Finalmente valutiamo il risultato quando h si avvicina a zero:
otteniamo

Troviamo il punto sulla curva in cui il coefficiente angolare della tangente è –0.3 . Rappresentiamo graficamente y(t), la retta tangente e la perpendicolare (o normale).

Provate ad assegnare ad m altri valori. Poi guardate, alla fine della pagina, l'animazione cliccando sul relativo grafico!
Il coefficiente angolare della tangente in (t0, y(t0)) è:
Sostituiamo la definizione di y(t) nell'espressione del limite, selezioniamo t0 e e risolviamo rispetto alla variabile t:
ha soluzioni
Poiché ci sono 2 soluzioni, esistono due punti, due rette tangenti e due normali.
animazione
a cura di
Carlo Elce
tangenti
e normali
variabili
Per vedere cosa succede assegnando ad m altri valori cliccate sul grafico seguente!
Equazioni delle normali:
Equazioni delle tangenti:
Il coefficiente angolare mperp di rette perpendicolari
soddisfa la relazione m mperp = –1, così:
Funzione:

Troviamo il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto (2, 6).

Coefficiente angolare della retta tangente nel punto P0(x 0, f(x0 )) alla curva f(x):

Per definire il coefficiente angolare di una tangente usiamo il concetto di limite. Nel file precedente abbiamo definito la retta secante, che passa per due punti della curva. Ora definiamo la retta tangente in un singolo punto (x0, f(x0 )) alla curva f(x) come la retta che passa per P0(x 0, f(x0 )) il cui coefficiente angolare è il limite, per h tendente a zero, dei coefficienti angolari delle secanti che passano per i punti P0(x 0, f(x0)) e P(x0+h, f(x0+h )).

La retta blu interseca la curva in un solo punto, ma non è tangente.

La retta blu è una tangente.

In geometria piana, una retta si dice tangente a una circonferenza se interseca la circonferenza in un solo punto. Per altri tipi di curve, una retta può intersecarle in un solo punto, ma non essere tangente. Se vogliamo applicare il concetto di tangente ad altre curve diverse dalla circonferenza abbiamo bisogno di una definizione matematica più generale.

Coefficiente angolare della retta tangente
Derivate
Quindi si espande:
Per sostituzione si ottiene:
Poiché sostituiamo questo valore nell'espressione .
Per confermare che il coefficiente angolare della tangente è 5, sostituiamo la definizione di f(x) nell'espressione del limite ed espandiamo.

Osservate a quale numero si avvicinano i valori sulle colonne di destra per valori di h tendenti a zero

Valutiamo l'espressione del limite per piccoli valori di h, sia positivi che negativi.

ascissa del punto P0: