conto del tempo nel quale viviamo: è tempo ormai per voi di svegliarvi dal sonno; adesso infatti la nostra salvezza è più vicina. [Romani 13,11]. Questo vi dico, o fratelli: il tempo ha avuto una svolta... [1 Corinzi 7,29; secondo la Nuovissima Versione delle edizioni Paoline 1995-96].
GIAN PIETRO BASELLO – SAN GIOVANNI IN PERSICETO (BO)
(25/I/2001) Domenica scorsa 21/I vedo in televisione ("Mattina in famiglia" su RaiDue) il prof. Zichichi che spiega perché non c'è dubbio che il millennio sia iniziato un istante dopo la mezzanotte del 31 dicembre 1999. Il problema è sempre quello, ma ci ho messo un po' per capire il punto di vista di Zichichi... partendo dal presupposto che Zichichi non è uno stupido!
Innanzitutto Zichichi ammette che non c'è un anno zero ma dice che l'anno zero in pratica è l'anno 1 d.C. Introduce quindi i concetti di numero cardinale e numero ordinale. Se uno ha compiuto n anni (cardinale), vuol dire che è nel corso del suo (n+1)° anno (ordinale) di vita. [Per chiarezza (e semplificando) aggiungo io che il primo numero cardinale è lo zero (che segna l'origine/nascita) mentre il primo ordinale è 1° che designa lo spazio fra i cardinali zero e 1; genericamente un cardinale indica una misura (la scatola è larga 22cm) mentre l'ordinale un'entità numerabile (la prima pagina del libro); nel nostro caso specifico il cardinale indica un punto temporale mentre l'ordinale un intervallo temporale (per cui dovremmo sempre chiederci: in corso o compiuto?).] Insomma Zichichi afferma: se siamo nel 2000 vuol dire che stiamo già vivendo il 2001° anno dalla nascita di Gesù e che 2000 anni sono già compiuti. Il problema è capire se il nostro numero di anno è un numero cardinale o ordinale. Secondo Zichichi è un cardinale cioè un ordinale compiuto; in realtà è un ordinale in corso! Infatti anno 2000 vuol dire che stiamo vivendo il 2000° anno dalla nascita di Gesù che si compirà solo il 31 dicembre 2000 (non per niente diciamo: "siamo nel 2000").
La distinzione è molto sottile e per capirla bisogna andare all'origine del sistema. Non basta però confutare Zichichi dicendo che non esiste l'anno zero, in quanto a Zichichi non interessa se storicamente esiste o meno l'anno zero perché l'anno zero per lui è comunque il punto di inizio dell'anno 1. Facciamo un esempio fittizio con il concetto di era: non soddisfatto della sua indiscussa autorità in campo scientifico, Zichichi conquista il potere con un colpo di stato nel settembre (o qualsiasi altro mese) di quest'anno e decide formalmente che il successivo 1 gennaio segnerà l'anno 1 dell'era Zichichi; nel settembre successivo potrà celebrare il primo anniversario del colpo di stato (sottolineando così che è già trascorso un anno dal colpo di stato), ma dovrà comunque dire che è nel corso del 1° anno (non ancora conclusosi) della sua nuova era, in quanto l'inizio dell'anno è fissato all'1 gennaio. Storicamente le cose non possono che essere così: uno definisce giustamente come primo il nuovo anno, ma lo definisce primo quando è ancora in corso, non primo quando è già nel corso del secondo anno come immagina Zichichi. In questo senso l'anno 0 ordinale esiste (pur non essendo usato) come punto di inizio dell'anno 1 (cioé primo) dell'era, come afferma Zichichi in modo più impreciso. Quindi la vera distinzione non è fra numero ordinale o cardinale, ma fra ordinale compiuto o in corso: Zichichi sottintende che il punto temporale indicato dal cardinale coincide con il corrispondente ordinale compiuto.
La stessa cosa vale per i mesi e i giorni: gennaio è il primo mese dell'anno ma non chiamiamo gennaio il secondo mese dell'anno in cui gennaio è già compiuto! Allo stesso modo oggi è il 25 gennaio ovvero il 25° giorno di gennaio che si concluderà però solo a mezzanotte di oggi. Non a caso si dice indifferentemente "1 gennaio" e "primo gennaio"!
