Parametri.

Nella sezione sono contenute le funzioni per impostare i parametri della simulazione:

• Tipo di integrazione. Imposta il tipo di integrazione, a passo fisso, del solver di Simulink:
  • ode1, Eulero;
  • ode2, Heun;
  • ode3, Bogacki-Shampine;
  • ode4, Runge-Kutta;
  • ode5, Dormand-Price.
  Il passo di integrazione è automaticamente fissato a 1ms.

• Tipo di algoritmo. Imposta il tipo di algoritmo per l'inversione cinematica tra quelli disponibili (figura cap:Pannello-laterale-display):
  • inversa.

    L'algoritmo utilizza l'inversa dello Jacobiano secondo l'equazione:

    
    

    $$\dot{q}=J^{-1}(q)\left(\dot{x}_{d}+Ke\right)$$
    
    

  • trasposta.

    L'algoritmo utilizza la trasposta dello Jacobiano secondo l'equazione:

    
    

    $$\dot{q}=J^{T}(q)Ke$$
    
    

  • pseudo_inversa.

    L'algoritmo utilizza la pseudo-inversa destra dello Jacobiano $J^{\dagger }=J^{T}\left(JJ^{T}\right)^{-1}$ secondo l'equazione:

    
    

    $$\dot{q}=J^{\dagger }\left(\dot{x}_{d}+Ke\right)$$
    
    

    Il manipolatore è considerato ridondante ($r<n)$ allora:

    $J$ diventa una matrice 2x3 nel caso del manipolatore planare;

    $J$ diventa una matrice 3x4 nel caso del manipolatore SCARA;

    $J$ diventa una matrice 3x6 nel caso del manipolatore COMAU SMART3.

    Nell'applicare l'algoritmo si rinuncia ad inseguire l'orientamento.

  • pinv_fcorsa.

    L'algoritmo utilizza la pseudo-inversa $J^{\dagger }$ come sopra. In questo caso, sfruttando la ridondanza, si soddisfa un vincolo aggiuntivo sul fine-corsa dei giunti, introducendo la funzione di obiettivo secondario. L'equazione diviene:
    

    $$\dot{q}=J^{\dagger }\left(\dot{x}_{d}+Ke\right)+\left(I-J^{\dagger }J\right)\dot{q}_{0}$$
    
    
    dove $\dot{q_{0}}=k_{0}\left(\frac{\partial w(q)}{\partial q}\right)^{T}$ e $w(q)$ è la funzione obiettivo secondario che si cerca di massimizzare localmente:
    
    $$w(q)=-\frac{1}{2n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}\left(\frac{q_{i}-\bar{q_{i}}}{q_{iM}-q_{im}}\right)^{2}$$
    
    
    $n$ numero dei giunti, $q_{iM}$, $q_{im}$ massima e minima escursione ammessa e $\bar{q_{i}}$ valore medio della corsa dello i-esimo giunto .

  • pinv_manip

    Il discorso è analogo al caso precedente cambia la funzione di obiettivo secondario: $w(q)=\sqrt{det\left(J(q)J^{T}(q)\right)}$.

  • inv_smorz.

    L'algoritmo utilizza l'inversa a minimi quadrati smorzata dello Jacobiano $J^{*}=J^{T}\left(JJ^{T}+k^{2}I\right)^{-1}$, secondo l'equazione:

    
    

    $$\dot{q}=J^{*}(q)\left(\dot{x}_{d}+Ke\right)$$
    
    

    Il guadagno $k$ è il fattore di smorzamento.

• Guadagno. I valori rappresentano la diagonale principale della matrice dei guadagni $K$. Viene automaticamente ridimensionata a seconda dell'algoritmo utilizzato.
• Guadagno k0. Il valore è il guadagno $k_{0}$ della funzione obiettivo secondario per gli algoritmi che sfruttano la ridondanza ed è il fattore di smorzamento $k$ per l'algoritmo che utilizza l'inversa a minimi quadrati smorzata dello Jacobiano.
• Durata. Il valore è la durata della simulazione; in realtà la simulazione viene prolungata di mezzo secondo rispetto al valore fissato. Questo per evidenziare l'effettivo raggiungimento della condizione di regime.
• Interpolazione. Caratterizza la pianificazione di traiettorie rettilinee per la generazione della traiettoria desiderata.
  • Coseno.

    Viene utilizzata la funzione del coseno rialzato per interpolare il punto iniziale $x_{d_{i}}=\left[\begin{array}{c} p_{i}\\ o_{i}\end{array}\right]$ e il punto finale $x_{d_{f}}=\left[\begin{array}{c} p_{f}\\ o_{f}\end{array}\right]$ della traiettoria:

    $x_{d}=\left[\begin{array}{c} p_{i}+0.5(1-cos(t/t_{f}))(p_{f}-p_{i})\\ o_{i}+0.5(1-cos(t/t_{f}))(o_{f}-o_{i})\end{array}\right]$ dove $p_{i}$, $p_{f}$ ($o_{i}$, $o_{f}$) sono la posizione (l'orientamento) iniziale e finale della traiettoria rispettivamente; $t_{f}$ è la durata della simulazione.

    L'orientamento per i manipolatori planare e SCARA è rappresentato dalla terna di Eulero, mentre per il COMAU è l'angolo $\vartheta$ del quaternione unitario.

  • Ascissa.

    Viene utilizzata la rappresentazione parametrica con l'ascissa curvilinea di un segmento nello spazio per interpolare il punto iniziale e quello finale:

    posizione, $p=p_{i}+\frac{s}{\left\Vert p_{f}-p_{i}\right\Vert }(p_{f}-p_{i})$;

    orientamento, $o=o_{i}+\frac{s}{\left\Vert o_{f}-o_{i}\right\Vert }(o_{f}-o_{i})$;

    dove $s$ è l'ascissa curvilinea calcolata interpolando i valori $s_{i}=0$ e $s_{f}=\left\Vert p_{f}-p_{i}\right\Vert$ ( $s_{f}=\left\Vert o_{f}-o_{i}\right\Vert$)con un polinomio interpolatore di terzo grado.

    Anche in questo caso l'orientamento per i manipolatori planare e SCARA è rappresentato dalla terna di Eulero, mentre per il COMAU è l'angolo $\vartheta$ del quaternione unitario.

• Feed-forward divelocità. Si abilita o no l'inserimento del feed-forward di velocità nell'algoritmo.