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Concetti matematici introduttivi Numeri Reali (a cura di Devis Masini) L'insieme dei numeri reali e' il piu' rappresentativo dell'analisi matematica. Esso possiede due grandi particolarita' :
Inoltre in esso si possono definire operazioni tra i suoi elementi, per questo viene detto campo. Le operazioni fondamentali sono addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione. I numeri reali grazie alle due particolarita' sopra esposte possono essere rappresentati geometricamente tramite una retta detta asse reale, in modo che fra ciascun punto della retta e ciascun numero dell'insieme R vi sia una corrispondenza biunivoca (ovvero ogni punto della retta corrisponde ad uno ed un solo numero reale).
Valore assoluto o modulo : Il valore assoluto di un numero reale x, si indica con |x|, ed e' il numero reale non negativo che soddisfa le relazioni : |x| = x se x>0; |x| = -x se x<0; Elevamento a potenza ed estrazione della radice : La moltiplicazione di un numero per se stesso e' chiamato elevamento a potenza e si indica con il numero stesso avente come apice un numero intero pari al numero di volte in cui il numero viene moltiplicato. Abbiamo quindi :
Per convenzione si pone uguale ad 1 l'elevamento a potenza 0 di qualsiasi numero reale. Nel caso di elevamento a potenze pari, ovvero quando gli apici sono multipli di 2 si ha una particolarita' : come tutti sappiamo la moltiplicazione tra due numeri negativi fornisce un numero positivo sempre; allora l'elevamento a potenze pari da' come risultato sempre un numero positivo, anche quando il numero elevato e' negativo. Tale particolarita' ci servira' per introdurre i numeri immaginari. L'operazione inversa all'elevamento a potenza e' l'estrazione della radice. Consideriamo ad esempio la radice quadrata. Eseguendo la radice quadrata su di un numero detto radicando si ottiene quel numero che elevato al quadrato fornisce il radicando stesso. Ovvero se a e' un certo numero reale ed a2 = b, allora la radice quadrata di b vale a. In realta' quando facciamo la radice quadrata di un numero positivo non otteniamo un solo risultato, bensi' otteniamo due numeri opposti, in quanto un numero positivo puo' essere ottenuto come quadrato di un numero con segno positivo, ma anche del suo opposto avente segno negativo. Abbiamo allora :
Estendendo il ragionamento e' possibile definire anche radici cubiche, radici quarte, …., radici n-esime, come operazioni inverse dei rispettivi elevamenti a potenza. Intervalli : Un intervallo e' un insieme di numeri reali che sono compresi tra due numeri estremi. A seconda che gli estremi appartengano o no all'intervallo si hanno differenti caratterizzazioni di questo :
Quali sono le differenze tra questi due intervalli ? Nell'intervallo chiuso esiste un numero dell'intervallo che e' maggiore di tutti gli altri ( b dell'esempio), cosi' come uno che e' minore (a), nell'intervallo aperto possiamo trovare numeri sempre maggiori dei precedenti senza mai arrivare ad uno maggiore di tutti gli altri. Cio' vale anche per i minori. In pratica ci si avvicina sempre piu' al numero b senza pero' mai raggiungerlo.
Intorni : Si dice intorno di un punto x0 ogni intervallo aperto ]a,b[ contenente x0. Esempio notevole : l'insieme degli x appartenenti all'intervallo ] x0 - d , x0 + d [ ovvero tali che x0 - d < x < x0 + d e' un intorno del punto x0 di cui d e' la semiampiezza.
Numeri immaginari Come gia' abbiamo avuto modo di vedere la radice quadrata di un numero negativo non esiste poiche' non e' possibile ottenere un numero negativo come elevamento al quadrato di qualcosa. Per ovviare a tale impossibilita' si puo' introdurre un insieme diverso dai numeri reali detto quindi Immaginario, avente la caratteristica che i suoi elementi moltiplicati per se stessi forniscono numeri reali negativi. Questa e' l'idea che sta alla base, ora definiamo rigorosamente tale insieme. Per farlo introduciamo la quantita' j tale che j2 = j*j = -1. Si osserva facilmente che j non puo' essere considerato elemento dell'insieme dei Reali in quanto appunto il suo quadrato da un numero negativo. J e' chiamata particella dei numeri immaginari. Moltiplicando ogni numero reale per j si ottiene l'insieme dei numeri Immaginari. A questo punto e' immediato scrivere le seguenti cose :
Come vediamo la radice quadrata di un numero reale negativo e' un numero immaginario sempre. Cosi' come il quadrato di un numero immaginario e' un numero reale negativo.
