Relazione

Dati due insiemi A e B, si chiama relazione di A in B ogni "proprietà", che si indica con R, tale che presi due elementi, xÎ A e yÎ B, la coppia (x,y) può:

1)     verificare la proprietà R e si scrive xRy
2)     non verifica la proprietà R e si scrive

In generale una relazione individua un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, ed ha quindi un grafico G Í A x B.

Esempio 1

Sia Z l'insieme dei numeri relativi, diremo che due elementi xÎ Z e yÎ Z sono in relazione se verificano la proprietà " x+y=4 ". Se rappresentiamo in un diagramma cartesiano le coppie (x,y) in relazione si ottiene, in base alla tabella:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

y

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

 il grafico:

Si nota che le coppie che verificano la relazione sono allineate lungo una retta. Dalla sola conoscenza del grafico di una relazione si può risalire alla " formula matematica" che lega x e y. In questo esempio si nota l'allineamento, in altri potrebbero apparire evidenti delle simmetrie, come accade nell'esempio che segue.

Esempio 2 

Sia A l'insieme dei numeri naturali compresi tra 1 e 100, in tale insieme consideriamo la relazione:

x R y   se  x2+y2 è un quadrato perfetto

determinando ( con un semplice programma in Turbo-Pascal) l'insieme G delle 126 coppie (x,y) 

G=

{ (3,4);

(4,3);

(5,12);

(6,8);

(7,24);

(8,6);

(8,15);

(9,12);

(9,40);

(10,24);

(11,60);

(12,5);

(12,9);

(12,16);

(12,35);

(13,84);

(14,48);

(15,8);

(15,20);

(15,36);

(16,12);

(16,30);

(16,63);

(18,24);

(18,80);

( 20,15);

(20,21);

(20,48);

(20,99);

(21,20);

(21,28);

(21,72);

(24,7);

(24,10);

(24,18);

(24,32);

(24,45);

(24,70);

(25,60);

(27,36);

(28,21);

(28,45);

(28,96);

(30,16);

(30,40);

(30,72);

(32,24);

(32,60);

(33,44);

(33,56);

(35,12);

(35,84);

(36,15);

(36,27);

(36,48);

(36,77);

(39,52);

(39,80);

(40,9);

(40,30);

(40,42);

(40,75);

(40,96);

(42,40);

(42,56);

(44,33);

(45,24);

(45,28);

(45,60);

(48,14);

(48,20);

(48,36);

(48,55);

(48,64);

(48,90);

(51,68);

(52,39);

(54,72);

(55,48);

(56,33);

(56,42);

(56,90 );

(57,76);

(60,11);

(60,25);

(60,32);

(60,45);

(60,63);

(60,80);

(60,91);

(63,16);

(63,60);

(63,84);

(64,48);

(65,72);

(66,88);

(68,51);

(69,92);

(70,24);

(72,21);

(72,30);

(72,54);

(72,65);

(72,96);

(75,40);

(75,100);

(76,57);

(77,36);

(80,18);

(80,39);

(80,60);

(80,84);

(84,13);

(84,35);

(84,63);

(84,80);

(88,66);

(90,48);

(90,56);

(91,60);

(92,69);

(96,28);

(96,40);

(96,72);

(99,20);

(100,75)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

che verificano la relazione e riportandole in grafico si ottiene la figura 

Si può facilmente notare che ci sono caratteristiche particolari che descrivono la distribuzione dei punti (in verde) nel piano cartesiano XOY:

   -    allineamento dei punti

   -    simmetria rispetto alla bisettrice del quadrante 

   ( si notino ad esempio i punti cerchiati )