Watt e Peaucellier

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Uno dei primi tentativi di riproduzione di un moto "rettilineo" fu quello proposto da Watt

 

Attivare Java per una costruzione interattiva (con Cinderella).

 

Un meccanismo inventato da Peaucellier è costituito da sette aste incernierate. Quattro di esse  della stessa lunghezza formano un rombo, due più lunghe sono incernierate adue vertici opposti del rombo e fra loro in un punto fisso 0, la settima asta costringe il punto P a muoversi su una circonferenza passante per O. 

Attivare Java per una costruzione interattiva (con Cinderella).

Al variare di P su tale circonferenza ( prova  a spostarlo col mouse ) il punto Q si muove lungo una retta.

 

 

Attivare Java per una costruzione interattiva (con Cinderella).

E’ ovvio che i punti O,P,Q sono sempre allineati al variare di P sulla circonferenza passante per O.

Dimostriamo ora che vale la relazione PO.OQ = OA2- AP2 = costante . Indichiamo con C il punto d’incontro delle diagonali PQ e AB del rombo APBQ. Le due diagonali si dividono scambievolmente per metà. Inoltre l’angolo ACP è retto. Poiché i punti O, P, Q sono allineati si ha:   

OP=OC - PC              OQ =OC + CQ =OC + PC

Così :   PO.OQ = OC2 - PC2

Ma teorema di Pitagora si ha:  OC2 =OA2 - AC2              CP2 =AP2 - AC2

Quindi:  OP.OQ = OA2 -  AP2=costante = k

Fatte queste premesse dimostriamo che al variare di P sulla circonferenza passante per  O il punto Q descrive una retta. Sia M il punto della circonferenza diametralmente opposto ad O e sia P un  generico punto della circonferenza diverso da M e da O. Indichiamo con Q ed L le posizioni assunte da un vertice del rombo (del meccanismo) quando il vertice opposto coincide rispettivamente con F e B. ( fig.1).  Per quanto osservato precedentemente valgono le seguenti relazioni:

OM.ML = k       OP.OQ =k

Consideriamo i triangoli OPC e OLQ: essi sono simili e quindi siccome l’angolo OPC è retto lo sarà anche l’angolo OLQ. Poiché il punto P è stato arbitrariamente scelto sulla circonferenza passante per O, quanto detto varrà per ogni punto del cerchio. Così al variare di P sulla circonferenza il punto Q si sposta lungo una retta.

Il testo è tratto dalla mostra “Oltre il compasso”