NTC08 - Formula di correlazione. Esempio di calcolo.

Problema.

Verificare la possibilità di sollevamento degli appoggi della trave in figura (Stato limite ultimo di equilibrio SLU EQU).

Determinare, inoltre, il momento M_Sd nelle sezioni A e C della trave in figura relativamente allo stato limite ultimo strutturale (SLU STR) e agli stati limite di esercizio (SLE) rispettivamente irreversibile (combinazione caratteristica rara), reversibile (combinazione frequente) e per effetti a lungo termine (combinazione quasi permanente).

Noti: ( carico permanente strutturale); (carico permanente non strutturale); Q₁ = 30 kN; Q₂ = 40 kN; Q₃ = 25 kN; a = 0,8 m; l = 4,2 m; Categoria A (ambienti ad uso residenziale).

Analisi strutturale

Carico g1,1 La risultante del carico g1,1 vale Imponendo l’equilibrio alla rotazione nel punto A si ottiene: La reazione è negativa; il carico tende a sollevare l’appoggio B. Per l’equilibrio verticale è I momenti risultano
Carico g1,3 Per simmetria si ha: E’ poi
Carico g1,2 Per simmetria rispetto al caso precedente si ha: Per i momenti è
Carico g2 Per simmetria è Per i momenti è
Carico Q1 Imponendo l’equilibrio alla rotazione nel punto A si ottiene: La reazione è negativa; il carico tende a sollevare l’appoggio B. Per l’equilibrio verticale è I momenti risultano
Carico Q2 Per simmetria si ha: Per i momenti è
Carico Q3 Imponendo l’equilibrio alla rotazione nel punto B si ottiene: La reazione è negativa; il carico tende a sollevare l’appoggio A. Per l’equilibrio verticale è I momenti risultano
Carico q4 La risultante del carico q4,1 vale Imponendo l’equilibrio alla rotazione nel punto A si ottiene: La reazione è negativa; il carico tende a sollevare l’appoggio B. Per l’equilibrio verticale è I momenti risultano
Carico q6 Per simmetria rispetto al caso precedente si ha: E’ poi
Carico q5 Per simmetria si ha: Per i momenti è

In definitiva si ha

	g1,1	g1,2	g1,3	g1,1 + g1,2 + g1,3	g2	Q1	Q2	Q3	q4	q5	q6
VA [kN]	8,76	21,00	-0,76	29,00	50,40	35,71	20,00	-4,76	10,51	25,20	-0,91
VB [kN]	-0,76	21,00	8,76	29,00	50,40	-5,71	20,00	29,76	-0,91	25,20	10,51
MA [kNm]	-3,20	0	0	-3,20	0	-24,00	0	0	-3,84	0	0
MC [kNm]	-1,60	22,05	-1,60	18,85	52,92	-12,00	42,00	-10,00	-1,91	26,46	-1,91

La formula di correlazione.

La formula di correlazione serve a mettere in relazione gli effetti dei carichi che agiscono sulla struttura combinandoli tra di loro, con diverse gradazioni, in relazione al tipo carico, alla metodologia di verifica e al fatto che risultino favorevoli o sfavorevoli.

Nella formula Il segno “+” significa “da combinarsi con” e non “da sommarsi con”, fatto che si traduce nelle seguenti modalità operative: l’effetto di un carico è da considerarsi sfavorevole se di uguale segno rispetto alla sollecitazione di progetto che si vuole determinare, favorevole in caso contrario. Ad esempio, l’equilibrio di una struttura è compromesso da una reazione negativa: le reazioni negative prodotte dai singoli carichi sono allora sfavorevoli mentre quelle positive sono da considerarsi favorevoli. il carico G1 (carico permanente strutturale) deve sempre essere preso in considerazione anche quando esso risulti favorevole. il carico G2 (carico permanente non strutturale) ed i carichi variabili Qk sono da considerarsi solo se sfavorevoli. il carico Q1k è il carico variabile dominante, assunto con il suo valore di combinazione maggiore. Come carico dominante occorre assumere di volta in volta tutti i carichi variabili ottenendo così un numero di combinazioni pari al numero dei carichi variabili presenti sulla struttura: dal confronto tra le diverse combinazioni emerge il valore della sollecitazione XSd di progetto. Generalmente la combinazione più sfavorevole è quella che presenta come carico dominante il carico variabile sfavorevole di più grande intensità.

I coefficienti parziali di sicurezza g.

Si tratta di coefficienti utilizzati nel calcolo agli stati limite ultimi i quali hanno lo scopo di “coprire” l’incertezza residua propria dei carichi caratteristici.

		I carichi variabili caratteristici Qk, ad esempio, offrono una “incertezza” a livello probabilistico del 5% (frattile) colmata moltiplicandone il valore per gsup = 1,5.
	I coefficienti sono omessi (o resi unitari) nel calcolo agli stati limite di esercizio, con l’avvertenza di considerare nullo il contributo dei carichi a favore di stabilità (ginf = 0).

Carichi	Coeff.	Azioni	EQU	STR
permanenti	gG1	favorevoli	0,90	1,00
		sfavorevoli	1,10	1,30
permanenti non strutturali	gG2	favorevoli	0,00	0,00
		sfavorevoli	1,50	1,50
variabili	gQ	favorevoli	0,00	0,00
		sfavorevoli	1,50	1,50

I coefficienti di combinazione dei carichi y.

I coefficienti di riduzione y per la combinazione dei carichi tengono conto della minore probabilità che il singolo carico assuma la sua massima intensità contemporaneamente agli altri carichi con cui si combina.

Categoria/Azione variabile	y0j	y1j	y2j
Categoria A Ambienti ad uso residenziale	0,7	0,5	0,3
Categoria B Uffici	0,7	0,5	0,3
Categoria C Ambienti suscettibili di affollamento	0,7	0,7	0,6
Categoria D Ambienti ad uso commerciale	0,7	0,7	0,6
Categoria E Biblioteche, archivi, magazzini e ambienti ad uso industriale	1,0	0,9	0,8
Categoria F Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso ≤ 30 kN)	0,7	0,7	0,6
Categoria G Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso > 30 kN)	0,7	0,5	0,3
Categoria H Coperture	0,0	0,0	0,0
Vento	0,6	0,2	0,0
Neve (a quota ≤ 1000 m s.l.m.)	0,5	0,2	0,0
Neve (a quota > 1000 m s.l.m.)	0,7	0,5	0,2
Variazioni termiche	0,6	0,5	0,0

Verifica allo stato limite ultimo (SLU) di equilibrio (EQU).

L’instabilità si avrà per un valore di V_A o di V_B negativo.

Verifica della reazione V_A.

Devono essere prese in considerazione le azioni seguenti:

il carico permanente strutturale g₁ moltiplicato per il coefficiente rispettivamente massimo (se sfavorevole) e minimo (se favorevole)

solo le azioni variabili che producono una reazione negativa (Q₃ e q₆) con

Il carico permanente non strutturale g₂ non sarà considerato in quanto produce una reazione positiva (); lo stesso vale anche per le altre azioni variabili (Q₁ ,Q₂, q₄ e q₅) per le quali si assumerà .

La combinazione fondamentale (in assenza di precompressione)

posto Q_k1 = Q₃ (azione dominante), diventa

La reazione è risultata positiva: non si ha ribaltamento per sollevamento dell’appoggio in A.

Ponendo Qk1 = q6 (azione dominante) si sarebbe ottenuto valore a svantaggio di stabilità.

Verifica della reazione V_B.

Devono essere prese in considerazione le azioni seguenti:

il carico permanente strutturale g₁ moltiplicato per il coefficiente rispettivamente massimo (se sfavorevole) e minimo (se favorevole)

solo le azioni variabili che producono una reazione negativa (Q₁ e q₄) con

Il carico permanente non strutturale g₂ non sarà considerato in quanto produce una reazione positiva (); lo stesso vale anche per le altre azioni variabili (Q₂ ,Q₃, q₅ e q₆) per le quali si assumerà .

La combinazione fondamentale (in assenza di precompressione)

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

La reazione è risultata positiva: non si ha ribaltamento per sollevamento dell’appoggio in B.

M_ASd negativo per SLU (stato limite ultimo) STR.

Per lo stato limite ultimo STR i valori caratteristici di tutte le azioni permanenti derivanti da una unica sorgente sono moltiplicati per lo stesso coefficiente. Per esempio, tutte le azioni generate dal carico permanente strutturale possono essere considerate come derivanti da una unica sorgente; ciò si applica anche se sono coinvolti materiali differenti. La modalità applicativa differisce, pertanto da quella adoperata per lo stato limite EQU per il quale a ciascun segmento di carico g1 è stato attribuito un diverso coefficiente gG1.

