Test

 teorema di Cauchy

Domanda
1) Quale delle seguenti ipotesi non è giusta?
f(x) e g(x) definite in [a,b]
f(x) e g(x) continue in [a,b] 
f(x) e g(x) derivabili in [a,b]
g'(x) diversa da zero per ogni x
2) La tesi del teorema afferma che
esiste c appartenente a (a,b) tale che f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a) ]
esiste c appartenente a (a,b) tale che f'(c)/g'(c)>0
esiste c appartenente a (a,b) tale che f'(c)/g'(c)=[f'(b)-f'(a)]/[g'(b)-g'(a) ]
esiste c appartenente a (a,b) tale che f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]
3) L'ipotesi g(a) diversa da g(b)
non influisce sulla dimostrazione del teorema
è una conseguenza dell'ipotesi che f(x) e g(x) sono continue in [a,b] 
è una conseguenza delle  altre ipotesi
è una conseguenza del fatto che f(x) e g(x) sono derivabili in [a,b]
4) La dimostrazione del teorema è
diretta
per assurdo
assiomatica
si dimostra con un controesempio
5) La dimostrazione utilizza il teorema 
di Rolle
di Bolzano
degli zeri
di Lagrange
6) Nella dimostrazione del teorema si utilizza una delle seguenti funzioni ausiliarie
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
[f(b)-f(a)]f(x) - [g(b)-g(a) ]g(x)
[f(b)-f(a)]g(x) - [g(b)-g(a) ]f(x)
[f(b)-f(a)]f'(x) -[g(b)-g(a) ]g'(x)
7) Le funzioni f(x)= x2 -2 e g(x)=2x2 +4x nell'intervallo [0,1]
non soddisfano le ipotesi del teorema nell'intervallo assegnato perché g'(x) si può annullare
non soddisfano le ipotesi del teorema perché le funzioni non sono derivabili in tutti i punti
soddisfano le ipotesi del teorema e l'ascissa del punto che verifica il teorema è c=1/2
soddisfano le ipotesi del teorema e l'ascissa del punto che verifica il teorema è c=2
8) Le funzioni f(x)= x2 -1 e g(x)=2x3 +1 nell'intervallo [-1,2]
soddisfano le ipotesi del teorema
non soddisfano l'ipotesi di continuità nell'insieme di definizione
non soddisfano l'ipotesi di derivabilità in (-1,2)
non soddisfano l'ipotesi g'(x) diversa da zero in (-1,2)
9) Le funzioni f(x)= x2 +x+1 e g(x)=x2 -x-2 nell'intervallo [-1,2]
soddisfano le ipotesi del teorema
non soddisfano l'ipotesi di continuità nell'insieme di definizione
non soddisfano l'ipotesi di derivabilità in (-1,2)
non soddisfano l'ipotesi g(-1) diversa da g(2)
10) Le funzioni f(x)= x3 +x2 -2x-1 e g(x)=x2 +2x+1nell'intervallo [-1,3]
soddisfano le ipotesi del teorema
non soddisfano l'ipotesi di continuità nell'insieme di definizione
non soddisfano l'ipotesi di derivabilità in (-1,3)
non soddisfano l'ipotesi f(a)=f(b)

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