Di per sè si tratta di una convenzione, seppur ben motivata, come credo abbia dimostrato l'esemplificazione. Zichichi (coerentemente con la sua idea sul nuovo millennio) avrebbe potuto stabilire che l'anno 1 (chiamato, denominato, detto "anno 1") della sua era corrisponde al secondo anno, introducendo prima o supponendo all'indietro un anno zero (o in qualsiasi altro modo decida di chiamare un simile anno). Storicamente però non fu questa la convenzione usata... nè da chi stabiliva una nuova era per l'immediato futuro (Seleuco Nicatore o l'immaginario dittatore Zichichi), nè da chi stabiliva una nuova era retroattiva nel tempo nel VI secolo d.C. (come Dionigi)! Probabilmente nessuno stabilirebbe una nuova era con un anno zero (per cui si dovrebbe dire innaturalmente "siamo nell'anno zero"); tuttavia se noi oggi creassimo un'era retroattiva, useremmo sicuramente il concetto di anno zero... e infatti è proprio quello che è successo con l'introduzione del sistema astronomico per la numerazione degli anni!
Nell'esempio ho volutamente separato il momento in cui Zichichi prende il potere da quello di inizio dell'anno: infatti parliamo di una convenzione relativa alla numerazione degli anni che non pretende di modificare anche la convenzione relativa all'inizio dell'anno. Gli anni dell'era seleucide iniziano verso l'equinozio di primavera non perché Seleuco Nicatore avesse preso il potere in quella data, ma perché già prima gli anni iniziavano convenzionalmente con quella data di alto valore simbolico. Nel caso degli anni di regno, si introduce anche il concetto di anno di intronizzazione (accession year) incompleto e corrispondente all'ultimo anno di regno del precedente re. Ad esempio, Dario conquista il potere nell'XI mese dell'8° anno di regno di Cambise ma il suo 1° anno di regno inizierà con il I mese dell'anno successivo. E' vero che nel primo anno di regno avverrà il primo anniversario della presa del potere ma questo non interferisce con la convenzione della numerazione degli anni legata all'inizio convenzionale di anno.
Ritornando all'era cristiana attualmente in uso, non importa quando Dionigi pensava fosse realmente nato Gesù. Non importa neppure se la sua data convenzionale di inizio anno (che è discussa) fosse o meno l'1 gennaio, perché noi oggi abbiamo comunque assegnato alla sua numerazione di anni la nostra data convenzionale di inizio anno, anche retroattivamente! Insomma, ci muoviamo in un mondo di convenzioni ma non sempre possiamo modificarle! Esempio calzante è proprio l'era cristiana che Dionigi fissò in corrispondenza dell'anno di nascita di Gesù: non importa se ora sappiamo o crediamo di sapere che sbagliò di qualche anno... ormai ce la teniamo così, e farei ridere (oltre a provocare errori e fraintendimenti) se datassi questo scritto al 2006 per essere fedele all'intenzione di Dionigi!
L'esempio degli anni di età proposto da Zichichi è quindi estremamente opportuno ma non nel senso da lui proposto! Anzi, potremmo dire che è l'unica esemplificazione a noi famigliare (e per questo non avvertita come tale) della convenzione di numerazione degli anni del nostro calendario. Il nostro numero di anno rappresenta l'anno in corso che si compirŕ solo al capodanno dell'anno successivo... Pur fraintendendo un particolare banale, la teoria di Zichichi ci ha costretto a ragionare parecchio!
A questo punto sarà bene richiamare il principio di questa discussione. Chiarita la convenzione di numerazione degli anni, se un millennio indica lo spazio temporale equivalente a 1000 anni, potremo dire di essere nel 3° millennio solo a partire dall'anno 2001 ovvero non prima che si chiuda l'anno 2000 ovvero il 2000° anno.
Ad un ulteriore livello di astrazione potremmo chiederci: perché questo problema si pone solo con i secoli e i millenni, e non con i giorni e i mesi che usano la stessa convenzione di numerazione? Il fatto è che secoli e millenni sono multipli su base 10 dell'unitŕ di misura anno mentre non esistono nell'uso comune multipli di giorni o mesi: 30 o 31 giorni sono un mese ma un mese non è un multiplo di un giorno. Il problema si pone solo nel caso delle decadi: la prima decade di un mese inizia il giorno 1 e termina il giorno 10, la seconda il giorno 11 e termina il 20, la terza il 21 e termina con il 30. Per questo motivo possiamo festeggiare il nuovo anno senza problemi ogni 12 mesi mentre festeggiare il nuovo millennio ha creato tante discussioni!
Da Fred Espenak's Eclipse Home Page <http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/eclipse.html>
a cura di Basello Gian Pietro
<gpbasello@eudoramail.com>
san Giovanni in Persiceto, 23/XI/2000