L'area è il
valore dell'integrale
Cerchiamo di
trovare la primitiva di sin(x2).
Cos'è questa
funzione FresnelS? E' un modo mascherato di scrivere l'integrale di
sin(x2
).
Questo
significa che non esiste un'espressione dell'integrale di sin(x2
)
in termini di funzioni elementari. Il massimo che possiamo fare è calcolare
l'integrale numericamente.
Consideriamo
lo sviluppo in serie della funzione
Sviluppiamo in
serie questa funzione arrestandoci al 20-simo termine
Integrando
termine a termine si avrà:
Ovviamente
maggiore è l'ordine dello sviluppo in serie della funzione più accurato è il
valore dell'area calcolata numericamente!
Il
teorema fondamentale del calcolo integrale
Primo
Teorema Fondamentale del Calcolo
Sia f una
funzione continua in un intervallo aperto contenente l'intervallo [a,
b].
Sia
per a < x < b.
Allora G è
derivabile in [a, b] e la sua derivata è f; cioè
.
Secondo
Teorema Fondamentale del Calcolo
Se f è
continua in [a, b] e se F è una qualunque primitiva di f,
allora:
I due teoremi
ci dicono che:
1) Ogni funzione
continua ha una primitiva;
2) Per valutare
l'integrale definito di una funzione continua, trova una sua primitiva e
valutala negli estremi dell'intervallo.
Quello che i
Teoremi Fondamentali del Calcolo non garantiscono è che la primitiva di una
funzione continua possa essere scritta in termini di funzioni elementari:
polinomi, seno, coseno, radici, esponenziali e logaritmi. Essi ci danno,
comunque, un semplice metodo per valutare l'integrale permettendoci di scegliere
una qualsiasi primitiva della funzione integranda.
Trova
Una primitiva
di
è
, così che
l'integrale è:
In una sezione
precedente, abbiamo valutato questo integrale usando le somme di Riemann e
prendendo il limite per la norma della partizione tendente a zero.
Trova l'area
tra l'asse x e la curva sin(x2) tra x = 0 e
x = 1.5.