Usiamo l'estremo sinistro di ciascun subintervallo per definire i vari rettangoli.
Larghezza di ciascun rettangolo:
Estremi dell'intervallo:
Numero di rettangoli:
Seconda partizione

Usiamo l'estremo sinistro di ciascun subintervallo per definire i vari rettangoli.

Larghezza di ciascun rettangolo:
Estremi del primo intervallo:
Animazione a cura di Carlo Elce
Per saperlo e per vedere l'animazione clicca sul grafico seguente!
Che cosa succede al valore dell'area sotto la curva se n viene incrementato?
L'area totale è:
Calcola questa somma di Riemann.
Scegli un punto in ciascun subintervallo.
Partizione:
Numero di rettangoli:
Estremi dell'intervallo:
Funzione:

Trova una somma di Riemann per D(r) = 1/r nell'intervallo [1, 10].

è chiamata somma di Riemann per f nell'intervallo [a, b].

Sommando le aree di tutti i rettangoli, otteniamo un valore approssimato dell'area compresa tra l'asse x e f(x).

La somma

Per stimare l'area tra l'asse x e il grafico di una funzione non negativa f(x) in un intervallo [a, b], definiamo una partizione di [a, b] scegliendo n–1 punti x1 , x2 , . . ., xn–1 in [a, b], a = x0 < x1 < . . . < xn–1 < b = xn . Su ciascun subintervallo [xk–1 , xk ] costruiamo un rettangolo di larghezza Dxk = xk – xk–1 di altezza rispetto all'asse x uguale a f(c k) . Il lato superiore di ciascun rettangolo deve toccare la curva in un punto (ck , f(ck )).

Somme di Riemann
Integrazione
Numero di rettangoli:
Prima partizione

h(x) è non negativa in [0, p] e negativa in ( p , 5]. Costruiamo due somme di Riemann, la prima sommando le aree dei rettangoli nella partizione di [0, p ] e la seconda sommando le opposte delle aree dei rettangoli nella partizione di [p, 5].

La funzione h(x)non è sempre positiva tra x = 0 e x = 5.
Per trovare l'area richiesta, dividiamo la somma di Riemann in più parti.
Stima l'area tra la curva e l'asse x tra gli estremi x = 0 e x = 5.
Nel precedente esempio, la norma è:

Come ci si può aspettare, aumentando il numero dei rettangoli in una somma di Riemann si ottiene un valore approssimato con maggior precisione dell'area. Comunque, questo è vero solo se l'ampiezza del rettangolo più largo della partizione, chiamata norma della partizione, diventa sempre più piccola ossia tende a zero.

Nota che diciamo di aver calcolato una somma di Riemann, piuttosto che la somma di Riemann. La somma dipende dalla partizione e dalla scelta dei punti ck in cui si valuta D(r).

 

 

Rappresentazione grafica: