Se abbiamo 2n+2 knots u0 = u1 = ... = un = 0 e un+1 = un+2 = ... = u2n+1 = 1 (cioè, i primi n+1 iniziano con 0 e i successivi n+1 iniziano con 1), quali sono le funzioni base B-spline di grado n?
Poiché ogni u è nell'intervallo [0,1] = [un, un+1], le funzioni base non nulle di grado n sono: N0,n(u), N1,n(u), ..., Nn,n(u). Di seguito richiamiamo la definizione delle funzioni base B-spline:
Poichè l'unica funzione base non nulla di grado 0 è Nn,0(u), l'indice i può essere solo nel range tra 0 e n. Quindi, gli ui sono zero e ui+n e ui+n+1 sono 1. Di conseguenza, la seconda equazione sopra può essere riscritta come segue:
Se organizziamo la computazione di N0,n(u), N1,n(u), ..., Nn,n(u) in forma triangolare come discusso nella precedente pagina, si ha il seguente diagramma. In questo diagramma, ogni freccia diretta a nord-est (risp., sud-est) vuol dire moltiplicare 1-u (risp., u) per il termine all'estremità della freccia. Osserviamo che ci sono n stadi nella computazione, uno per ottenere ogni colonna. Quindi, il contributo di Nn,0(u) a N0,n(u) è (1-u)n, e il contributo di Nn,0(u) a Nn,n(u) è un.
Ora, consideriamo la computazione di un generico termine Ni,n(u). Il contributo di Nn,0(u) alla computazione di Ni,n(u) può essere determinato dalla tecnica del "path-counting" che è stata utilizzata per mostrare la correttezza dell'algoritmo di de Casteljau e nel calcolo delle derivate di ordine superiore di una curva di Bézier. Ogni cammino che va da Nn,0(u) a Ni,n(u) incontra n freccie di cui i sono dirette a sud-est e n-i sono dirette a nord-est. Quelle freccie dirette a nord-est (risp., sud-est) vogliono dire moltiplicare il termine all'estremità per 1-u (risp., u). Quindi, il contributo di Nn,0(u) a Ni,n(u) lungo un singolo cammino è ui(1-u)n-i. Il numero totale di cammini da Nn,0(u) a Ni,n(u) è C(n,i). Più precisamente, il numero di cammini è uguale al numero di differenti modi di sostituire i freccie dirette a sud-est in n posizioni. Le rimanenti n-i posizioni sono riempite con le freccie dirette a nord-est. Queste n freccie descrivono precisamente un singolo cammino da Nn,0(u) a Ni,n(u). Poichè ogni cammino contribuisce con ui(1-u)n-i alla computazione e poiché ci sono C(n,i) cammini, il contributo totale di Nn,0(u) a Ni,n(u) è
Questo è esattamente l'i-esima funzione base di Bézier di grado n. Quindi, si ha la seguente conclusione:
| Se i primi (risp., ultimi) n+1 knots sono uguali a 0 (risp., 1), allora l'i-esima funzione base B-spline di grado n è identica all'i-esima funzione base di Bézier per tutti gli i nel range tra 0 e n. Quindi, le funzioni base di Bézier sono dei casi speciali delle funzioni base B-spline, e le curve di Bézier sono dei casi speciali delle curve B-spline. |