Variando la posizione di un punto di controllo sia cambia la forma della curva di Bézier risultante. La domanda è:
| Come cambia la forma della curva se un punto di controllo viene spostato in una nuova posizione? |
Supponiamo che un punto di controllo Pk viene spostato in una nuova posizione Pk + v, dove il vettore v fornisce sia la direzione che la lunghezza dello spostamento (vedi figura seguente).
Sia la curva di Bézier originale
Poiché la nuova curva di Bézier è definita da P0, P1. ..., Pk+v, ..., Pn, la sua equazione D(u) risulta
Nella formula sopra, poiché solo il k-mo termine usa un punto di controllo diverso Pk + v, dopo aver raggruppato i termini, osserviamo che la nuova curva risulta la somma di quella originaria più un termine extra Bn,k(u)v. Questo vuol dire che:
| il corrispondente punto di u sulla nuova curva viene ottenuto traslando il corrispondente punto u sulla curva originaria nella direzione di v ad una distanza |Bn,k(u)v|. |
Più precisamente, assegnata una u, abbiamo il punto C(u) sulla curva originaria e D(u) sulla nuova curva e D(u) = C(u) + Bn,k(u)v. Poiché v fornisce la direzione dello spostamento, D(u) è il risultato dello spostamento di C(u) nella stessa direzione. La lunghezza di questa traslazione è ovviamente la lunghezza del vettore Bn,k(u)v. Pertanto, quando Bn,k(u) raggiunge il massimo, la variazione da C(u) a D(u) è la più ampia.
La figura seguente illustra quest'effetto. Sia la curva nera che quella rossa sono curve di Bézier di grado 8 definite mediante 9 punti di controllo. Quella nera è l'originale. Se il suo punto di controllo 3 viene spostato in una nuova direzione come indicato dal vettore viola, la curva nera si modifica in quella rossa.Su ognuna delle due curve vi è il punto corrispondente a u=0.5. E' chiaro che C(0.5) si sposta nella stessa direzione verso D(0.5). La distanza tra C(0.5) e D(0.5) è la lunghezza del vettore B8,3(0.5)v = 8!/(3!(8-3)!)×0.53(1-0.5)8-3v = 0.22v. Pertanto la distanza è circa il 22% della distanza tra il punto di controllo originale 3 e il nuovo punto di controllo 3 come mostrato nella figura.
Possiamo trarre un'ulteriore importante conclusione dalla discussione sopra. Poiché Bn,k(u) è diverso da zero nell'intervallo aperto, Bn,k(u)v non è un vettore nullo in (0,1). Questo vuol dire che eccetto per i due punti finali C(0) and C(1) tutti i punti sulla curva originaria vengono spostati in nuove posizioni. Pertanto
| Variando la posizione di un punto di controllo la forma della curva di Bézier cambia in ogni punto. |