Oltre al carico permanente strutturale g₁ moltiplicato per il coefficiente rispettivamente massimo (se sfavorevole) e minimo (se favorevole) e verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₁, Q₂, q₅ e q₆) con : le altre azioni (Q₁ e Q₂) verranno trascurate in quanto favorevoli (cosa che equivale a porre ); lo stesso trattamento compete al carico permanente non strutturale g₂ ()

La combinazione fondamentale in assenza di precompressione

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

Nella scrittura dell’espressione è stato omesso il contributo di g2 in quanto nullo. L’azione globale del carico permanente strutturale g1 (somma dei contributi di g1,1, g1,2 e g1,3) è negativa come la sollecitazione ricercata: è stato, perciò, utilizzato il coefficiente . Con Qk1 = q4 (azione dominante) si sarebbe ottenuto un valore minore

M_ASd negativo per SLE (stato limite di esercizio) irreversibile (combinazione caratteristica rara).

Agli SLE i coefficienti g sono posti uguali a 1; i carichi Qkj che danno un contributo favorevole ai fini delle verifiche e, se del caso, i carichi G2 vengono omessi (ginf = 0)

Oltre al carico permanente strutturale verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₃ e q₄): le altre azioni (Q₁, Q₂, q₅ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli; lo stesso trattamento compete al carico permanente non strutturale g₂.

La combinazione caratteristica rara, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli stati limite irreversibili

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

Con Qk1 = q4 (azione dominante) si sarebbe ottenuto un valore minore

M_ASd negativo per SLE (stato limite di esercizio) reversibile (combinazione frequente).

Oltre al carico permanente strutturale verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₃ e q₄): le altre azioni (Q₁, Q₂, q₅ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli; lo stesso trattamento compete al carico permanente non strutturale g₂.

La combinazione frequente, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli stati limite reversibili

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

Nella scrittura dell’espressione il contributo dell’azione dominante Q1 è stato ridotto moltiplicandolo per mentre quello dell’azione q4 è stato ridotto con . Con Qk1 = q4 (azione dominante) si sarebbe ottenuto un valore minore

M_ASd negativo per SLE (stato limite di esercizio) per effetti a lungo termine (combinazione quasi permanente).

Oltre al carico permanente strutturale verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₃ e q₄): le altre azioni (Q₁, Q₂, q₅ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli; lo stesso trattamento compete al carico permanente non strutturale g₂.

La combinazione quasi permanente, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine e per l’aspetto della struttura diventa

Nella scrittura dell’espressione non vi è un’azione dominante in quanto tutti i coefficienti di combinazione valgono .

M_CSd positivo per SLU (stato limite ultimo) STR.

Oltre al carico permanente strutturale g₁ moltiplicato per il coefficiente massimo verranno considerate solo le azioni che producono un momento positivo (g₂ , Q₂ e q₅) con e: le altre azioni (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli (cosa che equivale a porre )

La combinazione fondamentale in assenza di precompressione

posto Q_k1 = Q₂ (azione dominante), diventa

L’azione globale del carico permanente g1 (somma dei contributi di g1,1, g1,2 e g1,3 è positiva come la sollecitazione ricercata: è stato, perciò, utilizzato il coefficiente . Con Qk1 = q5 (azione dominante) si sarebbe ottenuto un valore minore

M_CSd positivo per SLE (stato limite di esercizio) irreversibile (combinazione caratteristica rara).

Oltre al carico permanente strutturale g₁ verranno considerate solo le azioni che producono un momento positivo (g₂ , Q₂ e q₅): le altre azioni (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli.

La combinazione caratteristica rara, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli stati limite irreversibili

posto Q_k1 = Q₂ (azione dominante), diventa

Con Qk1 = q5 (azione dominante) si sarebbe ottenuto un valore minore

M_CSd positivo per SLE (stato limite di esercizio) reversibile (combinazione frequente).

Oltre al carico permanente strutturale g₁ verranno considerate solo le azioni che producono un momento positivo (g₂ , Q₂ e q₅): le altre azioni (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli.

