Flavius Magnus Aurelius Cassiodorus, Institutiones divinarum et saecularium litterarum

Liber secundus

De mathematica

21. Mathematica, quam Latine possumus dicere «doctrinalem», scientia est quae abstractam considerat quantitatem. abstracta enim quantitas dicitur, quam intellectu a materia separantes vel ab aliis accidentibus, ut est par, impar, vel ab aliis huiuscemodi, in sola ratiocinatione tractamus. haec ita dividitur:

divisio mathematicae:
arithmetica
musica
geometria
astronomia.

arithmetica est disciplina quantitatis numerabilis secundum se. musica est disciplina quae de numeris loquitur, qui ad aliquid sunt his qui inveniuntur in sonis. geometria est disciplina magnitudinis immobilis et formarum. astronomia est disciplina cursus caelestium siderum, quae figuras contemplatur omnes, et habitudines stellarum circa se et circa terram indagabili ratione percurrit. quas suo loco paulo latius indicamus ut commemoratarum rerum virtus competenter possit ostendi.
22. Modo de disciplinarum nomine disseramus. disciplinae sunt quae, sicuti iam dictum est, numquam opinionibus deceptae fallunt et ideo tali nomine nuncupantur, quia necessariae suas regulas servant. hae nec intentione <crescunt, nec subductione> minuuntur nec ullis varietatibus permutantur, se in vi propria permanentes regulas suas inconvertibili firmitate custodiunt. has dum frequenti meditatione revolvimus, sensum nostrum acuunt limumque ignorantiae detergunt, et ad illam inspectivam contemplationem, si tamen sanitas mentis arrideat, Domino largente perducunt. scire autem debemus Iosephum Hebreorum doctissimum in primo libro Antiquitatum, titulo nono, dicere arithmeticam et astronomiam Abraham primum Aegyptiis tradidisse, unde semina suscipientes, ut sunt homines acerrimi ingeni, excoluisse sibi reliquas latius disciplinas. quas merito sancti Patres nostri legendas studiosissimis persuadent, quoniam ex magna parte per eas a carnalibus rebus appetitus noster abstrahitur, et faciunt desiderare quae, praestante Domino, solo possumus corde conspicere. quocirca tempus est ut de eis singillatim ac breviter disserere debeamus.

IV. De aritmetica.
1. Scriptores saecularium litterarum inter disciplinas mathematicas primam omnium arithmeticam esse voluerunt, propterea quoniam musica et geometria et astronomia, quae sequuntur, indigent arithmeticam ut virtutes suas valeant explicare. verbi gratia, simplum ad duplum, quod habet musica, indiget arithmeticam; <geometria vero quod habet trigonum, quadriangulum, vel his similia, idem indiget arithmeticam;> astronomia etiam quod habet in motu siderum numeros punctorum, indiget arithmeticam; arithmetica vero ut sit, neque musica neque geometria neque 49
astronomia egere cognoscitur. propterea his fons et mater arithmetica reperitur, quam disciplinam Pythagoras sic laudasse monstratur, ut omnia sub numero et mensura a Deo creata fuisse memoraret, dicens alia in motu, alia in statu ita esse formata, ut tamen nulla eorum praeter ista quae dicta sunt substantiam percepissent; credo, trahens hoc initium, ut multi philosophorum fecerunt, ab illa sententia prophetali, quae dicit: omnia Deum mensura, numero et pondere disposuisse.
2. Haec itaque consistit ex quantitate discreta, quae parit genera numerorum nullo sibi communi termino sociata. v enim ad x, vi ad iiii, vii ad iii per nullum communem terminum alterutra sibi societate nectuntur. arithmetica vero dicitur eo quod numeris praeest. numerus autem est ex monadibus multitudo composita, ut iii v x xx et cetera. intentio arithmeticae est docere nos naturam abstracti numeri et quae ei accidunt; ut, verbi gratia, parilitas, imparilitas et cetera.
3. Numerus autem dividitur
in paribus:

pariter par
pariter impar
impariter par

et imparibus:

primum et simplicem
secundum et compositum
tertium mediocrem qui
quodammodo primus et
incompositus, alio vero
modo secundus et compositus

