Questo è un caso in cui ottieni una risposta equivoca. Questo limite non esiste! Ciò succede perché la funzione coseno è periodica e così assume tutti i valori compresi tra –1 e 1 .
Se quando sostituiamo otteniamo 0/0 o ¥/¥ proviamo a scomporre in fattori per tentare di eliminare l'indeterminazione.
Poiché questi limiti sono diversi, prezzo(w) non ha il limite per w tendente a 12. Ciò risponde esaurientemente alla domanda sulla continuità: prezzo(w) non è continua per w = 12; sebbene prezzo(12) sia definita, il limite per w tendente a 12 non esiste.
1. Definiamo una lista di valori che si
avvicini ad a e calcoli il valore della funzione in ciascuno di questi punti.
Se i valori della funzione si avvicinano
quanto si vuole ad un unico numero, quel numero è il
limite.
C'è differenza tra un limite che esiste in un punto del dominio di una funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte. Infatti, perché un limite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in x = a, o anche che appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in a, e il valore f(a) deve coincidere con il limite di f(x) in a.
Affinchè f(x) abbia limite L
quando x si avvicina ad a, devono esistere il limite destro e il limite sinistro
per x tendente ad a e devono essere uguali. Con notazione matematica
Se il valore di una funzione f(x) si avvicina al valore L quando x si avvicina ad a, diciamo che f(x) ha come limite L per x tendente ad a.
Che succede se la variabile tende a ¥ o –¥ ? Nessun problema se non troviamo forme indeterminate 0/0 o ¥/¥.
2. Se le funzioni sono polinomi, radici,
seni, coseni, esponenziali, o una combinazione algebrica di queste funzione
(somma, differenza, prodotto, o quoziente), proviamo a sostituire il numero a
cui tende la variabile indipendente per ottenere il limite.
Se quel valore non è ¥ o –¥ , e l'espressione del limite non si pone nella forma 0/0 o ¥/¥, allora abbiamo raggiunto il risultato.