1. Non vi è un unico centro per tutte le orbite celesti.
2. Il centro della Terra non è il centro dell'universo, ma soltanto il centro [di attrazione] dei corpi pesanti e dell'orbita lunare.
3. Tutte le orbite circondano il Sole, che si trova, per così dire, nel mezzo di tutte, poichè il centro del mondo è vicino al Sole.
4. Il rapporto tra la distanza tra il Sole e la Terra e l'altezza del firmamento, è minore del rapporto tra il raggio della Terra e la distanza del Sole dalla Terra, in tal guisa che la distanza del Sole dalla Terra è insensibile [piccolissima] rispetto all'altezza del firmamento.
5. Ogni moto che paia appartenere al firmamento non trae origine da esso ma dalla Terra. Perciò la Terra, con gli elementi nelle sue vicinanze, compie una completa rotazione attorno ai suoi poli fissi, mentre il firmamento, o ultimo cielo, permane immoto.
6. I moti che ci sembrano propri del Sole, non traggono origine da esso, ma dalla Terra e dalla nostra orbita [terrestre], con la quale noi ci rivolgiamo attorno al Sole, come ogni altro pianeta. Di conseguenza la Terra è trasportata secondo diversi moti.
7. I moti retrogradi e diretti che ci appaiono per i pianeti, non sono da loro causati, ma dalla Terra. Il solo moto della Terra è sufficiente a spiegare una gran messe di irregolarità nei cieli.

Le distanze dei pianeti inferiori dal Sole vennero calcolate da Copernico risolvendo il triangolo rettangolo avente per vertici Sole, Terra e pianeta alla massima elongazione. Copernico pone eguale a 1 la distanza Terra-Sole, dopo di che, misurati gli angoli di massima elongazione a, si ha SV = sen(a). Copernico ottenne per Mercurio la distanza dal Sole di 0.3763 e per Venere 0.7193 (i valori reali sono circa rispettivamente 0.3871 e 0.7233).

Per il calcolo delle distanze dei pianeti superiori Copernico ricorre all'angolo che oggi chiamiamo di parallasse annua del pianeta (che Copernico chiamava prostapheresis orbis), cioè l'angolo che potrebbe essere definito come quello sotto il quale, dal piede del parallelo di latitudine del pianeta è vista la distanza Terra Sole. Più propriamente è la differenza tra le longitudini geocentrica ed eliocentrica del pianeta esterno. (T e P siano due posizioni simultanee della Terra e di Saturno, mentre S è il Sole. ^TP = lG = longitudine geocentrica Saturno. ^SP = lE = simultanea longitudine eliocentrica Saturno. TPS = PTP' = p = angolo di parallasse annua sopra definito. Si ha: lE = lG - p).

Tycho Brahe

Tycho Brahe (1546 - 1601) merita una menzione particolare perchè raggiunse nel suo tempo un livello insuperato nella precisione delle osservazioni astronomiche ad occhio nudo. Egli fece veramente della scienza dell'osservazione astronomica una regola di vita assoluta. E, come è universalmente riconosciuto, questa precisione non fu fine a sé stessa, ma costituì uno dei fattori indispensabili che consentirono a Keplero di arrivare alla verità. Di famiglia aristocratica, nacque a Knudstrup, in una regione allora appartenente alla Danimarca, ma oggi alla Svezia meridionale. La famiglia intendeva avviarlo alla carriera diplomatica, ma il ragazzo, che nel 1560 era rimasto affascinato dall'osservazione di un'eclisse di Sole, durante gli studi di diritto a Lipsia coltivò privatamente l'astronomia.

IL SISTEMA TICONICO Un argomento (che partiva da una premessa erronea) che Brahe usava per confutare l'eliocentrismo puro era il seguente. Secondo le concezioni tradizionali, una stella di terza grandezza aveva un diametro apparente di circa 1' (questa era la premessa erronea, dovuta al fatto che l'occhio umano tende a far apparire più grandi gli oggetti molto luminosi). Allora Brahe diceva: se la Terra circola attorno al Sole, poichè non si riesce a riscontrare alcuna parallasse annua, si ha che da una stella il raggio dell'orbita terrestre appare grande tanto quanto dalla Terra appare grande una stella. Di conseguenza, se le stelle di terza grandezza hanno diametro pari al diametro dell'orbita terrestre, le stelle più luminose sono ancora enormemente più grandi. Evidentemente non si poteva accettare ciò. La figura dà schematicamente il sistema di Tycho. Con la Terra al centro del cosmo, Luna e Sole ruotano attorno alla Terra su orbite circolari. Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno circolano a loro volta intorno al Sole. Anche le stelle fisse ruotano intorno alla Terra. Si trattò, evidentemente, di un tentativo di conciliazione tra le idee antiche e le nuove. D'altronde Tycho non elaborò il suo sistema fino a farne una teoria planetaria completa come quelle di Tolomeo e Copernico. Ma ne aveva l'intenzione perchè avrebbe voluto farlo in un'opera dal titolo Theatrum astronomicum.