par numerus est qui in duabus partibus aequalibus dividi potest ut ii iiii vi viii x et reliqui. impar numerus est qui in duabus partibus aequalibus dividi nullatenus potest, ut iii v vii viiii xi et reliqui. pariter par numerus est cuius divisio in duabus aequalibus partibus fieri potest usque ad monada, <ut> verbi gratia lxiiii dividuntur in xxxii, xxxii in xvi, xvi in viii, viii in iiii, iiii in ii, ii vero in i et i. pariter impar numerus est qui similiter solummodo in duabus partibus dividi potest aequalibus, ut <x in v,> xiiii in vii, xviii in viiii et his similia. impariter par numerus est qui plures divisiones secundum aequalitatem partium recipere potest, non tamen ut usque ad assem perveniat; ut verbi gratia xxiiii in bis xii, xii in bis vi, vi vero in bis iii, et amplius non procedit. primus de imparibus et simplex numerus est qui monadicam mensuram solam recipere potest, ut verbi gratia iii. v. vii. xi. <xiii.> xvii et his similia. secundus et compositus numerus est qui non solum monadicam mensuram, sed et arithmeticam recipere potest, ut verbi gratia viiii. xv. xxi et his similia. mediocris numerus est qui quodammodo simplex <et> incompositus esse videtur, alio vero modo secundus et compositus, ut verbi gratia viiii ad xv dum comparatus fuerit, primus est et incompositus, quia non habet communem numerum nisi solum monadicum; ad xv vero si comparatus fuerit, secundus est et compositus, quoniam inest illi communis numerus praeter monadicum, id est trinarius numerus, qui novem mensurat ter terni et xv ter quini.

4. Altera divisio de paribus et imparibus:
<Numerus>
aut par est
aut impar
aut superfluus
aut indigens
aut perfectus
superfluus numerus est qui descendit de paribus. is, dum par sit, superfluas partes quantitatis suae habere videtur; ut xii habent medietatem vi, sexta pars ii, quarta pars iii, tertia pars iiii et duodecima 50
pars i, qui omnes summatim fiunt xvi. indigens numerus est qui et ipse de paribus descendit. is quantitatis suae summam partium inferiorem habet; ut viii, cuius medietas iiii, quarta pars ii, octava pars i, quae simul congregatae partes fiunt vii. perfectus numerus est qui tamen et ipse de paribus descendit. is, dum par sit, omnes partes suas simul assumptas aequales habet; ut vi, cuius medietas iii, tertia pars ii, sexta pars i, quae assumptae partes faciunt ipsum senarium numerum.

5. Tertia divisio totius numeri:
Omnis numerus
aut secundum se consideratur
aut ad aliquid
alii sunt aequales
alii inaequales
alii sunt maiores
alii sunt minores
multiplices
superparticulares
superpartientes
multiplices superparticulares
multiplices superpartientes
submultiplices
subsuperparticulares
subsuperpartientes
submultiplices superparticulares
submultiplices superpartientes
per se numerus est qui sine relatione aliqua dicitur, ut iii. iiii. v vi et ceteri similes. ad aliquid numerus est qui relative ad alios comparatur, ut verbi gratia iiii ad ii dum comparatus fuerit, duplex dicitur et multiplex, vi ad iii, viii ad iiii, x ad v; et iterum iii ad i triplex, vi ad ii, viiii ad iii et ceteri. aequales numeri dicuntur qui secundum quantitatem aequales sunt, ut verbi gratia ii ad ii, iii ad iii, x ad x, c ad c et ceteri. inaequales numeri sunt qui ad invicem comparati inaequalitatem demonstrant, ut iii ad ii, iiii ad iii, v ad iiii, x ad vi; et universaliter maior minori aut minor maiori huiusmodi dum comparatus fuerit, inaequalis dicitur. <minor numerus est qui vel replicatione minuitur aut ratione membrorum aut partium> maior numerus est qui habet in se illum minorem numerum, ad quem comparatur, et aliquid plus, ut verbi gratia quinarius numerus trinario numero fortior est, eo quod habeat quinarius numerus in se trinarium numerum et alias partes eius duas; et reliqui tales. multiplex numerus est qui habet in se minorem numerum bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut verbi gratia ii ad unum dum comparati fuerint, duplex est; iii ad i triplex, iiii quadruplex et reliqui. e contra submultiplex numerus est qui intra multiplicem continetur bis aut ter aut quater aut multipliciter, ut verbi gratia unus a duobus bis continetur, a tribus ter, a iiii quater, a v quinquies, et ab aliis multipliciter. superparticularis numerus est, dum fortior continet intra se inferiorem numerum circa quem comparatur, similiter et unam partem eius, ut verbi gratia iii ad ii dum comparati fuerint, continent in se ii et alium i, qui media pars est duorum; iiii ad iii dum comparati fuerint, continent in se iii et alium i, qui est tertia pars trium; iterum v ad iiii dum comparati fuerint, habent in se quaternarium numerum et alium unum, qui quarta pars esse dicitur quaternarii numeri; et ceteri tales. subsuperparticularis numerus est minor, qui continetur in fortiore numero cum alia una parte sua aut media aut tertia aut quarta aut quinta, ut verbi gratia ii ad iii, iii ad iiii, iiii ad v et ceteri. superpartiens numerus est qui in se inferiorem numerum totum continet, et super hoc alteras partes eius duas aut iii aut iiii aut v aut alias, ut verbi gratia v ad iii dum comparati fuerint, habet in se quinarius numerus trinarium numerum et super haec alias partes eius duas; vii ad iiii dum comparati fuerint, habent in se iiii et alias iii partes eius; viiii ad v dum comparati fuerint, habent in se v et alias iiii partes eius. subsuperpartiens numerus est qui continetur in numero superpartienti cum aliquibus partibus suis duabus aut tribus aut pluribus, ut verbi gratia iii continentur a v cum aliis duabus partibus suis; <iiii a vii cum tribus partibus suis;> v a viiii cum quattuor partibus suis.
51
multiplex superparticularis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet in sc totum inferiorem numerum multipliciter cum aliqua parte eius, ut verbi gratia v ad ii dum comparati fuerint, continent in se bis bini cum una parte eius; viiii ad iiii dum comparati fuerint, continent in se bis quaterni et unam partem eius. submultiplex superparticularis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi numerum comparatus fuerit, continetur a fortiore sibi multipliciter cum alia una parte sua, ut verbi gratia ii ad v dum comparati fuerint, continentur ab eo bis cum una parte sua. multiplex superpartionalis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet eum multipliciter cum aliis partibus eius, ut verbi gratia viii ad iii dum comparati fuerint, continent in se bis terni cum aliis duabus partibus eius; xiiii ad vi dum comparati fuernt, continent intra se bis seni cum aliis duabus partibus eius; xvi ad vii dum comparati fuerint, continent eum bis cum aliis duabus partibus eius; xviiii ad viii dum comparati fuerint, continent intra se bis viii cum aliis tribus partibus eius. submultiplex superpartionalis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi comparatus fuerit, continetur ab eo multipliciter cum aliquibus partibus suis, ut verbi gratia iii ad viii continentur bis cum duabus partibus suis; iiii ad xv continentur <tertio> cum tribus partibus suis.

