Somma e prodotto di numeri random
Mauro Cerasoli - 20.12.00

I computer, in particolare la TI-92, come abbiamo già detto, dispongono di un generatore di numeri random, cioè di v.a. uniformi su [0,1]. L'utente può richiedere più volte un numero random e ottenere una sequenza R1, R2, ..., Rn di random tra loro indipendenti. Il significato di indipendenza è dato dalla seguente definizione
Due numeri random R1 e R2 si dicono indipendenti se

P(R1 £ p1, R2 £ p2) = p1 p2

per ogni p1, p2 appartenenti a [0, 1].
Cioè la p. che il primo numero random non superi un numero fissato p1, e che il secondo non superi un altro numero fissato p2, è il prodotto p1 p2. Da un punto di vista geometrico, questa definizione dice che, riportati R1e R2 su assi cartesiani, essi sono tra loro indipendenti quando la p. dell'evento (R1£ p1, R2£ p2) coincide con l'area del rettangolo di lati p1 e p2


Possiamo perciò dire che la scelta a caso di due numeri random corrisponde, dal punto di vista geometrico, alla scelta a caso di un punto nel quadrato di lato 1 (o quadrato unitario). Ciò vuol dire che se vengono estratti i numeri R1e R2, allora la coppia (R1, R2)individua un punto a caso nel quadrato unitario. Se, ad esempio, R1 assume il valore x ed R2 assume il valore y, allora è stato scelto a caso, nel quadrato unitario, il punto (x, y). In definitiva, la nozione di indipendenza dice che R1e R2 sono indipendenti quando la p. che il punto (R1, R2) cada nel rettangolo di lati p1 e p2 risulta uguale all'area del rettangolo. Il discorso si potrebbe estendere a più di due numeri random indipendenti (per esempio con tre abbiamo un punto a caso nel cubo di lato uno, o cubo unitario), ma preferiamo restare nello spazio a due dimensioni, cioè nel piano, e trattare solo coppie ordinate di numeri random. Da ora in poi, due numeri random saranno per ipotesi sempre indipendenti.
Consideriamo allora una v.a. X generata da due numeri random R1e R2 mediante una funzione g di due variabili X = g(R1, R2). In analogia con il significato dell'area del rettangolo precedente, e con quello delle lunghezze nella distribuzione uniforme, si potrebbe dimostrare il seguente teorema.

Per ogni numero reale t la probabilità dell'evento

(X £ t) = (g(R1, R2) £ t)

è l'area della regione compresa nel quadrato unitario e definita dall'insieme
{(x,y): 0<x<1, 0<y<1, g(x,y)£ t }.


Esempio 1 . L'appuntamento Due fidanzati si danno appuntamento a mezzanotte per andare in discoteca. Decidono che ciascuno, appena arrivato, aspetterà l'altro al massimo per 10 minuti, dopo di che se ne andrà per i fatti propri. A causa del traffico intenso, ma anche per altri motivi aleatori, entrambi arrivano a caso tra mezzanotte e l'una, indipendentemente l'uno dall'altro. Con quale p. i due fidanzati passeranno insieme la nottata?
Per risolvere questo problema possiamo supporre che gli istanti di arrivo dei due siano numeri random R1e R2. Questo è possibile se assumiamo l'ora, tra mezzanotte e l'una, come unità di misura e quindi come intervallo [0,1]. Poiché i due aspetteranno al massimo per 10 minuti, cioè per 1/6 di ora, il loro incontro avverrà se la differenza R1- R2 tra gli istanti di arrivo, in valore assoluto, non supera 1/6. In altre parole, considerata la variabile aleatoria X = R1- R2, stiamo cercando la p. dell'evento (x £ 1/6) = (|R1- R2| £ 1/6). La regione del quadrato unitario costituita dai punti (x, y) che soddisfano la disequazione |x - y| £ 1/6 è colorata in fig.2.


La sua area è uguale a quella del quadrato meno le aree dei due triangoli, cioè 1- (1-1/6)2 =1 - 25/36 = 11/36.

Somma di numeri random Le lunghezze dei lati di un rettangolo sono scelte a caso indipendentemente nell'intervallo [0, 1]. Con quale p. il semiperimetro non supererà un valore t fissato?
Consideriamo la v.a. X = R1 + R2 uguale al semiperimetro, quando R1 ed R2 sono le lunghezze dei due lati. Per trovare P(R1 + R2 £ t) bisogna distinguere i casi: 0<t<1 e 1<t<2, in quanto, il semiperimetro sarà certamente compreso nell'intervallo [0, 2].


Dalle figure 3 e 4 è possibile verificare che la regione del quadrato unitario, costituita dai punti (x, y) tali che x + y £ t, vale rispettivamente t2/2, quando 0 < t £ 1 , e [1 - (2 - t2 )/2 ] quando 1 < t £ 2, cioè


Prodotto di numeri random Trovare la p. che l'area del rettangolo dell'esempio precedente non superi un valore t fissato.


Se X = R1 R2 è l'area aleatoria del rettangolo, la regione colorata in fig.5 è costituita dall'insieme dei punti (x,y) tali che xy < t, ovvero y < t/x. Essa è la parte del quadrato unitario che giace sotto l'iperbole di equazione y = t/x, con t costante. L'area di questa regione vale


Pertanto la risposta al problema è P(R1R2 £ t) = t - tlog t per 0 £ t £ 1.
Si noti che per t = 1 abbiamo P(R1R2 £ 1) = 1 come era da aspettarsi in quanto l'area, prodotto di due numeri compresi tra 0 e 1, non può superare 1.