Importante fu anche l'opera di Brahe nella progettazione e costruzione di strumenti astronomici. Notevoli tra questi furono un grande quadrante murale e un grande sestante fisso. Il primo consisteva di un quadrante di ottone di sei piedi di raggio, con graduazione di dieci secondi di arco, fissato, come al solito, su un muro orientato per meridiano. L'osservatore disponeva di un traguardo mobile lungo il quadrante che, nell'istante del transito meridiano dell'oggetto da osservare, veniva puntato su un traguardo fisso. Il grande sestante fisso, che consentiva la misura dell'angolo tra due astri comunque orientati, oppure l'altezza di un astro, anch'esso del raggio di circa sei piedi, era montato su un giunto a snodo che consentiva una grande libertà di orientamento.

L'osservazione al sestante veniva eseguita da due operatori, uno dei quali osservava uno dei due astri attraverso un traguardo fisso, mentre l'altro operatore osservava l'altro astro attraverso un'alidada, imperniata al centro del sestante e mobile lungo la graduazione. Dopo aver costruito il complesso dell'osservatorio di Uranienburg, necessitando di sistemare ulteriori strumenti, Tycho costrui, nelle vicinanze di Uranienburg un secondo complesso che chiamò Sternenburg. Si può senz'altro affermare che l'attrezzatura astronomica di cui Tycho dotò il suo osservatorio raggiunse un grado ineguagliato all'epoca.

Brahe risolse in maniera definitiva anche il problema della spiegazione della variabilità dell'obliquità dell'eclittica. Questo problema aveva a che fare con la questione, lungamente dibattuta, della variabilità delle latitudini delle stelle. Nella meccanica celeste, abbiamo visto che il secondo fenomeno è conseguenza del primo. Abbiamo visto che sopra lunghi periodi di tempo (migliaia di anni) il movimento di nutazione cui è soggetto l'asse di rotazione terrestre consiste di una piccola oscillazione verso sud e verso nord, ma, in periodi di tempo relativamente più brevi il movimento si esplica in un solo senso: dai tempi della Grecia classica fino ai nostri giorni l'eclittica è stabilmente variata in posizione come è indicato in figura, abbassandosi verso sud in prossimità del solstizio estivo, e innalzandosi verso nord in prossimità del solstizio invernale. Dall'epoca di Anassimandro fino ai nostri giorni, l'obliquità è diminuita di circa mezzo grado. Ciò ha fatto sì che le latitudini celesti delle stelle in prossimità del solstizio estivo siano aumentate (e alcune in latitudine sud siano passate in latitudine nord), mentre in prossimità del solstizio invernale è avvenuto il contrario.

Giovanni Keplero

La sostanziale innovazione apportata da Copernico riguardava la cosmologia. Per lui la strutturazione astronomica del cosmo restava sempre dipendente da epicicli e da moti circolari. Nel 1609 invece Keplero era arrivato a due importanti conclusioni effettivamente rivoluzionarie da un punto di vista astronomico-matematico: (1) le orbite percorse dai pianeti erano ellissi e (2) le velocità dei pianeti non erano uniformi. Johannes Kepler era nato nel 1571 a Weilderstadt, vicino a Stuttgart, nel Württemberg. Aveva iniziato studi di filosofia e teologia all'università di Tübingen. E non si può dire che questa scelta non obbedisse a certe sue intime inclinazioni, perchè per tutta la vita manifestò spesso, accanto alla scientificità stretta dei calcoli matematici, degli scantonamenti verso interessi con forti connotazioni spirituali. E' un tratto del carattere di Keplero che suscita la nostra incondizionata ammirazione, specialmente se si tiene conto delle tribolazion (salute malferma, persecuzioni religiose, difficoltà finanziarie) che afflissero la sua vita ma che non gli impedirono di essere marito e padre affettuoso.