6. Sequitur quarta divisio totius numeri:
<Numeri>
aut discreti sunt
aut continentes
lineales
superficiosi
solidi
discretus numerus est qui a discretis monadibus continetur, ut verbi gratia iii a iiii, v a vi et reliqui. continens numerus est qui a coniunctis monadibus continetur, ut verbi gratia trinarius numerus, si in magnitudine intellegatur, id est in linea aut spatium aut solidum, dicitur continens; similiter quaternarius et quinarius numeri. linealis numerus est qui inchoans a monade linealiter scribitur usque ad infinitum, unde alpha ponitur pro designatione linearum, quoniam haec littera unum significat apud Graecos - aaa. superficialis numerus est qui non solum longitudine sed et latitudine continetur, ut
trigonus numerus,
quadratus numerus,
quinquiangulus numerus,
circulatus numerus,
et ceteri qui semper in superficie continentur.
trigonus numerus est ita:
a
a a
a a a.
quadratus numerus est ita
aaa
aaa
aaa.
quinquiangulus ita
a
a a
a a.
circularis numerus est qui, dum similiter multiplicatus fuerit, a se inchoans ad se convertitur, ut verbi gratia quinquies quini xxv est ita ... ita et in senario contingit ut sexies seni xxxvi et sexies xxxvi ccxvi.
solidus numerus est qui longitudne et latitudine vel altitudine continetur, ut sunt pyramides, qui in modum a flammae consurgunt ita ... cybi, ut sunt tesserae, ita ... spherae, quibus est aequalis
52
undique rotunditas, ita ...
sphericus autem numerus est qui a circulato numero multiplicatus a se inchoans ad se convertitur, ut verbi gratia quinquies quini xxv; hic circulus dum in se ipsum multiplicatus fuerit, facit spheram, id est quinquies xxv cxxv.

7. His igitur rebus sollicita mente tractatis, memento quod haec discplina ideo ceteris antefertur, quonam ipsa, sicut superius dictum est, ut sit, nullius alterius indiget disciplinae; reliquae vero quae sequuntur, sicut eius iam qualitas virtutis ostendit, ut sint atque subsistant, indigent arithmetica disciplina. quam apud Graecos Nicomachus diligenter exposuit. hunc prius Madaurensis Apuleius, deinde magnificus vir Boethius Latino sermone translatum Romanis contulit lectitandum; quibus, ut aiunt, si quis saepius utitur, quantum hominibus fas est, lucidissima procul dubio ratione perfunditur. datum est etiam nobis ex magna parte sub ipsa vivere disciplina; quando horas per eam discimus, quando mensuum curricula supputamus, quando spatium anni redeuntis agnoscimus, per numerum siquidem ne confundamur instruimur. tolle saeculo computum, et omnia ignorantia caeca complectitur; nec differre potest a ceteris animalibus, qui calculi non intellegit quantitatem. et ideo tantum gloriosa res est, quantum vitae nostrae necessaria comprobatur; nam per ipsam et substantia nostra certissime discitur, et expensarum modus libratis supputationibus rogatur. numerus est qui cuncta disponit; per ipsum discimus quid primo, quid secundo facere debeamus.

