Lezione complementare 4

*Cenni al calcolo spinoriale*

di Michele Moroni

La seguente lezione vuole solamente raggruppare i risultati fondamentali ottenuti dalla meccanica quantistica per quanto riguarda l'analizi dei momenti angolari e degli spin delle particelle elementari, tralasciando dimostrazioni complicate e allontanandosi da un rigore formale eccessivo. Chi fosse interessato ad approfondire questi concetti può consultare un buon testo di meccanica quantistica.

Il momento angolare

Consideriamo un elettrone che si muove intorno ad un nucleo atomico. Le leggi della meccanica classica ci dicono che in ogni istante questo elettrone sarà caratterizzato da un momento angolare definito da L = r x mv, dove r è il vettore posizione e v è il vettore velocità; x identifica il prodotto vettoriale. In meccanica classica è sempre possibile misurare simultaneamente le 3 componenti L_x, L_y e L_z del momento angolare.

La meccanica quantistica invece ci dice che è impossibile misurare simultaneamente le componenti L_x, L_y e L_z del momento angolare, dato che la misura di una componente altera in maniera sensibile le altre due. Tutto quello che possiamo fare è misurare contemporaneamente il valore di L² e di una delle componenti del momento angolare, convenzionalmente considerata L_z.

Domanda: come mai è possibile misurare contemporaneamente i valori di L² e L_i e non L_i e L_j? la risposta è piuttosto tecnica; perchè gli operatori corrispondenti a L² e L_i commutano, mentre quelli corrispondenti a L_i e L_j non commutano. Per approfondire il significato di questa risposta si consiglia di consultare un buon testo di meccanica quantistica.

La meccanica quantistica impone inoltre che queste misure diano come risultato solo certi "valori permessi".

In modo particolare la misura di L² fornisce sempre un risultato del tipo

l(l+1)²

Dove l può assumere solamente valori interi non negativi

Una volta ottenuto L² una successiva misura di L_z fornisce sempre un risultato del tipo:

m_l

Dove m_l può assumere i 2l+1 valori interi compresi tra +l e -l .

Lo spin

C'è evidenza osservativa che le particelle elementari siano caratterizzate da un momento angolare non legato alle proprietà orbitali, il quale viene chiamato spin (o, piu' raramente, momento angolare intrinseco). Convenzionalmente indicato con S lo spin ha quasi tutte le proprietà del momento angolare orbitale.

Analogamente al momento angolare orbitale una misura di S² può solamente fornire come risultato

s(s+1)²

Però s in questo caso può assumere solamente valori positivi a spin semintero (s=1/2,3/2,5/2...)

Una volta misurato il valore di S² una successiva misura di S_z può solamente fornire un risultato del tipo

m_s

dove m_s può assumere solamente i valori interi e seminteri compresi tra -s e s

Somma di momento angolare e spin

In generale è possibile misurare contemporaneamente L² , L_z , S², S_z

Lo stato di momento angolare e di spin di una particella si identifica con la notazione (di Dirac)

Capita piuttosto spesso che non siamo interessati a misurare separatamente il momento angolare orbitale e lo spin, ma vogliamo invece conoscere il momento angolare totale J=L+S e le sue componenti lungo una determinata direzione J_i

Le regole di quantizzazione ci dicono che è possibile misurare simultaneamente J² , J_z , L² , S^2.

Anche per la misura di J² e J_z valgono le regole di quantizzazione del momento angolare:

Una misura di J² può infatti fornire solamente i valori

j(j+1)²

dove j può assumere valori interi e seminteri positivi

Effettuata una misura di J² una successiva misura di J_z può fornire solo i valori

m_j

dove m_j può asumere solamente i valori interi e seminteri compresi tra -j e j

Vale inoltre la seguente regola:

j può asumere tutti i valori compresi tra |l+s| e |l-s| , separati da intervalli unitari.

Da quanto detto risulta che è possibile identificare lo stato di un sistema anche utilizzando la seguente rappresentazione:

I coefficienti di Clebsch-Gordan

Come abbiamo già detto è impossibile misurare simultaneamente lo stato e quello . Se infatti effettuiamo una misura di m_l e m_s alteriamo in maniera sensibile i valori di j e mj, facendo precipitare is sitema in uno stato in genere sempre diverso . Tutto quello che possiamo fare è esprimere la seguente relazione.

Questa ci dice che posizionando il sistema nello stato e misurando sucessivamente le variabili j e m_j otteniamo una determinata coppia (j , m_j) con una frequenza data da .

I coefficienti sono chiamati coefficienti di Clebsch-Gordan

I coefficienti di CG sono calcolabili tramite complessi procedimenti. In generale sono tabulati sui principali testi di fisica quantistica.

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