Ebbe la fortuna di capitare sotto lo sguardo di un eccellente insegnante di astronomia, Michael Mästlin, convinto copernicano di cui abbiamo già parlato, che riuscì a fargli abbandonare la carriera ecclesiastica, convincendolo ad accettare un posto di insegnante di matematica a Graz, in Austria. Il suo primo incontro con problemi astronomici lo ebbe a Graz, nello studio di successive congiunzioni di Giove e Saturno: esaminandone un gran numero e riportandole in uno schema come quello della figura, fu colpito dal fatto che, dopo tre congiunzioni, queste si ripetevano sfasate nello zodiaco di un angolo costante in senso diretto. I segmenti tracciati tra i successivi punti di congiunzione tra i due pianeti davano luogo a un cerchio. Altro particolare che colpì Keplero fu la constatazione che il rapporto tra i raggi del cerchio zodiacale e del cerchio risultante dalle congiungenti era all'incirca eguale al rapporto tra i raggi delle orbite di Saturno e Giove secondo la teoria copernicana. Queste scoperte furono descritte da Keplero nella sua prima pubblicazione Misterium cosmographicum

Abbiamo qui un primo esempio di inclinazione verso argomentazioni metafisiche da parte di Keplero. Avendo poi tentato (senza successo) di trovare altre combinazioni astronomiche interessanti con figure piane, pensò di ricercare queste combinazioni nella geometria solida. Incominciò con il convincersi che poteva essere stabilita una associazione tra i sei pianeti e i cinque solidi regolari (un solido regolare è uno avente tutte le facce eguali, tutti gli spigoli della stessa lunghezza e tutti i vertici simili). Essi erano noti agli antichi che li avevano inseriti nella struttura del cosmo. Pitagora aveva usato le figure dei cinque solidi regolari per rappresentare i quattro elementi e il cosmo: il cubo era associato alla Terra, il tetraedro al fuoco, l'ottaedro all'aria, l'icosaedro all'acqua, il dodecaedro all'universo stesso. Anche Platone aveva eseguito la stessa associazione nel Timeo. Per Keplero l'associazione andava realizzata nella funzione spaziatrice che le cinque figure solide regolari dovevano svolgere tra le sei sfere planetarie. Attraverso questa integrazione si sarebbe potuto pervenire alle distanze di ogni sfera planetaria dal Sole.

Vediamo ora come si presentava la problematica che Keplero doveva affrontare. Osserviamo la figura 769. Descrive un pianeta che si muove su un'orbita circolare centrata in C.Secondo la teoria copernicana, il Sole andrebbe posto nel punto S e nel punto M si avrebbe il centro del piccolo epiciclo di Marte. Secondo la teoria tolemaica, porre in E il punto equante implica ammettere le due eccentricità CE e CS eguali. Ora, invece, incominciamo con il prendere in considerazione la possibilità che non lo siano. Chiamiamo CS "eccentricità dell'eccentrico", e CE "eccentricità dell'equante". Essendo S eccentrico, il punto M appare muoversi sul cerchio non uniformemente rispetto a S (perfino se M si muovesse sul cerchio con velocità lineare uniforme). Questa variazione di velocità è dovuta alla variabilità della distanza di M da S. Siccome M si muove a velocità angolare uniforme rispetto ad E, poichè anche E è eccentrico, ne consegue che M si muove con velocità lineare non uniforme lungo il cerchio.

Dal sistema copernicano

Particolarmente gravi si manifestarono le discrepanze per opposizioni che avvenivano ai limiti nord e sud dell'orbita di Marte. Si osservi la figura 771. TT' sia la traccia del piano dell'orbita terrestre. MM' la traccia del piano dell'orbita di Marte. Keplero aveva già determinato il valore dell'inclinazione dei due piani, d (1º 50'). Consideriamo un'opposizione che avvenga quando Marte si trova al limite nord, in M. Quindi S, T e M giacciono in un piano (il piano del foglio) che è perpendicolare al piano dell'orbita terrestre.

Scelse come istante di partenza t quello in cui Marte, M, si trovava in opposizione alla Terra, T. Poichè il periodo siderale di Marte è di 1a.88 (687 giorni circa), all'istante t + 1a.88 Marte avrebbe rioccupato la stessa posizione M. La Terra, invece, in questo intervallo, avrebbe compiuto quasi due rotazioni, e si sarebbe trovata approssimativamente in T1. Se T1^ indica la direzione del punto ^, l'angolo ^T1M non è altro che la longitudine geocentrica di Marte.

