Significato geometrico della media di una variabile aleatoria
Mauro Cerasoli - 17.12.00
Una v.a. X finita può essere generata dal numero random R (variabile uniforme su [0,1]) mediante una funzione g. Infatti se X assume i valori vi con p. pi , si può pensare che assume valore v0 se R cade nell'intervallo [0, p0), assume valore v1 se R cade nell'intervallo [p0, p0 + p1) e, infine, assume il valore vn nell'intervallo [1-pn,1]. Si definisce cioè la funzione X = g(R) così come è illustrata in fig.1.
Infatti, essendo p0 + p1 +...+ pn, = l, per ogni k = 0,1, 2, ..., n, si ha
pk =P(X=vk) =P(R <pk).
Geometricamente, è come se trasformassimo l'intervallo [0, 1] nella circonferenza unitaria il cui cerchio resta diviso in n settori circolari di arco pk.
La media di X vale
<X>= v0p0 + v1p1 + ... + vnpn.
Si può dare una interpretazione geometrico-analitica di questa formula osservando la figura 1 in cui X è stata generata da R:la media di X è l'area (in senso relativo, cioè con il segno) della regione costituita dagli n+ 1 rettangoli di rispettive basi pk e altezze vk. Ma allora, per analogia con quanto appena detto nel caso finito, se X = g(R)è una qualunque v.a. generata da R mediante la funzione g, definiamo come sua media <X>l'area della regione racchiusa dalla curva di equazione y = g(x)sull'intervallo [0, 1] (fig. 2).
Così <X> è l'area di tutta la regione colorata in figura, tenendo conto che le singole aree vanno prese coi loro segni (positivo quelle al di sopra dell'asse orizzontale, negativo quelle al di sotto). Dall’Analisi Matematica è noto che l'area di questa regione, con la convenzione dei segni, si esprime con l'integrale definito tra 0 e 1 della funzione g(x). Vale perciò la seguente proprietà.
Sia g(R) una v. a. generata dal numero random R mediante la funzione g.
La media di g(R) è ò[0,1]g(x)dx, quando tale integrale esiste finito.
Abbiamo così l’interpretazione probabilistica dell’integrale di una funzione g sull’intervallo [0,1]. Inoltre la media di una somma di v.a. è uguale alla somma delle rispettive medie, e la media di una costante per una v.a. e uguale al prodotto della costante per la media della v.a. In altri termini, la proprietà di linearità della media, per v.a. generate da un numero random, si riduce a quella dell'integrale, cioè
