ELEMENTI DI STOCASTICA
di Mauro Cerasoli ©

Alla memoria del mio caro maestro
Gian Carlo Rota

1. SPAZI DI PROBABILITÀ SPECIALI

1.1 Premessa
Queste note raccolgono appunti delle lezioni svolte da Mauro Cerasoli nell’A.A. 2000-2001 per il corso di Calcolo delle Probabilità, agli studenti di Matematica, presso la Facoltà di Scienze dell’Università degli Studi di L’Aquila. Gli argomenti sono per lo più concreti e lo stile della didattica si preoccupa più dell’aspetto intuitivo ed applicativo della materia che dell’aspetto formale-rigoroso.
Per una introduzione rigorosa al Calcolo delle Probabilità si veda la voce Probabilità di Kung-Rota nella Enciclopedia del Novecento della Treccani. Gli esercizi segnalati alla fine dei paragrafi si riferiscono al volume Problemi Risolti di Calcolo delle Probabilità della bibliografia.

1.2 Fenomeni casuali, spazi campione, variabili aleatorie
Il concetto primitivo fondamentale della teoria delle probabilità è quello di fenomeno casuale (= f.c.) o prova, esperimento. Esso non viene definito ma possiamo dire, intuitivamente, quanto segue: un f. c. è un fenomeno che possiamo osservare, di cui è impossibile predire l’esito in modo certo. A seconda dei casi, useremo, invece dell’aggettivo casuale, il termine aleatorio (dal latino alea = dado) o stocastico (dal greco sto¢coV = bersaglio, mira, congettura). Diamo alcuni esempi di f.c.
a) il gesso che cade; (in quanti pezzi si farà?). Lasciando cadere un gesso sul pavimento, non possiamo predire (= indovinare) a priori in quanti pezzi si frantumerà
b) il lancio di una moneta (che faccia uscirà?); se la moneta ha una faccia c (=croce) ed un’altra t (=testa), il suo lancio è un f. c. (non sappiamo che faccia uscirà); se però la moneta ha due facce c, oppure due facce t, il suo lancio non è più un f.c.; sappiamo che faccia uscirà.
c) il lancio di un dado (che faccia uscirà?); se il dado ha sei facce diverse


il lancio è un f. c. ; non lo è se il dado è di questo tipo


cioè ha tutte le facce uguali.
Per questi fenomeni casuali possiamo descrivere lo spazio W, cioè l’insieme di tutti i possibili risultati o esiti dell’esperimento. Nel lancio di una moneta, W = {croce, testa} o più brevemente {c,t}; nel lancio di un dado usuale W = . Questo insieme viene chiamato spazio campione (= s.c.) del f. c. Si badi che f.c. diversi possono avere lo stesso s.c. Se ne deduce che la teoria degli insiemi è utile per lo studio delle probabilità. In generale un sottoinsieme, o parte, dello spazio campione, viene detto evento. Ad esempio, nell’estrazione di una carta da un mazzo di carte napoletane, l’insieme costituito dai sette e dalla matta è un evento: è quello a cui pensa il giocatore, in attesa di ricevere la prima carta dal mazziere, quando gioca a 7 e mezzo. Per una migliore comprensione della teoria della probabilità conviene conoscere bene le regole dei giochi da cui essa è nata: dadi, scopa, tresette, briscola, poker, tombola, lotto, roulette, ecc.
Un altro concetto fondamentale della teoria delle probabilità è quello di variabile aleatoria. Una variabile aleatoria X (= v.a.), o semplicemente alea, è una particolare funzione da W verso l’insieme dei numeri reali R. In altre parole è una variabile che, in seguito ad una prova, assume un valore numerico che non si può stabilire in anticipo. Sono esempi di v. a.:
a) il numero di pezzi in cui si fa il gesso caduto;
b) il numero di teste uscite nel lancio di una moneta;
c) il punto uscito nel lancio di un dado;
d) il valore di una carta nel gioco della briscola (o del tresette;
e) il punto raggiunto in un tiro al bersaglio;
f) il numero di chiamate giornaliere in una centrale telefonica;
g) il peso di un chicco di grano scelto a caso;
h) l’altezza di una persona scelta a caso, ecc.
Finora abbiamo introdotto, come nella teoria assiomatica di Kolmogorov, il concetto di f.c. e di s.c. Da un punto di vista didattico, a questo punto, conviene procedere andando al particolare e specificare subito quali sono gli s. c. fondamentali, ovvero quelli più importanti sia dal punto di vista teorico che applicativo. Il caso vuole, fortunatamente, che in un primo approccio alla probabilità si possa limitare il discorso a cinque spazi fondamentali che indicheremo con W1, W2, W3, W4, W5. Facendo un’analogia con la geometria possiamo dire che, volendo parlare di poligoni, fissiamo dapprima la nostra attenzione ai triangoli, al quadrato, al rettangolo, al parallelogramma e al trapezio. Poi parleremo di altri poligoni (se necessario!). Il termine a caso è usato all’inizio in modo intuitivo e sarà chiarito quando introdurremo il concetto di misura di probabilità.

1.3 Spazio finito W1, s
L’esperimento consiste nell’estrarre a caso un elemento da un insieme finito
W1 = { w1, w2,..., ws, } s³ 2
Fenomeni casuali modellati con W1 sono:
a) lancio di una moneta: {c,t}, s = 2;
b) lancio di una dado: {} s = 6;
c) estrazione di una carta napoletana, s = 40;
d) estrazione di un numero al gioco del lotto:{1,2,...,90}, s = 90;
e) si getta a caso una biglia in una scatola, scelta fra le s ;


f) si estrae a caso una pallina fra le s che sono nell'urna;


la v.a. di base è D (= dado) così definita: D(wk) = k. La scrittura (D = k) indica l’evento: "è uscito l’elemento wk".
Più in generale (spazio di Maxwell-Boltzmann) si gettano a caso n biglie in s scatole (disposizione) o si formano parole lunghe n con un alfabeto di s lettere.


Ad esempio, alla disposizione di 5 biglie in 4 scatole a, b, c, d: la prima e la terza nella scatola b, la seconda e la quinta in c, la quarta in a,


corrisponde la parola bcbac. In tal caso W1 ha sn elementi.
La v. a. numero di occupazione della i-esima scatola, per i = 1, 2, ..., s, è il numero Qi di biglie che cadono in quella scatola; la scrittura (Qi = k ) indica l’evento "nella scatola i- esima cadono k biglie". Esso è l’insieme di tutte le distribuzioni di n biglie in s scatole, con k biglie nella i-esima scatola.


Nel modello di Polya si estraggono n palline da un’urna avente b palline bianche ed r palline rosse.
Ci sono due modi differenti in cui l’estrazione può avvenire: con rimessa (caso binomiale) e senza rimessa (caso ipergeometrico). Le v. a. fondamentali associate a questo esperimento sono le


alla i-esima estrazione. L’evento (Xi =0) indica che alla i-esima estrazione è uscita la pallina bianca. L’evento (Xi = 1) indica che è uscita la pallina rossa.
Esercizi 1.11

1.4 Spazio di Bernoulli W2, p
L’esperimento consiste nel lanciare una moneta infinite volte; lo s. c. W2 è l’insieme delle successioni infinite di c (= croce) e t (= testa). Le v.a. fondamentali associate a questo esperimento sono così definite:


all’n-esimo lancio. In conta il numero di teste uscite all'n-esimo lancio (0 oppure 1). Ad esempio:

I4 (cctctttc...) = 0, I7 (cctctttc...) = 1

L’evento (In =1) indica che all'n-esimo lancio è uscita testa. Analogamente (In =0) indica che all'n-esimo lancio è uscita croce.

1.5 Spazio uniforme W3, a
L’esperimento consiste nello scegliere a caso un punto su un segmento di lunghezza a (tiro al bersaglio).


Lo spazio è l’intervallo chiuso W3 = [0, a] della retta reale. La v.a. fondamentale associata a questo fenomeno è U = "ascissa del punto scelto in [0, a]". La scrittura (U £ x) indica l’evento "il punto estratto ha ascissa non superiore ad x", dove x è un numero reale fissato.
Vedremo in seguito come si realizza questo f.c. (simulazione) con un mazzo di carte, con una moneta o con un computer.