8. Et si causam tantae re suptili praescrutatione discutias, nec miracula Domini a virtute numeri redduntur aliena. primus ad unum pertinet Deum, sicut in Pentateucho legitur: audi, Israel, Dominus Deus tuus Dominus unus est. secundus ad duo pertinet Testamenta, quod ait in Regum: Et fecit in Dabir duo cherubin decem cubitorum magnitudine. postremo totius spei nostrae suavissimus fructus in sancta Trinitate repositus est, non quod ipsa sub numero sit, sed illa numeri utilitatem potentia suae maiestatis ostendit. in essentia quidem Divinitatis monas intellegitur, in personis vero trinitas comprobatur; legitur enim in epistula Iohannis: Tria sunt quae testimonium perhibent, aqua, sanguis et spiritus. de quattuor evangeliis etiam in Ezechiel legitur: Et ex medio eorum similitudo quattuor animalium. quintus numerus ad quinque libros Moysi noscitur pertinere, sicut in Apostolo legitur: In ecclesia volo quinque verba sensus eloqui. sexto vero die Dominus hominem fecit ad imaginem et similitudinem suam. nam et ipsum Spiritum sanctum dicimus et credimus septiformem; - et ut res summae atque omnipotentissimae intellegantur, numerus nobis necessarius invenitur. 

VI. De geometrica

1. Nunc ad Geometriam veniamus, quae est descriptio contemplativa formarum, documentum etiam visibile philosophorum; quod ut praeconiis efferant, Iovem suum in operibus propriis geometrizare testantur. quod nescio utrum laudibus an vituperationibus applicetur, quando quod illi pingunt in pulvere colorato, Iovem facere mentiuntur in caelo. quod si vero Creatori et omnipotenti Domino salubriter applicetur, potest haec sententia forsitan convenire veritati - geometrizat enim, si fas est dicere, sancta Trinitas, quando creaturis suis, quas hodieque fecit existere, diversas species formulasque concedit; quando cursus stellarum potentia veneranda distribuit, et statutis lineis facit currere quae moventur certaque sede quae sunt fixa constituit. quicquid enim bene disponitur atque completur, potest disciplinae huius qualitatibus applicari.
Geometria latine dicitur terrae dimensio, quoniam per diversas formas ipsius disciplinae, ut nonnulli dicunt, primum Aegyptus dominis propriis fertur esse partitus; cuius disciplinae magistri mensores ante dicebantur. sed Varro, penitissimus Latinorum, huius nominis causam sic extitisse commemorat, dicens prius quidem dimensiones terrarum terminis positis vagantibus ac discordantibus populis pacis utilia praestitisse; deinde totius anni circulum menstruali numero fuisse partitum, unde et ipsi menses, quod annum metiantur, edicti sunt. verum postquam ista reperta sunt, provocati studiosi ad illa invisibilia cognoscenda coeperunt quaerere quanto spatio a terra luna, a luna sol ipse distaret, et usque ad verticem caeli quanta se mensura distenderet; quod peritissimos geometras assecutos esse commemorat. tunc et dimensionem universae terrae probabili refert ratione collectam; ideoque factum est ut disciplina ipsa Geometria nomen acciperet, quod per saecula longa custodit. unde Censorinus in libro quem scripsit ad Quintum Cerellium, spatia ipsa caeli terraeque ambitum per numerum stadiorum distincta curiositate descripsit; quem si quis recensere voluerit, multa philosophorum mysteria brevi lectione cognoscit.
 

2. Geometria vero est disciplina magnitudinis immobilis et formarum. geometria dividitur:

in planum
in magnitudinem numerabilem
in magnitudinem rationalem et irrationalem
in figuras solidas.

planae figurae sunt quae longitudine et latitudine continentur. numerabilis magnitudo est quae numeris arithmeticae dividi potest. magnitudines rationales et irrationales sunt - rationales quorum mensuram scire possumus, irrationales vero quorum mensurae quantitas cognita non habetur. figurae solidae sunt quae longitudine, latitudine et altitudine continentur.
 

3. His partibus atque divisionibus totius geometriae disciplina tractatur, et numerositas illa formarum, quae sive in terrestribus sive in caelestibus est, tali expositione concluditur. cuius disciplinae apud Graecos Euclides, Apollonius, Archimedes nec non et alii scriptores probabiles extiterunt; ex quibus Euclidem translatum Romanae linguae idem vir magnificus Boethius edidit. qui si diligenti cura relegatur, hoc quod praedictis divisionibus apertum est manifestae intellegentiae claritate cognoscitur.