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1° intervallo = intervallo 0
2° intervallo = intervallo 1
3° intervallo = intervallo 2
4° intervallo = intervallo 3
5° intervallo = intervallo 4
.................. = ..................
.................. = ..................
E in termini di schemino con designazione ordinale degli intervalli:
0 1 2 3 4 5 immenso TACCHE [ 1° [ 2° [ 3° [ 4° [ 5° [ ..... [ INTERVALLI rif. di verso di partenza ----------> percorrenza
0 1 2 3 4 5 immenso TACCHE [ 0 [ 1 [ 2 [ 3 [ 4 [ ..... [ INTERVALLI rif. di verso di partenza ----------> percorrenza
Oltre al modo illustrato di fare ordine con le grandezze discrete, e con le grandezze continue, io credo di averne trovato uno duale, che, fra l'altro, getta nuova luce sulle grandezze continue e discrete, e sui numeri negativi.
Per definizione, dato un gruppo di elementi, i numeri ordinali (1°, 2°, .....) (primo, secondo, .....) indicano la posizione di questi ultimi.
Nulla sembra vietare, dato un gruppo di elementi, di metterli in ordine a partire dall'ultimo e non dal primo. Ovvero di ordinarli nel modo: ultimoEd è esattamente quello che ho fatto io.
Subito dopo, ho abbinato dei simboli, all'ordinamento di cui sopra, simboli che ho chiamato numeri ordinali capovolti. L'abbinamento che ho scelto è stato: ultimo = 1ç°E a questo punto mi sono detto:
"E' tutto perfettamente lecito. Quello che, rispetto all'ordinamento tradizionale nella sostanza cambia, è solo che ora, invece di allontanarmi, mi avvicino al riferimento di partenza, ovvero al punto da dove inizia la suddivisione (ideale), a seguito del conteggio di una grandezza continua (paragrafo 2)". E quindi, a differenza di prima, ora, nell'ordinamento capovolto, i numeri: 1, 2, 3, 4, e così via, sono l'espressione numerica della quantità di intervalli completi raggiunti e non superati, e cioè la quantità gli intervalli completi in procinto di superare, quando, per sapere quanto è grande una grandezza continua discretizzata, ci avviciniamo al riferimento di partenza. Sono, insomma, le cosiddette tacche degli intervalli che vengono fuori dal processo di discretizzazione di una grandezza continua. Intervalli che ora, però, hanno l'estremo inferiore escluso, e l'estremo superiore incluso. Ma allora vuol dire che, questa volta, l'immenso, e cioè l'estremo superiore dell'intervallo finale, in base alla definizione allargata di numero cardinale, è associabile ad un numero, essendo ora l'immenso incluso nell'intervallo finale, e quindi concettualmente raggiungibile. Per cui, mentre nell'ambito dell'ordinamento tradizionale, l'immenso non è un numero, nell'ambito dell'ordinamento capovolto, ha la dignità di numero. Ha quindi diritto ad un simbolo, per esempio questo:E in termini di schemino con designazione ordinale capovolta degli intervalli:
nulla 1 2 3 4 5 oo TACCHE ] 1ç° ] 2ç° ] 3ç° ] 4ç° ] 5ç° ] ........ ] INTERVALLI verso di rif. di ----------> percorrenza partenza
nulla 1 2 3 4 5 oo TACCHE ] 1 ] 2 ] 3 ] 4 ] 5 ] ........ ] INTERVALLI verso di rif. di ----------> percorrenza partenza
Evidenziato che la quantità nulla (e quindi lo zero), relativamente alle grandezze discrete, è del tutto assente in entrambi i tipi di ordinamento, si può aggiungere che nell'ordinamento capovolto, le associazioni, fra designazione ordinale e cardinale, sono indipendenti dalla natura (continua o discreta) della grandezza.
E mentre nell'ordinamento tradizionale, il nulla è associabile ad un numero (lo zero), ma non l'immenso, nell'ordinamento capovolto il nulla è inassociabile, mentre l'immenso è associabile all'infinito. Possiamo però dire che, nell'ambito del più generale ordinamento globale, che include il tradizionale e il capovolto, sia il nulla che l'immenso sono associabili ad un numero. E in realtà, quando si ha a che fare con delle grandezze continue, bisogna ricorrere all'ordinamento globale.La grandezza continua, infatti, non inizia in corrispondenza del punto da dove la si comincia a percorrere nell'ambito del conteggio tradizionale, e quindi dal punto da dove inizia la suddivisione (ideale), ma da ben prima.
Ma da dove ?
Da un punto, l'immenso, concettualmente raggiungibile nell'ambito dell'ordinamento capovolto, e a cui dunque, come si è visto, è associabile un numero, ovvero il simbolo oo (infinito).