1.6 Spazio di Poisson W4, a
Lo spazio W4 è l’insieme delle successioni rade su [0,¥[. Dato l’intervallo [0,a], si scelgono a caso n punti, (n =3 in figura),


si fanno tendere all’infinito n ed a in modo che n/a resti costante, per esempio uguale ad a > 0. Il parametro a è la densità del f.c.
Una successione rada è un insieme di punti in [0,¥[ tale che ad ogni intervallo limitato appartenga un numero finito dei suoi punti. I punti di una successione rada sono detti arrivi. In altre parole, w è una successione rada se risulta |wÇ[c¸d]|finito per ogni c,d Î R. La v.a. associata a questo processo è N(a,t)= numero di arrivi sull'intervallo [0,t], con t numero reale positivo fissato. Esempi di v.a. di Poisson sono:
a) il numero di nati (o morti) in un certo intervallo di tempo;
b) il numero di incidenti stradali su un fissato tratto di strada in un giorno;
c) il numero di arrivi e partenze ad una stazione di autobus ecc.
La scrittura (N(a,t)=k) indica l’evento "nell’intervallo [0,t] sono avvenuti k arrivi".

1.7 Spazio di Wiener-Levy W5, s
Un oggetto si muove a caso (Orazio: Ibam forte Via Sacra) su una retta verticale, partendo dall’origine. Sia X(s,t) la v.a. "posizione dell’oggetto al tempo t" sulla retta, dove s è un parametro che caratterizza l’ambiente in cui è la retta. Su un sistema di assi cartesiani la traiettoria dell’oggetto viene visualizzata da una curva continua di equazione y = f(t) (fig. 1.7.1).


W5 è l’insieme delle funzioni continue f(t) per t ³ 0 con f(0) =0 ed è chiamato spazio di Wiener-Levy. Fissato un numero reale x, la scrittura (X(s,t) £ x) indica l’evento "al tempo t la posizione dell’oggetto ha un’ordinata non superiore ad x".

1.8 Eventi
Consideriamo le v.a. fondamentali introdotte nei cinque s.c.:
W1: D = "numero estratto tra {1,2,...,s}"
W2: In = "numero di teste uscite all'n-esimo lancio di una moneta {c, t}"
W3: U = "ascissa del punto estratto in un segmento lungo a"
W4: N(a,t) = " numero di arrivi nell’intervallo di tempo [0,t]"
W5: X(s,t) = " posizione dell’oggetto al tempo t ".
Fissati il numero naturale k ed il numero reale x, possiamo pensare alle seguenti parti di ciascuno s.c.
1) (D = k) = "il numero estratto è k " con ;
2) (In = k) = "all'n-esimo lancio escono k teste" con kÎ{0,1};
3) (U £ x) = "il punto estratto ha ascissa non superiore ad x" con xÎR;
4) (N(a,t) = k) = "avvengono k arrivi nell’intervallo [0,t]" con kÎN = {0,1,2,3,...}
5) (X(s,t) £ x) = "la posizione dell’oggetto al tempo t non supera x", con xÎR fissato.
Tali parti dello s.c. vengono chiamati eventi generatori.
Definizione. Un evento di uno s.c. è una sua parte ottenuta dagli eventi generatori con le operazioni booleane di unione, complemento e intersezione.
Se A e B sono eventi, l’unione di A e B è A ÈB, il complemento di A è Ac e l’intersezione di A e B è AÇB. Elenchiamo qui di seguito alcune formule della teoria degli insiemi utili per la p.
1) (Ac)c = A, Wc = Æ, Æc = W
2) A È B = B È A, A Ç B = B Ç A
3) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
A È (B Ç C) = (B È A) Ç (A È C)
4) A Ç (A1 È A2 ...) = (A Ç A1) È (A Ç A2) È...
5) (A È B)c = Ac Ç Bc, (A Ç Bc) = Ac È Bc leggi di De Morgan
Gli eventi A e B sono detti incompatibili se A Ç B = Æ.
Se X e Y sono due v.a. l’intersezione (X = i ) Ç (Y = k ) di due eventi (X = i) e (Y = k) viene scritta nella forma più semplice (X = i, Y = k). Analogamente la scrittura (X £ x, Y £ y) indicherà l’intersezione degli eventi (X £ x ) ed ( Y £ y). Nel seguito quando parleremo di eventi o di v.a. ci riferiremo ai cinque spazi fondamentali di cui abbiamo parlato fino ad ora.
In generale, una famiglia º di parti di uno s.c. W è detta s-algebra di eventi se
AÎ º Þ Ac Î º
An Î º, n=1,2,… Þ Èn³1 An Î º.

