Funzioni Base delle B-spline: Proprietà Importanti

Ricordiamo la definizione delle funzioni di base delle B-spline come segue:

Questo insieme di funzioni base ha le seguenti proprietà, molte delle quali assomigliano a quelle delle funzioni base di Bézier:

  1. Ni,p(u) è un polinomio di grado p in u
  2. Non-negatività - Per ogni i, p e u, Ni,p(u) è non-negativa
  3. Supporto Locale -- Ni,p(u) è un polinomio non-nullo su [ui,ui+p+1)
    Questo è stato discusso nella pagina precedente
  4. Su ogni span [ui, ui+1), al più p+1 funzioni base di grado p sono non-nulle: Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., e Ni,p(u)
  5. Partizione dell'Unità - La somma di tutte le funzioni base non-nulle di grado p sul generico span [ui, ui+1) è 1:
    La precedente proprietà mostra che Ni-p,p(u), Ni-p+1,p(u), Ni-p+2,p(u), ..., e Ni,p(u) sono non-nulle su [ui, ui+1). Questo significa che la somma di queste p+1 funzioni base è 1
  6. Se il numero di knots è m+1, il grado delle funzioni base è p, ed il numero delle funzioni base di grado p è n+1, allora m = n + p + 1 :
    Questo non è difficile da vedere. Sia Nn,p(u) l'ultima funzione base di grado p. Essa è non-nulla su [un, un+p+1). Poiché essa è l'ultima funzione base, un+p+1 deve essere l'ultimo knot um. Perciò, abbiamo un+p+1 = um e n + p + 1 = m. Riassumendo, dati m e p, poniamo n = m - p - 1 e le funzioni base di grado p sono N0,p(u), N1,p(u), N2,p(u), ..., e Nn,p(u).
  7. La funzione base Ni,p(u) è una curva composita di polinomi di grado p ottenuta attraverso l'unione dei knots in [ui, ui+p+1 )
    L'esempio mostrato nella pagina precedente illustra bene questa proprietà. Per esempio, N0,2(u), che è non-nulla su [0,3), è costituita a partire da tre parabole definite su [0,1), [1,2) e [2,3). Esse sono unite in corrispondenza dei knots 2 e 3.
  8. In un knot di molteplicità k, la funzione base Ni,p(u) è Cp-k continua
    Perciò, incrementando la molteplicità decresce il livello di continuità, e incrementando il grado cresce la continuità. La funzione base di grado due N0,2(u), menzionata sopra, è C1 continua nei knots 2 e 3, poiché essi sono knots semplici (k = 1).

L'Influenza dei Knots Multipli

I knots multipli hanno un'influenza significativa sul calcolo delle funzioni base e su alcune proprietà "di calcolo". Ne vedremo due e nella prossima pagina forniremo un esempio di calcolo.
  1. Ogni knot di molteplicità k riduce al più a k-1 la dimensione del dominio sul quale le funzioni base sono non-nulle.
    Consideriamo Ni,p(u) e Ni+1,p(u). La prima è non-nulla su [ui, ui+p+1) mentre l'altra è non-nulla su [ui+1, ui+p+2). Spostiamo ui+p+2 su ui+p+1 così che essi diventino un knot doppio. Allora, Ni,p(u) ha ancora  p+1 knot spans sui quali è non-nulla; ma, il numero di knot spans sui quali Ni+1,p(u) è non-nulla è ridotto di uno perché lo span [ui+p+1,ui+p+2) scompare.

    Questa osservazione può essere facilmente generalizzata. Infatti, ignorando il cambiamento delle estremità del knot span, per creare un knot di  molteplicità k, saranno influenzate k-1 funzioni baseo create a knot of multiplicity k, k-1 basis functions will be affected. La prima perde un knot span, la seconda ne perde due, la terza ne perde tre e così via.

    Le figure seguenti mostrano le funzioni base di grado 5 in cui i knots delle estremità sinistra e destra hanno molteplicità 6, mentre tutti i knots nel mezzo sono semplici (Figura (a)). La Figura (b) è il risultato dello spostamento da u5 a u6. Le funzioni base che terminano in u6 hanno il minor numero di knot spans sui quali esse sono non-nulle. Allora, u4 e poi u3 vengono spostati su u6, rendendo u6 un knot di molteplicità 4 (Figure (c) e (d)). La Figura (e) mostra il risultato ottenuto dopo aver spostato u2 su u6, creando un knot di molteplicità 5.

       
    (a) (b)
       
    (c) (d)
    (e)

  2. In ogni knot interno di molteplicità k, il numero di funzioni base non-nulle è al più p - k + 1, dove p è il grado delle funzioni base.
    Poiché spostando ui-1 su ui si porterà una funzione base, di estremità non-nulle su ui-1, a terminare su ui, questo riduce il numero di funzioni base non-nulle su ui di uno. Più precisamente, incrementando la molteplicità di ui di uno si ridurrà il numero di funzioni base non-nulle di uno. Poiché ci sono al più p+1 funzioni base che possono essere non-nulle su ui, il numero di funzioni base non-nulle su un knot di molteplicità k è al più (p + 1) - k = p - k + 1.

    Nelle figure mostrate sopra, poiché le molteplicità del knot u6 sono 1 (semplice), 2, 3, 4 e 5, i numeri delle funzioni base non-nulle su u6 sono 5, 4, 3, 2 e 1