La combinazione frequente, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli stati limite reversibili

posto Q_k1 = Q₂ (azione dominante), diventa

Con Qk1 = q5 (azione dominante) si sarebbe ottenuto un valore minore

M_CSd positivo per SLE (stato limite di esercizio) per effetti a lungo termine (combinazione quasi permanente).

Oltre al carico permanente strutturale g₁ verranno considerate solo le azioni che producono un momento positivo (g₂ , Q₂ e q₅): le altre azioni (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) verranno trascurate in quanto favorevoli.

La combinazione quasi permanente, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine e per l’aspetto della struttura

diventa

Nella scrittura dell’espressione non vi è un’azione dominante in quanto tutti i coefficienti di combinazione valgono .

M_CSd negativo per SLU (stato limite ultimo) STR.

Oltre al carico permanente g₁ moltiplicato per il coefficiente minimo verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) con : le altre azioni (g₂, Q₂ e q₅) verranno trascurate in quanto favorevoli (cosa che equivale a porre e)

La combinazione fondamentale in assenza di precompressione

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

L’azione globale del carico permanente g (somma dei contributi di g1,1, g1,2 e g1,3 è positiva al contrario della sollecitazione ricercata: è stato, perciò, utilizzato il coefficiente . Nella scrittura dell’espressione il contributo delle azioni non dominanti Q3, q4 e q6 è stato ridotto moltiplicandolo per . Assumendo di volta in volta gli altri carichi come azione dominante si ottengono sempre valori inferiori: con Qk1 = Q3 con Qk1 = q4 o q6

M_CSd negativo per stato limite di esercizio irreversibile (combinazione caratteristica rara).

Oltre al carico permanente g₁ verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) con : le altre azioni (g₂, Q₂ e q₅) verranno trascurate in quanto favorevoli (cosa che equivale a porre e)

La combinazione caratteristica rara, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli stati limite irreversibili

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

Nella scrittura dell’espressione il contributo delle azioni non dominanti Q3, q4 e q6 è stato ridotto moltiplicandolo per . Assumendo di volta in volta gli altri carichi come azione dominante si ottengono sempre valori inferiori: con Qk1 = Q3 con Qk1 = q4 o q6

M_CSd negativo per SLE (stato limite di esercizio) reversibile (combinazione frequente).

Oltre al carico permanente strutturale g₁ verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) con : le altre azioni (g₂, Q₂ e q₅) verranno trascurate in quanto favorevoli (cosa che equivale a porre e)

La combinazione frequente, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli stati limite reversibili

posto Q_k1 = Q₁ (azione dominante), diventa

Il valore è risultato positivo. Il valore ricavato è minore di quello ottenuto dall’indagine effettuata per MCSd positivo. Assumendo di volta in volta gli altri carichi come azione dominante si ottengono sempre valori positivi e maggiori (quindi sempre “meno negativi”) di quello appena ricavato: con Qk1 = Q3 con Qk1 = q4 o q6

M_CSd negativo per stato limite di esercizio relativo ad effetti a lungo termine (combinazione quasi permanente).

Oltre al carico permanente strutturale g₁ verranno considerate solo le azioni che producono un momento negativo (Q₁, Q₃, q₄ e q₆) con : le altre azioni (g₂, Q₂ e q₅) verranno trascurate in quanto favorevoli (cosa che equivale a porre e)

La combinazione quasi permanente, in assenza di precompressione, generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine e per l’aspetto della struttura

diventa

Il valore è risultato positivo. Il valore ricavato è minore di quello ottenuto dall’indagine effettuata per MCSd positivo. Nella scrittura dell’espressione non vi è un’azione dominante in quanto tutti i coefficienti di combinazione valgono .

Conclusioni.

In definitiva si sono ottenuti i seguenti risultati:

Caratteristica di progetto	SLU EQU	SLU STR	SLE irreversibile (Combinazione caratteristica rara)	SLE reversibile (Combinazione frequente)	SLE per effetti a lungo termine (Combinazione quasi permanente)
VA negativa	Non raggiunta
VB negativa	Non raggiunta
MASd negativo		-44,19 kNm	-29,89 kNm	-16,35 kNm	-11,55 kNm
MCSd positivo		194,67 kNm	123,29 kNm	100,71 kNm	92,31 kNm
MCSd negativo		-13,67 kNm	-2,83 kNm	Non raggiunto	Non raggiunto