Per avere allora una descrizione globale di una grandezza continua, basta combinare in un unico schema, quelli relativi ai due ordinamenti, con ciò ottenendo, rispettivamente, lo schema globale con designazione ordinale:
ORDINAMENTO CAPOVOLTO
rif. di verso di
partenza <------ percorrenza
oo 3 2 1 0 1 2 3 immenso TACCHE
| ... | 3ç° | 2ç° | 1ç° | 1° | 2° | 3° | ... | INTERV.
ORDINAMENTO TRADIZIONALE
rif. di verso di
partenza ------> percorrenza
e lo schema globale con designazione cardinale:
ORDINAMENTO CAPOVOLTO
rif. di verso di
partenza <------ percorrenza
oo 3 2 1 0 1 2 3 immenso TACCHE
| ... | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | ... | INTERV.
ORDINAMENTO TRADIZIONALE
rif. di verso di
partenza ------> percorrenza
Si
noti che, per entrambi gli schemi, nulla vieta di
sistemare, in alternativa, l'ordinamento tradizionale a sinistra,
e quello capovolto a destra.
Se siamo interessati ad avere uno schema modificato, con il quale sia possibile distinguere con l'ausilio dei soli simboli numerici, le zone dell'ordinamento tradizionale e capovolto, vediamo se è proprio necessario introdurre nuovi simboli numerici.
Intanto se mi viene chiesto:
"Sei in corrispondenza del 5ç° intervallo, se ti sposti di 4 posizioni all'indietro, allontanandoti, e non avvicinandoti, cioè, dal riferimento di partenza dell'ordinamento capovolto, in corrispondenza di quale intervallo ti ritroverai ?"
La risposta è: "Dell'1ç° intervallo, ovvero dell'intervallo 1, dato che, essendo la quantità 5 inclusa nel 5ç° intervallo, il 5ç° intervallo coincide con l'intervallo 5." Infatti, dicendo: "del 5ç°" e cioè "del quintultimo intervallo", si sottointende che si può essere in un punto qualsiasi del quintultimo intervallo, l'unica cosa di cui si è certi è che, al massimo, si è proprio in 5. Sono dunque passato dalla quantità 5, alla quantità 1.Ma allora non è necessario introdurre nuovi simboli numerici, basterà indicare le quantità dell'ordinamento capovolto, facendole precedere dal simbolo - (meno).
In
tal modo, per passare dalla quantità -5, alla
quantità -1, a causa dello spostamento
di 4 posizioni, mi basterà fare:
-5 + 4 = -1.
Il risultato è perfettamente analogo se, nel ragionamento, viene alternativamente coinvolta la zona dell'ordinamento tradizionale, e ciò quando, questa volta, ci si avvicina al riferimento di partenza dell'ordinamento tradizionale.
Tutto ciò accade perchè:
- mentre nell'ordinamento tradizionale, essendo il verso di percorrenza da sinistra a destra, gli spostamenti sono positivi quando sono concordi con tale verso, e negativi nel caso opposto
- nell'ordinamento capovolto, invece, essendo il verso di percorrenza da destra a sinistra, gli spostamenti sono positivi quando sono concordi con tale verso e negativi nel caso opposto.
Se voglio che gli spostamenti, per entrambi i tipi di ordinamento, siano sempre da considerarsi positivi, e ad esempio, quando avvengono da sinistra a destra, e negativi quando avvengono da destra a sinistra, basta ridesignare le sole tacche dell'ordinamento capovolto nel modo: -1, -2, -3, e così via.
Lo schema modificato cercato, l'abbiamo, dunque trovato.
C'è lo schema globale modificato con designazione ordinale:
ORDINAMENTO CAPOVOLTO
rif. di verso di
partenza <------ percorrenza
-oo -3 -2 -1 0 1 2 3 immenso TACCHE
| ... | 3ç° | 2ç° | 1ç° | 1° | 2° | 3° | ... | INTERV.
ORDINAMENTO TRADIZIONALE
rif. di verso di
partenza ------> percorrenza
e lo schema globale modificato con designazione cardinale:
ORDINAMENTO CAPOVOLTO
rif. di verso di
partenza <------ percorrenza
-oo -3 -2 -1 0 1 2 3 immenso TACCHE
| ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... | INTERV.
ORDINAMENTO TRADIZIONALE
rif. di verso di
partenza ------> percorrenza
Che
è l'asse dei numeri reali a tutti noto.
Anche i numeri negativi sono, dunque, indicativi di una quantità.
In
ambito cronologico, forse, è più utile far ricorso
al successivo
schema globale modificato con designazione mista:
ORDINAMENTO CAPOVOLTO
rif. di verso di
partenza <------ percorrenza
-oo -3 -2 -1 0 1 2 3 immenso TACCHE
| ... | 3ç° | 2ç° | 1ç° | 0 | 1 | 2 | ... | INTERV.
ORDINAMENTO TRADIZIONALE
rif. di verso di
partenza ------> percorrenza