Poi Keplero passò dall'orbita della Terra a quella di Marte. Una volta stabilita con esattezza la forma dell'orbita terrestre, che risultava quasi circolare, Keplero applicò lo stesso procedimento, ma a rovescio, per determinare l'orbita di Marte. Partì ancora da una opposizione di Marte. Il pianeta si trovava allora in M e la Terra in T. Dopo un intervallo di 1a.88, Marte sarebbe venuto a trovarsi ancora in M, e la Terra in T1.

Applicando dunque questo procedimento a un grande numero di osservazioni fu possibile a Keplero ricavare le distanze di Marte dal Sole. Con esse potè costruire una prima rappresentazione grafica della forma dell’orbita. Questa si rivelò nettamente diversa da quella circolare, presentandosi invece allungata come un ovale tangente nel perielio e nell’afelio al circolo eccentrico. “. . . Orbita planetae non est circulus sed . . .”. Queste furono le parole del De nova astronomia con cui Keplero fece cadere il primo e più assoluto dei falsi principi che avevano per secoli dominato l’astronomia planetaria: quello della forma circolare delle orbite. Anche l'assioma della uniformità dei movimenti si manifestava falso (anzi, tale si era ripetutamente manifestato in precedenza): la velocità del pianeta variava da un valore massimo al perielio a un valore minimo all’afelio. Ultimo trionfo del punto di vista "fisico" di Keplero: il moto dei pianeti non era più il risultato di una elucubrazione geometrica nella quale non ci si preoccupava minimamente di ricercare la causa fisica di esso, perchè Keplero indivuava quella causa in una forza emanante dal Sole il cui effetto doveva variare con la distanza da esso. Keplero continuò le ricerche per giungere a stabilire con precisione la forma dell’orbita. Partendo da una generica forma ovale giunse infine alla conclusione che la forma ellittica si accordava bene con le lunghezze dei raggi vettori indicate dalle osservazioni, purchè il Sole venisse collocato in uno dei fuochi. I due fuochi dell’ellisse assumevano l’ufficio che nell’orbita circolare di Tolomeo, avevano la Terra e l’equante, poichè il Sole faceva l’ufficio della Terra, e l’altro fuoco, dal quale la velocità angolare del pianeta appare costante, faceva l’ufficio dell’equante. Sotto questo aspetto, la cosiddetta "legge delle aree" che oggi è considerata la seconda delle tre leggi, fu chiaramente acquisita da Keplero per prima, prima ancora di aver stabilito la forma delle orbite.

LA "LEGGE DELLE AREE" Le leggi di Keplero vennero da lui scoperte nella successione 2, 1, 3. Quella che chiamiamo seconda legge, o legge delle aree venne da lui scoperta e annunciata per prima. Questo perchè prima della preoccupazione per il tipo di orbita, a Keplero interessava aggredire il problema della variabilità della velocità lungo l'orbita stessa. La legge era enunciata in una forma del tipo: La variabilità della velocità è tale che il raggio vettore (congiungente Sole-pianeta) si muove in modo da descrivere aree eguali in tempi eguali. Essendo le due aree S-1-2 ed S-3-4 eguali, e risultando ovviamente il tratto di orbita 1-2 minore di quello 3-4, la velocità con cui il pianeta percorre il primo deve necessariamente essere minore di quella con cui percorre il secondo. Ciò portava ad abbandonare definitivamente (e finalmente, dopo 2000 anni) qualunque ipotesi di moto uniforme. E ciò faceva rafforzare nella mente di Keplero l'idea della causa fisica produttrice dei moti planetari: una forza insita nel Sole, visto che i suoi effetti si manifestavano in maniera diversa con la sua lontananza.

LA FORMA ELLITTICA Partendo dunque da una forma genericamente ovale, ci vollero molti tentativi prima di arrivare a determinare quale era la figura geometrica che rappresentava con realtà la forma delle orbite. Come abbiamo indicato, egli ricorse a calcoli di triangolazione. Si osservi la figura 773. Il Sole è situato nel fuoco S. Il semiasse maggiore dell'ellisse ha lunghezza a, il semiasse minore, b. I fuochi F e S sono separati dal centro dell'ellisse, C, dalla distanza e•a, dove e è l'eccentricità dell'ellisse. Come è noto, il miglior modo di definire geometricamente i punti di un ellisse è di dire che la somma delle distanze di un suo punto qualsiasi dai due fuochi è una costante di valore pari all'asse maggiore. Dalla figura: FM + SM = 2•a.