Esercizi 1.1 - 1.2 - 1.3 - 1.5 - 1.7 - 1.4

1.9 Misure di probabilità speciali
A questo punto abbiamo presentato i cinque s.c. fondamentali; assegniamo ora, ad ognuno di essi, per definizione, una probabilità P. Essa chiarisce il significato del termine a caso. La probabilità (= p.) P(A) misura la possibilità del verificarsi di un dato evento A. E' sempre P(W) = 1.

1.9.1 W1, s (spazio di Maxwell-Boltzmann, n biglie in s scatole)
Se w ÎW1, si definisce la p. dell'evento {w} (scritto più semplicemente w) ponendo P(w) = s-n essendo sn il numero di disposizioni, cioè il numero di modi di mettere n biglie in s scatole o il numero di parole lunghe n costituite da un alfabeto di s lettere. Se n = 1 risulta P(w) = 1/s (= misura di equiprobabilità o p. di Salomone o p. simmetrica).

1.9.2 W2, p (spazio di Bernoulli)
Fissato il numero reale p tale che 0<p<1, definiamo la p. che all'n-esimo lancio esca testa come P(In = 1) = p e quella che all'n-esimo lancio esca croce come P(In = 0) = q =0 =1 - p per ogni valore di n; p è il trucco o parametro della moneta. Inoltre per le v.a. In vale il seguente assioma di Bernoulli (o assioma di indipendenza): la p. dell’intersezione di eventi del tipo (In=1), (In=0), per ogni numero fissato finito di lanci, è il prodotto delle singole p. Ad esempio,

P(I3 = 1,I14 = 0, I134 = 1) = pqp = p2q

cioè la p. che esca testa al terzo lancio, croce al quattordicesimo lancio e testa al centotrentaquattresimo lancio è il prodotto pqp.

1.9.3 W3, a (spazio uniforme)
Consideriamo l'evento (U £ x) = "il punto scelto ha ascissa non superiore ad x". Allora si pone per definizione


dove con P(U £ x) si indica la p. che il punto scelto a caso abbia ascissa non superiore ad x. Si noti che questa p. è una funzione F(x) di variabile reale definita per ogni reale x.
Se U1, U2,..., Un sono n punti scelti a caso, si pone, sempre per definizione,

P( U1 £ x1,U2 £ x2, ..., Un £ xn) = (x1x2 ... xn)/an
assioma di indipendenza

Per n = 2 l’evento (U1£ x1, U2 £x2), cioè "il primo punto scelto cade a sinistra di x1 ed il secondo punto scelto cade a sinistra di x2", viene rappresentato dal rettangolo colorato in fig. 1.9.1. La sua p. vale



Per n = 3 si ha un evento analogo nello spazio R3 illustrato in fig. 1.9.2


1.9.4 W4, a (spazio di Poisson)

Se con la scrittura(N (a, t) = k ) indichiamo l’evento "nell’intervallo [0,t] cadono k arrivi", per definizione si pone la sua p.


Si assumono poi i seguenti assiomi
a) assioma di omogeneità


Se b-a = d-c, la p. che k punti cadano in [a,b] è uguale a quella che k punti cadano in [c,d].
b) assioma di indipendenza
Se [a,b] e [c,d] sono disgiunti, la p. che k punti cadano in [a,b] e j punti cadano in [c,d] è il prodotto delle rispettive p. per ogni k, j naturali.
Una v.a. è detta di Poisson di parametro l>0 se assume i valori k = 0,1,2,...con p. lke-l/k!
1.9.5 W5, s (spazio di Wiener-Levy)
Fissati s>0 e t>0 definiamo


Questa è la p. che la traiettoria scelta a caso passi per [a,b] al tempo t ovvero la p. che al tempo t l’oggetto sia in [a,b] (fig. 1.9.3).


