appunti di analisi matematica per l'università

Gli argomenti che seguono non sono un corso completo. Lo scopo degli autori  è quello di fornire uno strumento di consultazione utile a chi deve affrontare l'esame di matematica per qualsiasi corso universitario.

Esempio di superficie immersa nello spazio-tempo quadridimensionale di equazione

z = exp(-t(x2+y2))

 

a cura di Antonio Bernardo e Marcello Pedone

Diversi esercizi di analisi si possono consultare tra gli esercizi svolti proposti da voi

Elenco dei simboli

Elementi di topologia in R, insieme dei  numeri reali

Corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta - scheda

Intervalli di R - scheda

Insiemi limitati e illimitati - scheda

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore - scheda

Intorno di un punto - scheda

Punto di accumulazione, punto interno, esterno, di frontiera, isolato - scheda

Insieme aperto, chiuso, derivato di un insieme - scheda

Geometria
Parallelismo nello spazio - scheda 
Perpendicolarità nello spazio - scheda
Tangente, normale, sottotangente, sottonormale a una curva - scheda
Funzioni
Definizione di funzione - scheda
Le funzioni elementari - scheda - test1 - test2 - test funzioni esponenziali e logaritmiche - test sul segno delle funzioni

Funzioni iniettive, suriettive, biettive - scheda  
Funzioni inverse - scheda 

Il principio di induzione - scheda
Limiti
Limite e funzione continua - Introduzione
Definizione di limite - scheda
Limiti notevoli - scheda - test1 - test2 - test3 - test4
Teorema dell'unicità del limite - dimostrazione
Teorema sul limite del valore assoluto - dimostrazione
Teorema sul limite di una funzione composta - dimostrazione
Teorema fondamentale sulle funzioni monotone - enunciato
Teorema sui punti di discontinuità delle funzioni monotone - enunciato
Continuità e discontinuità - test - Carlo Elce
Teorema di Bolzano - enunciato
Teorema inverso di Bolzano - dimostrazione
Teorema del confronto o dei carabinieri - dimostrazione

Infiniti e infinitesimi

Infinitesimi - scheda

Derivata e differenziale
Definizioni - scheda
Significato geometrico - scheda  
Secante a una curva - scheda - Carlo Elce

Coefficiente angolare della tangente - scheda

Tangenti, normali, raggio di curvatura - scheda
Derivate elementari - scheda

Regole di derivazione - scheda

Teorema di Fermat - dimostrazione

Teorema di Rolle - dimostrazione - test

Teorema di Cauchy - dimostrazione - test

Teorema di Lagrange - dimostrazione - test

Formula di Taylor

Formula di Taylor - scheda - esempi - esempio grafico

Calcolo di limiti con la formula di Taylor - esempi

Integrali
Definizione - scheda
Integrali notevoli - scheda - test
Significato geometrico - scheda

Applicazioni del calcolo integrale: are, lunghezze, centro di massa, lavoro - scheda  

Integrale secondo Riemann - scheda

Teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli) - funzione integrale - dimostrazione - esempio - scheda  

Lunghezza di una curva regolare - scheda - animazione

Integrali fratti semplici - scheda
Integrali impropri o generalizzati: su intervalli limitati, su intervalli illimitati - test

Calcolo approssimato di un integrale definito, metodo dei rettangoli, metodo dei trapezi - scheda - esempio

Integrazione numerica ed errore - scheda

Integralseno - calcolo

Integrale di Gauss - scheda

Integrali tripli e coordinate polari -scheda

Integrali curvilinei: premessa sulle curve - integrali curvilinei

Baricentro di una curva - scheda e applicazione alla cicloide

Successioni
Definizione di successione e di limite di una successione - scheda
Limiti delle successioni elementari - scheda

Serie
Definizione di serie numerica - scheda 
Serie notevoli - scheda

Criterio del rapporto per serie a termini positivi - dimostrazioni 

Sviluppo in serie di funzioni - test

Equazioni differenziali
Definizioni - scheda

Funzioni di due e più variabili
Definizioni - scheda
Massimi e minimi condizionati - scheda

Misura della superficie di una funzione in due variabili - scheda - Carlo Elce

Piano tangente alla superficie, rappresentata da una funzione in due variabili - scheda - Carlo Elce

Test sulle funzioni a due variabili - test - Carlo Elce

Operatori differenziali negli spazi vettoriali

Gradiente, divergenza e rotore - scheda - Carlo Elce

30 domande di analisi - Antonio Bernardo