Funzioni reali di variabile reale Il concetto di funzione e' generale ovvero non applicabile esclusivamente agli insiemi di numeri reali. Senza perdere in generalita' si puo' comunque trattare la questione ragionando a riguardo dei numeri reali, che e' la cosa che piu' interessa nell'analisi matematica legata alla fisica. Se X e Y sono due intervalli di numeri reali si dice che y Î Y e' funzione di xÎX quando e' possibile assegnare una legge per la quale ad ogni elemento di X corrisponde uno ed un solo elemento di Y. Per indicare tale corrispondenza si usa la notazione y = f(x) dove f simbolo di funzione sta ad indicare la legge di corrispondenza, x e' detta variabile indipendente, y variabile dipendente. L'insieme X e' detto dominio della funzione, l'insieme Y e' il codominio. Se ad elementi diversi di X corrispondono elementi diversi di Y allora la funzione si dice biunivoca, e per essa e' possibile definire la funzione inversa assegnando la legge che fa passare da un valore yÎ Y al valore corrispondente xÎ X (cioe' tale che y=f(x)). Esempio : Vediamo un po' di notazioni matematiche : Definizione di funzione : Sia f una relazione tra gli insiemi X e Y, f e' una funzione (f : X à Y) se " x1,x2 Î X f(x1) ¹ f(x2) Þ x1 ¹ x2 (il significato e' : per ogni due numeri appartenenti all'insieme X se essi possiedono due corrispondenti diversi in Y allora, essi sono per forza diversi) Funzione iniettiva : Sia f una funzione tra X e Y, f e' iniettiva se : x1¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) . (cioe' se vale anche l'implicazione inversa della definizione di funzione) Funzione biunivoca o invertibile : Una funzione f e' invertibile se :
Limite di Funzioni Abbiamo visto che e' possibile trovare numeri reali vicini quanto si vuole ad un altro numero reale. Supponiamo che nel numero x=3 la funzione assuma il valore y=15. Possiamo chiederci:
Vedremo che se tale numero e' il 15 cio' significa che la funzione e' continua nel punto x=3. Ma tale numero puo' anche essere diverso. Comunque vada la situazione il numero a cui tende la funzione, per valori del dominio sempre piu' vicini ad uno fissato e' detto limite della funzione. Si indica questo fatto con la scrittura : y=lim xà x0 f(x) oppure f(x)à y per xà x0 e si dice che y e' il limite della funzione f(x) per x che tende a x0. La definizione matematica rigorosa e' la seguente : " e >0 $ d e >0 | xÎ ]x0-d ,x0+d [ Þ f(x)Î ]y-e ,y+e [ Sia y che x0 possono essere numeri finiti ma anche +oo o -oo. La definizione rigorosa si trasforma nei vari casi a seconda di come sono fatti gli intorni da considerare.
Derivata di Funzione reale La derivata di una funzione e' una misura di quanto varia il valore della funzione, per un minuscolo (infinitesimo, piccolo quanto si vuole essendo i reali completi) cambiamento del punto in cui viene calcolata. Prendiamo per esempio due punti del dominio 5 e 10. Supponiamo che la funzione f1 assume il valore 1 nel punto x=5, e 2 nel punto x=10, mentre un'altra funzione f2 assume il valore 1 nel punto x=5, e 4 nel punto x=10. E' immediato pensare che la funzione f2 cresca piu' velocemente di f1 nell'intervallo [5,10]. Possiamo dire che f1 e' variata con una velocita' (2-1)/(10-5)=1/5, mentre quella di f2 e' (4-1)/(10-5)=3/5. Non abbiamo fatto altro che dividere la variazione subita da f indicabile come Df(x) con la lunghezza dell'intervallo considerato Dx, cioe' Df(x)/Dx. Siamo ora arrivati al dunque : se calcoliamo tale rapporto per intervalli Dx sempre piu' piccoli ovvero facciamo il limite per Dx che tende a 0 di Df(x)/Dx allora ricaviamo la derivata della funzione f(x) nel punto generico x. Indichiamo la derivata con df/dx e scriviamo quindi : df/dx=limDxà 0Df(x)/Dx se il limite e' finito La scrittura df/dx sta ad indicare il fatto di considerare variazioni sempre piu' piccole di x quindi infinitesime ottenendo di conseguenza variazioni di f(x). Con parole semplici diciamo che la derivata di una funzione in un punto e' quel numero a cui tende il rapporto tra la distanza della funzione dal valore che essa assume in un punto del dominio e distanze sempre piu' piccole da questo. Uno dei teoremi piu' indicativi e intuitivi dell'analisi matematica e' quello che dimostra che se una funzione e' derivabile in un punto x0 allora e' continua in tale punto. Regole di derivazione : dc/dx=0 con c=costante; d(cf(x))/dx=cdf(x)/dx (d/dx)(f(x)+g(x))=df(x)/dx + dg(x)/dx (d/dx)(f(x)g(x))=g(x)(df(x)/dx) + f(x)(dg(x)/dx) d(xn)/dx=nxn-1 con n intero (d/dx)fn(x)=nfn-1(x)(df(x)/dx) con n intero (d/dx)af(x)=af(x)(ln a)(df(x)/dx) con a>0 ln sta per logaritmo naturale. Differenziale : Il fatto che la derivata e' il limite del rapporto incrementale stabilisce che la funzione f(x) e' approssimabile a meno di una funzione infinitesima nelle vicinanze di un punto x0 con la sua derivata moltiplicata per l'incremento infinitesimo dx cioe' : f(x)=f(x0) + (df(x)/dx)x0Dx + o(x) per xà x0 Il prodotto tra la derivata e l'incremento della x e' il differenziale di f(x) in x0. La funzione o(x) tende a 0 per xà x0. Integrale di funzioni reali |
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