Inoltre si assume per ipotesi (assioma di indipendenza) che per ogni 0<s<t<u<v le v.a. X(s ,v) - X(s ,u) ed X(s ,t) - X(s ,s) siano indipendenti.
Esercizi [9.1 - 9.2 - 9.8 - 9.10]

1.10 Assiomi di Kolmogorov


La p. P(A) di un evento generico A viene definita e calcolata esprimendo A mediante gli eventi generatori e poi applicando i seguenti assiomi di Kolmogorov (1933).
La misura di probabilità P è una funzione che assegna ad ogni evento A un numero reale P(A) tale che:
1) P (A) ³ 0
2) P (W) = 1
3) Se A1 , A2 , ... , An, ... è una successione di eventi incompatibili a due a due, i ¹j ÞAi Ç Aj = Æ allora

P(A1 È A2 È ... È An È ...) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ...
assioma della completa additività

Da questi tre assiomi è facile dimostrare le seguenti formule:

a) P ( B Ç Ac ) = P (B) - P ( A Ç B)
b) P (Ac ) = 1 - P (A) , P (Æ) = 0
c) Se A Í B allora P (A ) £ P ( B )
d) 0 £ P (A) £ 1 per ogni evento A
e) P (A È B) = P( A ) + P( B ) - P( A Ç B)

Esempio 1.10.1
Consideriamo lo s.c. W1 del f. c. "scelgo a caso una scatola da un insieme di s scatole". Sia A l’evento costituito da r delle s scatole.


In fig. è s = 10 e r = 4 (quelle colorate). L’evento A è l’unione di r eventi generatori, tutti di p. 1/s. Per l’assioma 3 risulta

Questo risultato esprime la definizione classica di p. (Laplace 1812). Se un evento ha r casi ugualmente favorevoli di verificarsi, su un totale di s possibili, allora la p. di verificarsi dell’evento è r/s (= rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili).
Esempio 1.10.2 Vengono gettate a caso n biglie in n scatole; la probabilità che nessuna biglia cada in una scatola prefissata è (n-1)n/nn. Si vede facilmente che essa tende ad e-1 ~ .367 quando n ® ¥ . Abbiamo così un significato probabilistico del numero e. Se poi si fissano x scatole, allora (1-x/n)n è la p. che nessuna di queste venga occupata. Per n ® ¥ questa p. tende ad e-x.
Esempio 1.10.3
Nel lancio ripetuto di una moneta consideriamo l’evento A = "escono due teste consecutive prima di due croci". Se poniamo:
A1 = " escono subito due teste" 11... (p. = p2)
A2 = " esce croce e poi due teste " 011... (p. = qp2)
A3 = "esce testa, poi croce e poi due teste" 1011 (p. =qp3 )
Risulta A = A1 È A2 È A3 e quindi
P (A) = P (A1 È A2 È A3 ) = P (A1) + P(A2) + P(A3)
= p2 + qp2 + qp3 = 2p2 - p4

Esempio 1.10.4
Nel processo di Bernoulli si vuole calcolare la p. dell’evento A= " escono due teste consecutive prima di due croci consecutive". Questo evento si può esprimere come unione disgiunta nella forma

A = (T1 Ç T2 ) È (C1 Ç T2 Ç T3) È (T1 Ç C2 Ç T3 Ç T4) È ...
dove Tn = (In = 1) e Cn = (In = 0).
Per l’assioma dell’additività completa si può calcolare


Si è considerata nota la somma di una serie geometrica di ragione r, cioè la formula

1 + r + r2 + r3 + ... = 1/(1 - r) |r| < 1

Gli ultimi due esempi ci dicono che, fissati 0<p<1 ed un evento A, si può trovare una funzione di p uguale alla probabilità che A si verifichi.
Esercizi 1.8 - 1.12 - 1.13 - 1.15 - 1.20 - 1.21 - 1.26 - 1.27 - 2.26

Mauro Cerasoli ©
12/10/2001