IL TEOREMA DI BAYES E LA NEVE

Una ricerca incompleta

Un ricercatore potrebbe ragionevolmente interessarsi solo alle giornate nevose, escludendo dalle sue osservazioni i giorni sereni e quelli piovosi. Qualcuno potrebbe giustamente osservare che, se è vero che nelle giornate nevose si verificano alcune condizioni metereologiche particolari, non è vero l’inverso. Campi di alte pressioni, venti settentrionali e basse temperature non sempre garantiscono abbondanti nevicate. Detto questo, non è però né assurdo, né impossibile né tanto meno disonesto stimare la probabilità inversa, cioè la probabilità che, al presentarsi di alcune condizioni metereologiche favorevoli, si verifichino precipitazioni nevose.

In pratica, nota la probabilità P(N) di nevicate in una certa località e nota la probabilità di avere condizioni favorevoli alla neve quando si verificano nevicate P(CF/N), è sempre possibile stimare la probabilità inversa , cioè la probabilità che, date condizioni favorevoli, si verifichino precipitazioni nevose P(N/CF). Indicata infatti con P(SN) = 1 –P (N) la probabilità che non nevichi, per il teorema di Bayes si ha:

P(N/CF) = [P(N) *P(CF/N)]/[ P(N) *P(CF/N) + P(SN) *P(CF/SN)]

La formula richiede solo che si stimi P(CF/SN) cioè la probabilità che, in assenza di neve, si possano avere condizioni favorevoli alla neve.

L’aver preso in considerazione solo le giornate nevose non incide né sulla probabilità di nevicate P(N) né tanto meno sulla probabilità che, in caso di nevicata, siano presenti alcune condizioni metereologiche P(CF/N). L’aver trascurato di esaminare le giornate “non nevose” non rende quindi né assurdo né impossibile né indeterminato il tentativo di stimare la probabilità inversa P (N/CF), a patto di prendere in considerazione un ampio "range" di valori per P(CF/SN) cioè per la probabilità che, in assenza di neve, siano presenti condizioni climatiche ad essa favorevoli. In alcuni casi la dispersione dei risultati trovati sarà molto alta, mentre in altre circostanze la probabilità inversa varierà molto poco al variare di P(CF/SN)

L’invarianza dei risultati in particolari condizioni (un semplice esempio)

In una stazione metereologica antartica la probabilità di nevicate è pari al 98% essendo "nevosi" mediamente 357 giorni su 365, mentre la probabilità di assenza di neve è pari appena al 2% essendo "non nevosi" mediamente 8 giorni su 365. Considerando le sole giornate nevose si osservano, la mattina, condizioni favorevoli alla neve in 311 giorni su 357 cioè nell’87% dei casi. È evidentemente possibile che condizioni favorevoli alla neve si siano presentate anche in alcuni giorni non nevosi. Il ricercatore non si è però occupato di questi giorni ma ha concentrato la propria attenzione sui giorni nevosi. La probabilità che anche nei giorni non nevosi ci siano state condizioni favorevoli alla neve è evidentemente compresa tra 0 e 1 (cioè tra lo 0% ed il 100%).

La probabilità che, date alcune condizioni favorevoli, nevichi può essere facilmente ricavata utilizzando la formula di Bayes relativa alla probabilità inversa. Nel nostro caso avremo:

P(N/CF) = [(0,98*0,87)]/[(0,98*0,87) + (0,02*X)]

dove X può assumere tutti i valori compresi tra 0 e 1.

Si può facilmente verificare come i risultati varino molto poco al variare di X. In pratica P(N/CF) sarà compreso tra 0,977 e 1 cioè tra il 97,7% ed il 100%.