Il limite esiste in x = 0,5, perchè più ci avviciniamo a 0,5, più la funzione si avvicina a 1,5.
La discontinuità nel punto 0,5 è evidenziata nel grafico.
Ecco l'esempio di una funzione che ammette limite per x = 0,5, ma non è continua in x = 0,5.

Questo è un caso in cui ottieni una risposta equivoca. Questo limite non esiste! Ciò succede perché la funzione coseno è periodica e così assume tutti i valori compresi tra –1 e 1 .

otteniamo un insieme di numeri compresi tra
Cosa possiamo dire del seguente ?

Se quando sostituiamo otteniamo 0/0 o ¥/¥ proviamo a scomporre in fattori per tentare di eliminare l'indeterminazione.

perchè

Poiché questi limiti sono diversi, prezzo(w) non ha il limite per w tendente a 12. Ciò risponde esaurientemente alla domanda sulla continuità: prezzo(w) non è continua per w = 12; sebbene prezzo(12) sia definita, il limite per w tendente a 12 non esiste.

perché per 12 < w < 60, prezzo(w) = 10.
perché prezzo(w) = 8 per ogni valore di w < 12.
Calcoliamo i limiti destro e sinistro per w tende a 12.
Grafico di prezzo(w):
Qual è ? Prezzo è una funzione continua?
Il prezzo del biglietto di un cinema è 8-mila £ per ragazzi sotto i 12 anni e anziani sopra i 59, e 10-mila per gli altri.
Dunque, func(x) non è continua per x = 0,5.
Per essere continua, func(0,5) deve esistere ed essere uguale a 1,5:
I numeri nella colonna di destra tendono a 8 quando la variabile indipendente tende a 11.

1. Definiamo una lista di valori che si avvicini ad a e calcoli il valore della funzione in ciascuno di questi punti.
Se i valori della funzione si avvicinano quanto si vuole ad un unico numero, quel numero è il limite.

Esistono vari modi di calcolare i limiti.
Questo limite esiste ed è 1 se x è misurato in radianti, ma 0 non appartiene al dominio di .

C'è differenza tra un limite che esiste in un punto del dominio di una funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte. Infatti, perché un limite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in x = a, o anche che appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in a, e il valore f(a) deve coincidere con il limite di f(x) in a.

Una funzione f(x) è continua in x = a
se:
1. f(a) è definito;
2. esiste; e
3.
.

Affinchè f(x) abbia limite L quando x si avvicina ad a, devono esistere il limite destro e il limite sinistro per x tendente ad a e devono essere uguali. Con notazione matematica


se e solo se

e
.
Noi scriviamo ciò, in notazione matematica, così:

Se il valore di una funzione f(x) si avvicina al valore L quando x si avvicina ad a, diciamo che f(x) ha come limite L per x tendente ad a.

Limiti di funzioni e funzioni continue

Che succede se la variabile tende a ¥ o –¥ ? Nessun problema se non troviamo forme indeterminate 0/0 o ¥/¥.

Ora sostituiamo 1 a t:
Se sostituiamo 1 a t otteniamo 0/0. Prima di sostituire, possiamo fattorizzare il numeratore:
3. Se quando sostituiamo 1 alla variabile indipendente otteniamo una forma del tipo 0/0 o ¥/¥ , proviamo a scomporre in fattori l'espressione dentro il segno di limite per eliminare il denominatore.
Poniamo 2 al posto di t.
Poniamo p /2 al posto di q.

2. Se le funzioni sono polinomi, radici, seni, coseni, esponenziali, o una combinazione algebrica di queste funzione (somma, differenza, prodotto, o quoziente), proviamo a sostituire il numero a cui tende la variabile indipendente per ottenere il limite.

Se quel valore non è ¥ o –¥ , e l'espressione del limite non si pone nella forma 0/0 o ¥/¥, allora abbiamo raggiunto il risultato.