Usiamo l'estremo sinistro di ciascun subintervallo per definire i vari rettangoli.
Trova una somma di Riemann per D(r) = 1/r nell'intervallo [1, 10].
è chiamata somma di Riemann per f nell'intervallo [a, b].
Sommando le
aree di tutti i rettangoli, otteniamo un valore approssimato dell'area compresa
tra l'asse x e f(x).
Per stimare l'area tra l'asse x e il grafico di una funzione non negativa f(x) in un intervallo [a, b], definiamo una partizione di [a, b] scegliendo n–1 punti x1 , x2 , . . ., xn–1 in [a, b], a = x0 < x1 < . . . < xn–1 < b = xn . Su ciascun subintervallo [xk–1 , xk ] costruiamo un rettangolo di larghezza Dxk = xk – xk–1 di altezza rispetto all'asse x uguale a f(c k) . Il lato superiore di ciascun rettangolo deve toccare la curva in un punto (ck , f(ck )).
h(x) è non negativa in [0, p] e negativa in ( p , 5]. Costruiamo due somme di Riemann, la prima sommando le aree dei rettangoli nella partizione di [0, p ] e la seconda sommando le opposte delle aree dei rettangoli nella partizione di [p, 5].
Come ci si può aspettare, aumentando il numero dei rettangoli in una somma di Riemann si ottiene un valore approssimato con maggior precisione dell'area. Comunque, questo è vero solo se l'ampiezza del rettangolo più largo della partizione, chiamata norma della partizione, diventa sempre più piccola ossia tende a zero.
Nota che diciamo di aver calcolato una somma di Riemann, piuttosto che la somma di Riemann. La somma dipende dalla partizione e dalla scelta dei punti ck in cui si valuta D(r).
Rappresentazione grafica: