Il paradosso di S. Peterburg
Ogni volta che si introduce l'infinito in una elaborazione matematica si rischia di creare una situazione paradossale: la soluzione dell'eventuale paradosso implica quasi sempre una miriade di opinioni che sfociano sempre in un continuo riproporsi del paradosso nel tempo come se i contributi davvero risolutori del paradosso non fossero mai stati forniti.
Il proponitore del paradosso (cosciente o meno) propone un discorso viziato in origine.
Questo è come vedremo il caso del paradosso di S. Petersburg:
Si propone ad uno scommettitore di partecipare ad una lotteria il cui premio è così elargito: si lancia una moneta in aria fino a quando esce testa , se esce testa al 1° lancio si vince 2, se esce testa al 2° lancio si vince 4, se esce testa al 3° lancio si vince 8 e così via.
Ogni singola possibilità è una scommessa il cui valore è dato dalla vincita moltiplicato per la probabilità che questa si realizza: ora la probabilità che esca testa al 1° lancio è 1/2 e la vincita è 2, quindi il valore di questa scommessa è 1, la probabilità che esce testa al 2° lancio è 1/4 e la vincita è 4, quindi il valore di questa scommessa è anch'essa 1, la probabilità che esca testa al 3° lancio è di 1/8 e la vincita è 8, quindi il valore di questa scommessa è anch'essa 1, e così via.
Ora si chiede allo scommettitore di pagare la giusta somma per partecipare alla lotteria:
Per calcolare la giusta somma da pagare dobbiamo sommare il valore di tutte i singoli possibili risultati, quindi:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 ..............= infinito, per partecipare alla lotteria bisogna pagare una somma infinita.
Ma la probabilità che il gioco si risolva è 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ............. = 1, cioè il gioco è certo che si conclude prima o poi, quindi abbiamo anche la certezza che qualunque sia il risultato vinceremo una somma finita.
Il paradosso potremmo racchiuderlo in questa domanda: perché dovrei pagare una somma infinita contro la certezza di vincere una somma finita, quindi con la certezza assoluta di perdere ????
Ovviamente il discorso sopraesposto è viziato da un uso incorretto del concetto di infinito, ciò non ha impedito che il paradosso di S. Petersburg abbia fornito materia per divagazioni teoretiche varie (vedasi tra l'altro la teoria del valore marginale in economia), divagazioni che si possono consultare su wikipedia collegate a questo paradosso.
La asserzione "per giocare a questa lotteria bisogna pagare una somma di denaro infinita" non ha senso.
D'altro canto una lotteria basata sul lancio di una moneta in aria fino a quando esce testa è una di una realtà possibile e quindi deve essere possibile calcolare il valore totale di tale lotteria.
La soluzione logica del paradosso, mi riservo di pubblicarla in seguito perché gradirei ricevere "inputs" da eventuali visitatori.