(1)Lezione complementare 3
*Cenni alla teoria dei gruppi*
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Consideriamo un insieme V costituito da elementi Ak; All'interno di questo insieme definiamo una legge di composizione interna (indicata con · ) che gode delle seguenti proprietà: 1) Proprietà di Chiusura: Se Ai e Aj sono due generici elementi dell'insieme anche Ai · Aj è un elemento dell'insieme. 2) Esistenza dell'elemento neutro: Esiste all'interno dell'insieme un elemento, chiamto elemento neutro e di solito identificato con I, il quale per ogni Aj soddisfa la relazione I·Aj = Aj·I=Aj 3) Esistenza dell'inverso: Per ogni Aj esiste un elemento, chiamato inverso di Aj e indicato con Aj-1 il quale soddifa la relazione: Aj-1·Aj = Aj·Aj-1 = I 4) Proprietà associativa: per ogni terna di elementi è soddisfatta la relazione Ai·(Aj·Ai)=(Ai·Aj)·Ak Se le condizioni esposte sono tutte verificate l'insieme prende il nome di GRUPPO
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Se è verificata la condizione supplementare Aj·Ai=Ai·Aj (proprietà commutativa) allora il gruppo prende il nome di GRUPPO ABELIANO.
Un gruppo è detto "finito" quando contiene un numero finito di elementi, mentre è detto "infinito" quando ne contiene un numero infinito.
Un gruppo è detto "continuo" quando gli elementi possono essere identificati da uno o più indici che assumono valori continui
Un gruppo è detto "discreto" quando gli elementi possono essere identificati da uno o più indici che possono assumere solo valori discreti.
Consideriamo un insieme i cui elementi siano matrici (NxN), ovvero costituiti da N righe e N colonne. Se definiamo all'interno di questo insieme la seguente legge di composizione interna
(1)
allora è immediato dimostrare che le matrici NxN formano un gruppo
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Consideriamo ora l'insieme delle matrici NxN unitarie (quelle
per cui l'inversa è uguale alla trasposta coniugata, ovvero 
). È possibile dimostrare che l'insieme delle matrici unitarie, con la
legge di composizione interna (1), gode delle proprietà
di un gruppo. Questo gruppo particolare è chiamato U(n).
È possibile dimostrare che l'insieme delle matrici unitarie NxN avente determinante 1, sottoinsieme di U(n), è anch'esso un gruppo; questo viene chiamato SU(n).
Se le matrici prese in considerazione hanno elementi reali allora parliamo dei gruppi O(n) e SO(n)